高數(shù)第一章答案

第一章函數(shù)，極限與連續(xù)第一節(jié)函數(shù)一、 集合與區(qū)間集合一般地說(shuō)，所謂集合(或簡(jiǎn)稱集)是指具有特定性質(zhì)的一些事物的總體，組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素。由有限個(gè)元素組成的集合稱為有限集。 4由無(wú)窮多個(gè)元素組成的集合稱為無(wú)限集。不含任何元素的集合稱為空集。數(shù)集合也可以稱為(數(shù)軸上的)點(diǎn)集。區(qū)間是用得較多的一類數(shù)集。設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，且a<b數(shù)集{xla<x<b}稱為開(kāi)區(qū)間，記作(a,b),即(a,b)={xla<x<b}。數(shù)集{xla<x<幻稱為閉區(qū)間，記作［a,b］,即［a,b］={xla<x<b}。類似地，［a,b),(a,b］稱為半開(kāi)區(qū)間，即［a,b)={xla<x<b}，(a,b］={xla<x<b}以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間，此外還有無(wú)限區(qū)間，引進(jìn)記號(hào)3及-3，則可類似表示［a,+8)={xla<x},(-3,b)={xlx<b},(-3,3)={xl-3<x<+3}還有一類可變開(kāi)區(qū)間，我們稱其為鄰域。設(shè)5與a是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且8>0。開(kāi)區(qū)間8(a-8,a+5)稱為點(diǎn)a的8鄰域，記作U(a,5)，即U(a,8)={xla-8<x<a+8}。其中a叫作這個(gè)鄰域的中心，8稱為這個(gè)鄰域的半徑。在點(diǎn)a的領(lǐng)域中去掉中心后，稱為點(diǎn)a的去心鄰域，記作U(a,8)，即U(a,8)={xl0<lx一al<8}=(a-8,a)u(a,a+8)二、 函數(shù)概念定義：設(shè)x和y是兩個(gè)變量，若對(duì)于x的每一個(gè)可能的取值，按照某個(gè)法則f都有一個(gè)確定的y的值與之對(duì)應(yīng)，我們稱變量y是變量x的函數(shù)，記為y=f(x).這里稱x為自變量，y為因變量。自變量x的所以可能取值的集合稱為定義域，記為D(f)；因變量y的相應(yīng)的值的集合稱為值域，記為R(f)。這里D(f)與R(f)都是數(shù)集，且R(f)={f(x)|xeD(f)}。三、 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f(x)在D上有定義，如果存在正數(shù)M,使得對(duì)于任何的xeD都滿If(x)|<M,則稱函數(shù)f(x)在D上有界，或稱f(x)是D上的有界函數(shù)。若這樣的正數(shù)M不存在，則稱f(x)是D上無(wú)界函數(shù)。函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間IcD，若對(duì)于任意的x,xeI，當(dāng)x<x時(shí)總有1 2 1 2f(x)<f(x)，則稱f(x)是區(qū)間I上的單調(diào)增加函數(shù)；若對(duì)于任意的x,xeI，當(dāng)x<x1 2 12 12時(shí)總有f(x1)>f(x2)，則稱f(x)是區(qū)間I上的單調(diào)減少函數(shù)。單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)均稱為單調(diào)函數(shù)。若在某個(gè)區(qū)間上，函數(shù)f(x)為單調(diào)函數(shù)，則稱該區(qū)間為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即若xeD，則必-xeD。若對(duì)于任意的xeD總有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)；若對(duì)于任意的xeD總有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)。函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在不為零的數(shù)T，使得對(duì)于任一xeD有(x土T)eD，且f(x土T)=f(x)總成立，則稱f(x)是周期函數(shù)，T稱為周期函數(shù)f(x)的周期。由定義容易得出，若T為f(x)的周期，則2T，3T，…，nT，…都是f(x)的周期。如果在周期中存在最小的正值，我們把它稱為最小正周期，通常我們說(shuō)周期函數(shù)的周期均指最小正周期。反函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镽。若對(duì)于任意的yeR只有唯一xeD與之對(duì)應(yīng)，且滿足f3)=y，則得到一個(gè)新的以y為自變量，x為因變量的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為f(x)的反函數(shù)，記為x=f-i(x)，則。(f-1)=R(f),R(f-1)=D(f)。相對(duì)于反函數(shù)x=f-1(x)來(lái)說(shuō)，原來(lái)的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù)(原函數(shù))。復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)設(shè)y=f(u)和"=甲(x)是兩個(gè)已知函數(shù)，定義域分別為D(f)和D(中)，如果對(duì)于一些xGDS)，，函數(shù)值u=9(x)GD(f)，則可以計(jì)算出y=f(u)，于是y通過(guò)u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，這個(gè)新的函數(shù)稱為由函數(shù)y=f(u)和"=甲(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)y=f加(x)］，其中u稱為中間變量。初等函數(shù)下面六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)。常數(shù)函數(shù)y=c幕函數(shù)y=xu(u是常數(shù))指數(shù)函數(shù)y=ax(a是常數(shù)，a>0,a。1)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logx(a是常數(shù)，a>0,a。1)三角函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx反三角函數(shù)y=arcsinxy=arccosx

