31關(guān)于實數(shù)的基本定理分析

第三章、關(guān)于實數(shù)基本定理

及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明其次部分、極限續(xù)論1/7/20231福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院確界原理單調(diào)有界性定理區(qū)間套定理聚點原理與致密性定理柯西收斂準則有限覆蓋定理第一節(jié)關(guān)于實數(shù)的基本定理1/7/20232福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院一子列

1/7/20233福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院定理1若數(shù)列｛xn｝收斂于a,則它的任何子列｛a｝也收斂于a,即證明：

由可知，

取K=N,于是當(dāng)k>K時，有

因而成立推論：若存在數(shù)列｛xn｝的兩個子列分別收斂于不同的極限，則數(shù)列｛xn｝必定發(fā)散

.1/7/20234福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院例1證明數(shù)列發(fā)散.

證明：取則由上述推論

子列

推論即函數(shù)極限并歸原則的必要性(已證明).1/7/20235福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院定義1當(dāng)S既有上界又有下界,稱S是有界集,否則稱S無界.二上確界和下確界

1/7/20236福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院

MM2M1上確界上界m2mm1下確界下界確界先給出確界的直觀定義:若數(shù)集S有上界,則明顯它有無窮多個上界,其中最小的一個上界我們稱它為數(shù)集S的上確界,記作supS;的一個下界，稱為該數(shù)集的下確界,記作infS

同樣,若數(shù)集S有下界,有無窮多個下界,其中最大1/7/20237福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院定義2若β是數(shù)集S的上界:確界的精確定義1/7/20238福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院例2考察下列數(shù)集的上確界與下確界1/7/20239福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院事實上:１）ｂ是I的一個上界：，有２）任何小于ｂ的數(shù)不是I的上界，使得因此bax同理可證證例3數(shù)集I=｛x∣a<x<b｝,即I=(a,b),a與1/7/202310福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院定理3(確界原理)

非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界.數(shù)集有上（下）確界,則上（下）確界是唯一的.定理21/7/202311福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院不妨設(shè)數(shù)列單調(diào)增加且有上界，根據(jù)確（1）（2）界存在定理，由構(gòu)成的數(shù)集必有上確界滿足：定理4單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

證明:(應(yīng)用確界原理證明)1/7/202312福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院因而于是幾何說明:1/7/202313福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院定義(區(qū)間套):

具有如下性質(zhì)設(shè)閉區(qū)間列

三區(qū)間套定理

則稱該閉區(qū)間列為閉區(qū)間套,或簡稱區(qū)間套.

1/7/202314福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院定義表明構(gòu)成區(qū)間套的閉區(qū)間列是前一個套著后一個,即閉區(qū)間的端點滿足不等式:.

1

2

2

1

b

b

b

a

a

a

n

n

￡

￡

￡

￡

￡

￡

￡

￡

L

L

L

說明:1/7/202315福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院定理5(區(qū)間套定理)或若有且則1/7/202316福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院留意:1.區(qū)間套定理中各個區(qū)間應(yīng)是閉區(qū)間,若是開區(qū)間定理不確定成立．例如｛(1,1/n)}明顯一個套一個，且但不存在一個公共點屬于全部開區(qū)間由條件（1）可知

證明:（應(yīng)用單調(diào)有界定理）明顯，1/7/202317福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院由定理4設(shè)

1/7/202318福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院則有

.

'

x

x

=

故有

證畢.下面證明滿足題設(shè)條件的ξ是唯一的設(shè)ξˊ也滿足:推論1/7/202319福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院四聚點定理與致密性定理

定義

設(shè)S為數(shù)軸上的無窮點集,

若ξ的任何鄰域內(nèi)都含有S

中無窮多個點,ξ為定點,(它可以屬于S,也可以不屬于S)則稱ξ為S的一個聚點.1/7/202320福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院說明:聚點概念與下列兩個說法等價.1/7/202321福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院定理(Weierstrass聚點定理)實軸上任一有界無限點集,至少有一個聚點.證明:(應(yīng)用區(qū)間套定理證明)1/7/202322福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院1/7/202323福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院證畢.1/7/202324福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院證明：

于是存在實數(shù)a1,b1成立定理6(致密性定理)任一有界數(shù)列必有收斂子列.致密性定理

1/7/202325福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院將閉區(qū)間等分為兩個小區(qū)間

則其中至少有一個含有數(shù)列｛xn｝中的與無窮多項，把它記為，再將閉區(qū)間等分

為兩個小區(qū)間與，同樣其中至少有一個區(qū)間含有

數(shù)列｛xn｝中的無窮多項，把它們記為1/7/202326福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院都含有數(shù)列｛xn｝中的無窮多項.依據(jù)閉區(qū)間套定理，存在實數(shù)ξ滿足現(xiàn)在我們證明數(shù)列｛xn｝必有一子列收斂于實數(shù).個閉區(qū)間套，其中每一個閉區(qū)間中這樣的步驟可以始終做下去.于是得到一1/7/202327福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院

首先在中選取｛xn｝中的某一項,記它為

然后，因為在中含有數(shù)列｛xn｝中的無窮多項，

可以選取位于后的某一項，記它為，，繼續(xù)這樣做下去，在選取

后，因為在中仍含有｛xn｝中的無窮多項,可以選取位于后的某

因為在中含有數(shù)列｛xn｝中的無窮多項，

1/7/202328福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院一項，記它為，這樣就得到了數(shù)列｛xn｝的一個子列，滿足由利用極限的夾逼性得

1/7/202329福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院1/7/202330福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院具有以下特性：Cauchy列：

如果數(shù)列＞＜則稱數(shù)列是一個基本數(shù)列.五柯西收斂原理

1/7/202331福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院1/7/202332福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院柯西收斂準則的幾何說明柯西準則說明收斂數(shù)列各項的值越到后邊,彼此越是接近,以至充分后面的任何兩項之差的確定值可小于預(yù)先給定的隨意小正數(shù).或形象地說,收斂數(shù)列的各項越到后面越是擠在一起.x1

x2

x3

x4

x5

1/7/202333福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院證明：

1/7/202334福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院由致密性定理，在數(shù)列｛xn｝中必有收斂子列.1/7/202335福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院

因為｛xn｝是基本數(shù)列

在上式中取，其中k充分大,滿足，并令,于是得到

即｛xn｝收斂.1/7/202336福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院1/7/202337福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院1/7/202338福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院證明：取ε＝?，對隨意正整數(shù)n,取m=2n,有例4．設(shè)所以，原數(shù)列發(fā)散．1/7/202339福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院六有限覆蓋定理

1/7/202340福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院則H覆蓋E.則H覆蓋E.例如,E=(0,1)例如,E=[0,2]1/7/202341福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院定理8(Heine-Borele有限覆蓋定理)

留意:1.若被覆蓋的區(qū)間是開區(qū)間,定理不確定成立;2.用來覆蓋的區(qū)間族應(yīng)是開區(qū)間,否則定理不確定成立.1/7/202342福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院則H覆蓋E,但不存在有限個開區(qū)間覆蓋E.例如,E=(0,1),1/7/202343福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院H1不能覆蓋E.解:若存在有限個開區(qū)間覆E=(0,1),令則1/7/202344福州高校數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院證明:(應(yīng)用區(qū)間