y=arctanxy=arccotx習(xí)題1-11.(1)(2,5】⑵L2,2】3,32.(1)不相同相同不相同不相同3.(1)x>-2且x?！?(-1,8)2.(1)不相同相同不相同不相同3.(1)x>-2且x?！?4.4.(2)xeR(3)xeR(4)(6)xeRf(0)=02-3x0+2=2f(1)=12-3x1+2=0f(-x)=—x2—3x(-x)+2=x2+3x+2f(i)=(i)2-3x1+2=—-3+2xxxx2xf(x+1)=(x+1)2-3(x+1)+2=x2-x5.f(0)=0+1=1f⑵=4f(-2)=-2+1=-1

對(duì)f3-1)進(jìn)行討論x-1<0nx<1,f(x)=x-1+1=x6.(1)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)7.(1)證明： f(x)是偶函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，又因?yàn)槎x域?yàn)?-1,1)有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)設(shè)h(x)=f(x)+g(x)，h(x)的定義域也是(-1,l)h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x):.為偶函數(shù)(2)證明：f(x),g(x)都是(-1,l)，是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的f(x)為偶函數(shù)，...有f(-x)=f(x)g(x)為奇函數(shù)，...有g(shù)(-x)=-g(x)設(shè)h(x)=f(x)g(x):.h(x)的定義域?yàn)?-1,l)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的h(-x)=f(-x)g(x)=-f(x)g(x)=-h(x)8.9.(1)(2)(3)y9.(1)(2)(3)y=—_-,(—8,8)3x+1 .y=—7，y。1x-1y=ex-1—2，(-8,8)x(4)y=lo^——，(0，121-x10.(1)可以不能

11(1)j=u2,u=tanxj=eu,u=e—x2j=arcsinu,u= ,t=sinxj=3lnu,u=1+",t=1+G+求/L(x)］，對(duì)g(x)進(jìn)行討論0<ex<1,則x<0,flg(x)]=1ex=1,x=0,f'(x)]=0ex>1,x>0,flg(x)]=-1圖:|x|>1,圖:|x|>1,f(x)=1,則，g|x|=1,f(x)=0.gf(x)]=g(0)求gIf(x)]f(x)]=g(-1)=1第二節(jié)數(shù)列極限對(duì)數(shù)列｛xj,（1）若有氣<x2<^<x〃<x〃+1 則稱該數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列；反之，若有x產(chǎn)x2Z...Zxn>x混產(chǎn)...則稱該數(shù)列為單調(diào)減少數(shù)列。（2）若存在正數(shù)M,是對(duì)一切%，均有Ix^l<M成立，則稱｛七｝有界，若這樣的正數(shù)不存在，就說(shuō)無(wú)界數(shù)列無(wú)界。具有性質(zhì)（1），（2）的數(shù)列稱為單調(diào)有界數(shù)列。定義1如果當(dāng)n—8時(shí)，七無(wú)限趨于一個(gè)確定的常數(shù)a，則a就稱作數(shù)列｛七｝的極限，或稱數(shù)列｛%｝收斂，且收斂于a，記作limx=an—8n或 x—a（n—8）如果當(dāng)n—8，xn不趨于一個(gè)確定的常數(shù)，我們便說(shuō)數(shù)列｛xj沒(méi)有極限，或說(shuō)數(shù)列｛xn｝發(fā)散。定義2對(duì)于任意給定的正數(shù)￡，若存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N，恒有Ixn-a1至，則稱數(shù)a為數(shù)列｛xj的極限。數(shù)列極限的性質(zhì)：（1） 如果數(shù)列｛xn｝有極限，則極限是唯一的。（2） 收斂數(shù)列必定有界。推論：無(wú)界數(shù)列必定是發(fā)散的。習(xí)題1-21.（1）0TOC\o"1-5"\h\z（2） 0（3） 2（4） 8（5） 0（6）2第三節(jié)函數(shù)的極限定義1當(dāng)自變量X無(wú)限接近x時(shí)，如果函數(shù)y=/(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A,則A稱作函數(shù)f(X)當(dāng)xTX0時(shí)的極限，記作lim/(x)=AXTX

0或 f(x)TA(xTx0)-定義2設(shè)函數(shù)f(x)在x的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)任一￡>0，存在5>0，使當(dāng)00<1x—x0l<5，恒有I/(x)-A1<￡，則稱函數(shù)/(x)當(dāng)xTx0時(shí)以A為極限。定義3如果當(dāng)x從點(diǎn)x的左側(cè)(x<x)無(wú)限趨于x時(shí)，函數(shù)/(x)無(wú)限趨于常數(shù)A，則稱A0 0 0為函數(shù)/(x)在點(diǎn)x0處的左極限，記作lim/(x)=A，xTx0—或 /(x—0)=A.0如果當(dāng)x從點(diǎn)x0的右側(cè)(x<x0)無(wú)限趨于x0時(shí)，函數(shù)/(x)無(wú)限趨于常數(shù)A，則稱A為函數(shù)/(x)在點(diǎn)x0處的右極限，記作lim/(x)=A，，xTx°+或 /(x+0)=A.0函數(shù)/(x)當(dāng)xTx0時(shí)極限存在的充分必要條件是函數(shù)/(x)在xTx0時(shí)左、右極限都存在且相等，即lim/(x)=A=lim/(x)=lim/(x)=A.xTx0 xTx0— xTx0+定義4當(dāng)自變量x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù)/(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則A稱作

函數(shù)f3)當(dāng)X—8時(shí)的極限，記作limf(x)=A,X—8或 f(X)—A(X—8).定義5對(duì)任給的￡>0,若存在X>0,使得當(dāng)X>X,恒有f(X)-A<￡，則稱A為X—8時(shí)候函數(shù)的極限.函數(shù)極限具有以下兩條性質(zhì)：性質(zhì)1(局部保號(hào)號(hào))如果limf(x)=A,且A>0,(或者A<0),則必存在X的某一去心領(lǐng)域，當(dāng)x在該鄰域X—X0內(nèi)，恒有f(X)>0(f(X)<0)A證明：設(shè)A>0，取正數(shù)￡=5，根據(jù)limf(x)=A,的定義，對(duì)于這個(gè)￡，存在8>0，2 X—%人八 A A使得當(dāng)時(shí)，|Kx)-A|<￡=s0<|x~a<s成立，即A-~<f(x)<A+~成立，亦即，A 3A0<y<f(x)<項(xiàng),「.f(x)>0類似的可以證明A<0的情況。性質(zhì)2如果f(x)>0(或f(x)<0)，而且limf(x)=A,，那么A>0(或者A<0)X—X0證明：用反證法。已知limf(x)=A,，若f(x)>0時(shí)，有A<0，則由性質(zhì)1可知，存X—X0在X的某個(gè)去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)，有f(X)<0，這與f(X)>0矛盾，所以A>00類似地可以證明f(X)<0的情況。習(xí)題1-31.(1)(2)(3)-4(3)-4(4)(6)3【解析】 limf3)=lim(2x+1)=7TOC\o"1-5"\h\zXr3+ XF+limf(x)=limx=3xt3- x—3-.?.limf(x)=limf(x) limf(x)的極限不存x—3- x—3+ x—3—X一【解析】limf(x)=lim——=—1X—0— X—0—XXlimf(x)=lim—=1X—0+ X—0+X.limf(x)=limf(x)所以極限不存在X—0+ X—0—第四節(jié)極限運(yùn)算法則為了求出比較復(fù)雜的函數(shù)的極限，需要用到極限的運(yùn)算法則，現(xiàn)敘述如下：設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B,則有：X—X° X—X°limf(x)土g(x)=limf(x)土limg(x)=A土BX—X° X—X° X—X°lim[f(x)]=climf(x)=cA(c為常數(shù))TOC\o"1-5"\h\zX—X° X—X°limf(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)=A-BX—X° X—X° X—X°f(X) limf(X),lim =ax^ = (B=0)X—X0g(X) limg(x) BX—X0lim[f(x)]n=[limf(x)]n=An(n為正整數(shù))X—X° X—X°limnf(x)=.'limf(x)=<A(n為正整數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要假定A>0)X—X0 nX—X0以上的運(yùn)算法則當(dāng)X—3時(shí)也是成立的，值得注意的是以上運(yùn)算法則成立的前提是limf(x)，limg(x)存在X—X° X—X°1如f(X)=X2,g(x)=一,lim[f(x)g(x)]=1，但是limf(x)不存在，limf(x)g(x)X2X—3 X—3 X—3就沒(méi)有意義了。設(shè)函數(shù)y=f(u)和u=^(x)滿足：lim中(x)=a，且在點(diǎn)x的去心鄰域內(nèi)中(x)。a，0X—X0又limf(u)=L，則復(fù)合函數(shù)f加(x)]當(dāng)x—x0時(shí)，極限存在且等于L，即X—X0

limf［機(jī)x）］=limf（u）=Lx—xq x^a上述運(yùn)算法則都可以利用函數(shù)的定義和性質(zhì)加以證明，這里省略。法則1和法則3均可以推廣到兩個(gè)以上具有極限的函數(shù)極限。習(xí)題1-41.計(jì)算下列極限:(6)(7)(8)（1）lim（2）(3)(4)(5)lim(2x3—5x+3)=9x—2lim(1-x-1x—2clim. =0x—2\x+2x2-3x+1lim( x—0x+4limx—3x2+2xlim x—0x3+xx2一3x+2limx-1(x+h)2一x2TOC\o"1-5"\h\zlim =2xh—0 h. 1 2lim(3-+—)=3x—8 2+32+3xlim =0x—S3x4—2x2+1「2x+1 2lim__-=-3x1 3x—SJ(12)(13)3x3+2x+11lim(12)(13)x—S9x3+x—73(14)=2(15)12x+1 2\：x一2lim =lim——xr4 xt4?氣.?'2x+1 32^1—2(16)(17). 1 1 1lim(1+—+—+…+―)=2n* 24 2n1 4、_1=4lim(—-————:—)xqX一2X2一4(18)臨(2x-1)30(3x-A=230320x” (x+1)50第五節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限一、夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則I如果數(shù)列X^y^,七(n=1,2…)滿足下列條件:(1)y<x<z(n=1,2…)取N=取N=max{N,N}，當(dāng)n>N時(shí)，|y-a<￡z-a<￡同時(shí)成立又因?yàn)榇嬖跅l件(2)limy=a,limz=ansnnsn那么數(shù)列的極限存在，且limx〃=anT3證明：因?yàn)閘imy〃=a,limz〃=a，所以根據(jù)數(shù)列極限的定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)￡，nT3 nT3有|z—a<￡n存在正整數(shù)N1，當(dāng)n有|z—a<￡n即有x-a<￡y<x<z(n=1,2…)，所以當(dāng)n>N，有a—￡<y<x<即有x-a<￡nnn nnn成立，即有l(wèi)imx=ansn利用準(zhǔn)則I,我們可以證明(證略)下面準(zhǔn)則I'，它們統(tǒng)稱為夾逼準(zhǔn)則或者夾逼定理。準(zhǔn)則I'如果函數(shù)f⑴,g⑴,心在點(diǎn)X0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)滿則:(1)g(x)<f(x)<h(x)(2)limg(x)=limh(x)=A(A是常數(shù))X—X° X—x°則 limf(x)=A,X—X0作為準(zhǔn)則I的應(yīng)用，一個(gè)重要的極限：二、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。如果數(shù)列X^滿足條件氣<X2<X3<…<X^<X疽］<…，就稱數(shù)列Xn是單調(diào)增加的，如果數(shù)列Xn滿足條件X1>X2>X3>…>Xn>Xn+1>…，就稱數(shù)列Xn是單調(diào)的，單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。對(duì)于準(zhǔn)則II我們不做證明，而給出如下的幾何解釋，只能向一個(gè)方向移動(dòng)，所以只有兩種可能的情況：或者點(diǎn)沿著數(shù)軸移向無(wú)窮遠(yuǎn)4T+3,或XnT-3)，或者點(diǎn)Xn無(wú)限趨于一個(gè)定點(diǎn)A，也就是數(shù)列X趨于一個(gè)極限，丹現(xiàn)在假定數(shù)列是有界的，而有界數(shù)列的點(diǎn)Xn n都落在數(shù)軸上某個(gè)閉區(qū)間LM,M］內(nèi)，因此上述第一種情況就不可能發(fā)生了，這就是說(shuō)這個(gè)數(shù)列趨向一個(gè)極限，并且這個(gè)極限的絕對(duì)值不超過(guò)M。習(xí)題1-5計(jì)算下列極限「sin3xTOC\o"1-5"\h\zlim =3X—0XX2 (5)2 1lim =lim——.25=lim =25X—0(sinX)2 X—0(sin三)2 X—0sin三5 5 (5)2X5「sin4x4lim=-X—0tan3x3x一sinxX+sinxlim :—=0X+sinx(x-1)x2 「2 x+1-2(2)(5)lim———lim(1- )x—lim(1-—-)-21-xT8Vx+1J xTsx+1x丁L xT8x+1Vx+1j-1—e-21-cos2xlim =2x項(xiàng)xsinx令arcsinx=t,1-cos2xlim =2x項(xiàng)xsinx令arcsinx=t,貝ijsint=x?！竌rcsinxlim xr0 x=lim—=lim「=1

xT0sint xT0sint-x

xsin—lim2nsin三=lim 也=x2n xn—3 匕nssinx-sinx1 …「tanx-sinx 「cosx 「1-cosxlim =lim■cosx =lim iosin3x I。sin3xx^0cosxsin2x1一cosx 1 1=lim =lim =—xtocosx(1一cosx)(1+cosx) xtocosx(1+cosx)22.計(jì)算下列極限1一[ 1(1)令一x=t，原式=lim(1+1)t ——xt0 e(2)(2￥lim1+—xT0\ xJx—limxt0e4(3)(3\lim(1-3xT^\xJ:-1(3\-x( 3\-1—lim[1-3]3]-11-3xT8VxJVx)(4)lim"+xT^V—limxT82( 2、-11+一 —e2V 1+xJ1 ( 1\x(6)令一—tliml1-—x xT^V xJ第六節(jié)無(wú)窮大與無(wú)窮小二、無(wú)窮小定義如果函數(shù)f(x),xTx0(xT3)時(shí)的極限為零，那么函數(shù)f(x)稱為

X—%(或xT3)時(shí)的無(wú)窮小量(簡(jiǎn)稱無(wú)窮小)。注意，無(wú)窮小量是一個(gè)以0為極限的函數(shù)，不要把它和很小的書(shū)(例如百分之一)混淆在一起，除了常數(shù)0課作為無(wú)窮小以外，其他任何常數(shù)，即使其絕對(duì)值很小，都不是無(wú)窮小。無(wú)窮小有如下的性質(zhì)：，性質(zhì)1無(wú)窮小量于有界函數(shù)之積仍為無(wú)窮小量證明：我們只證明xTx0時(shí)的情況設(shè)函數(shù)r⑴在x0的某一去心鄰域x^U(君,5)時(shí)候就有界，即存在正數(shù)M，使得r(x)<M,xeU(x0,5)又設(shè)f(x)是當(dāng)xTx0時(shí)的無(wú)窮小量，則對(duì)于任給的正數(shù)￡，存在52>0,<當(dāng)xeU(x0,5)時(shí)候，有￡ ￡lf(￡ ￡lf(x)-o|<m,即If(x)lvm取5=min{51,&一}￡|r(x)f(x)-0=|r(x)||f(x)|vM-福=￡這說(shuō)明那么當(dāng)"eU(x0，5)時(shí)候，就有l(wèi)imr(x)f(x)=0nr(x)f(x)xTx0xTx0時(shí)的無(wú)窮小。，性質(zhì)2兩個(gè)無(wú)窮小量之積為無(wú)窮小。性質(zhì)3兩個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和為無(wú)窮小量。性質(zhì)2和性質(zhì)3可由極限的運(yùn)算法則可以得到。無(wú)窮小量是極限為零的函數(shù)，它與極限值不為零的函數(shù)有著密切的關(guān)系，下面的定理就闡述了這個(gè)關(guān)系。定理1、在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)有極限的充分必要條件是函數(shù)可以寫成常數(shù)與無(wú)窮小量的和，即limf(x)=A=f(x)=A+a(x),lima(x)=0.xTx xTx0 0x0可以是有限數(shù)’也可以是-證明：我們僅對(duì)于％是有限數(shù)的情況進(jìn)行證明’類似的’讀者可以證明x*的情形若limf(x)=A，則對(duì)于任意給定的正數(shù)￡，存在正數(shù)5，使得當(dāng)0<|x-x0|<5時(shí)，有xTx0|f(x)-A|v￡，令a(x)=f(x)一A，則f(x)=a(x)+A，則lima(x)=0xTx0反之，若f(x)=a(x)+A，且lima(x)=0，則lim[f(x)-A]=0，即limf(x)=AxTx0 xTx0 xTx0二、無(wú)窮大量定義如果函數(shù)而）,xTX0時(shí)（xT8）時(shí)的極限為零，那么函數(shù)f（x）稱為X—X0（或者XT8）時(shí)的無(wú)窮大量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮大量）.由定義很容易可以看出無(wú)窮大量于無(wú)窮小量有如下的關(guān)系：在自變量的同一變化過(guò)程中，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，無(wú)窮小量（不為零）的倒數(shù)是無(wú)窮大量.需要強(qiáng)調(diào)的是：（1） 無(wú)窮小量和無(wú)窮大量是與某一極限過(guò)程相互聯(lián)系的，如函數(shù)一上，XT0x3—1時(shí)候是無(wú)窮小量，在xT1時(shí)是無(wú)窮大量，在xT-1時(shí)既不是無(wú)窮大量也不是無(wú)窮小量.（2） 很大很大的數(shù)不是無(wú)窮大量.（3） 無(wú)界量不一定是無(wú)窮大量，如函數(shù)了（x）=xcosx,xE（-8,8）上無(wú)界，但是在xT8上時(shí)，不是無(wú)窮大量.無(wú)窮小量雖然都是趨于0的變量，但是不同的無(wú)窮小量趨于0的速度卻不一定相同，有時(shí)可能相差很大.三、無(wú)窮小的比較由無(wú)窮小的性質(zhì)可以知道，兩個(gè)無(wú)窮小的和，差，乘積任然是無(wú)窮小，但是無(wú)窮小的商會(huì)出現(xiàn)不公的情況，例如當(dāng)xT0,x2,2x,sinx都是無(wú)窮小，但是x2 x 2x 2 sinx1sinx1lim——=lim—=0,lim——=lim—=8,lim =—,lim =—xT02xxT02xT0x2xT0x xT02x2xT0x2這說(shuō)明xTx2比2xT0來(lái)的快些，或者反過(guò)來(lái)說(shuō)2xT0比xTx2慢些，而sinxT0與2xT0快慢差不多，由此可見(jiàn)，無(wú)窮小雖然都是可以以0為極限的變量，但是它們趨于0的速度不同，引進(jìn)無(wú)窮小的階的概念.定義：若以，P都是無(wú)窮小量，以如果：lim=0就說(shuō)P是比a高階無(wú)窮小，記作P=。（以）；P

如果Hm?"=8，就說(shuō)P是比a低階無(wú)窮小;Pa 八如果lim=C^0，就說(shuō)P與a同階無(wú)窮小;p_a如果如果Hm?"=8，就說(shuō)P是比a低階無(wú)窮小;Pa 八如果lim=C^0，就說(shuō)P與a同階無(wú)窮小;p_a如果lim=1，就說(shuō)P與a是等價(jià)的，記作P?aP顯然，等價(jià)無(wú)窮小是同階無(wú)窮小的特殊情況，即C=1定理2P與a是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件是P=a+。(以)證明：必要性：設(shè)P?a，則有l(wèi)im =lim(U—1)=0即P—a=o(a)aa充分性：設(shè)p=a+o(a)，則有「p「a+o(a)

lim一=lim a ao(a)

=lim(1+ )=a所以P?aP' …P「P'且lim—-存在，則lim—=lim—-定理3設(shè)a?a'，P?P'PPP'證明：lim-=lim(^-?--巴)=lim§lim虹lim巴aP'a'a習(xí)題1-61.(1)無(wú)窮大(2)無(wú)窮小量(3)無(wú)窮小量(4)無(wú)窮大量%—1無(wú)窮大量%—8,%—-8無(wú)窮小量(1)0(2)1

4.X2—x3是2X-X2的高階無(wú)窮小量5.(1)同階不等價(jià)(2)(2)(3)6. (1)(2)(3)同階等價(jià)043——2第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、 函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)定義1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若limf(x)=f(x)XTX0 0則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)X連續(xù).0定義2設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若limAy=0，則稱函數(shù)f(x)0 Ax項(xiàng)在點(diǎn)x0連續(xù).有時(shí)候需要考慮函數(shù)在一點(diǎn)x0的一側(cè)的連續(xù)性，由此引入左右連續(xù)的概念，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果limf(x)=f(x)0ix0—?jiǎng)t稱為f(x)在點(diǎn)x0左連續(xù)；如果limf(x)=f(x)0ix0+則稱為f(x)在點(diǎn)x0右連續(xù).根據(jù)極限運(yùn)算法則和連續(xù)函數(shù)的定義可以知道，有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商(分母不為0)也是連續(xù)函數(shù)，有連續(xù)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).由此可以得到初等函數(shù)的連續(xù)性的重要結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)定義函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)，稱為間斷點(diǎn).顯然，如果f(x)在點(diǎn)X0處有下列三種情形之一，則X0為f(x)的間斷點(diǎn)：在點(diǎn)X0處，f(x)沒(méi)有定義；limf(x)不存在；xTx0雖然f(x)有定義，limf(x)存在，但是limf(x)。f(x).0 xf xf 0通常把函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：第一類間斷點(diǎn)：若函數(shù)f(x)在x0的左右極限都存在，但是不連續(xù)，則稱x0為f(x)的第一類間斷點(diǎn).第二類間斷點(diǎn)：若函數(shù)f(x)在x0的左右極限之少有一個(gè)不存在，則稱x0為f(x)的第二類間斷點(diǎn).三、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有一下的四個(gè)重要性質(zhì)，給予說(shuō)明.定理1(最大值和最小值存在定理)閉區(qū)間a,對(duì)上連續(xù)函數(shù)比有最大值和最小值這就是說(shuō)，如果f(x)在a,b］上連續(xù)，則之少存在一點(diǎn)&1和&2使得f(&1)為最小值，f(&2)為最小值，即f(%)<f(x)<f(&2),xe［a,b］.定理2(有界性定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b］上連續(xù)，則f(x)于閉區(qū)間a,b］上必有界因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在閉區(qū)間a,。］上連續(xù)，由定理1可知，存在f(x)在a,。］上的最小值m,和最大值M，使得在a,b］上的任意一點(diǎn)滿足m<f(x)<M,xe［a,b］.定理3(介值定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b］上連續(xù)，且f(a)=A,f(b)=B,A。BA,B異號(hào)，則于A,B之間的任一值，則在(a,b)內(nèi)之少存在一點(diǎn)&，使得f(&)=C顯而易見(jiàn)，一條直線y=C把平面分割成兩個(gè)部分，沿著y=f(x)，從上半部分(y>C)的P點(diǎn)到下半部分(y<C)的。點(diǎn)，這一連續(xù)路徑必然會(huì)與分家線y=C相交，點(diǎn)R對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)&就滿足f(&)=C.定理4(零點(diǎn)存在定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間"b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)f(b)<0)，則一定存在x0e(a,b)，使得f(x°)=0(也稱x0為f(x)的零點(diǎn)).習(xí)題1-7(1)limf(x)=0,limf(x)=—2,「.limf(x)。limf(x),「.x=1是間斷點(diǎn)。x—1+ x—^1— x—1+ x—^1—因?yàn)樽笥覙O限都存在，所以是第一類間斷點(diǎn)。(2，「函數(shù)定義域?yàn)?—8，—2)D(—2，8)，「.x——2是間斷點(diǎn)。?limf(x)不存在，.??x—-2是第二類間斷點(diǎn)。x—2(3)limSinx—L-Hmf(x)。f(0)x—0是間斷點(diǎn)，并且是可取間斷點(diǎn)，補(bǔ)充定x—0x x—0義：f(0)—1而且(4) ?y=(limf(x)—limf(x)—f⑴x—1+ x——1而且limf(x)—limf(x)—f⑴x—1+ x——1—(x—1)(x—2)x+1 x+1limf(x)—lim———2x=1是可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充定義f⑴—2，?lim—不存在x—1 x—1x—2 x—2x—2x—2是第二類間斷點(diǎn)。不連續(xù)。連續(xù)區(qū)間為：(—8，—3)u(—3,2)u(2,+8)。f(x)在定義域上是初等函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間是(—8，—3)頊—3,2)u(2,+8)，4.,/limf(x)—lim2一x—1x—1+ x—1+limf(x)—limx2—1x——1— x——1—

f(x)在x=1連續(xù)且在(0，1)和(L2)上是初等函數(shù)，f(x)在［0,2］上連續(xù)5.5.(1)e-2+1-2證明：令f(x)=ex-3x, f(0)=1>0,f⑴=e—3<0，又f(x)在(0,1)上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)區(qū)間的零點(diǎn)存在定理，之少存在一代e(0,1)，使得f(&)=0，所以方程ex=3x在區(qū)間(0,1)內(nèi)之少有一個(gè)實(shí)根。證明：令f(x)=x—asinx—b,則f(x)在閉區(qū)間[0,a+b]上連續(xù)，且f(0)=—b<0(b>0),f(a+b)=a(1—sin(a+b))>0(a>0)，當(dāng)f(a+b)=0，易得x=a+b，當(dāng)f(a+b)>0，由根的存在定理可知，之少存在一點(diǎn)&e(0,a+b)，使得f(&)=0，所以方程x=asinx+b(a>0,b>0)之少存在一個(gè)正根，并且不超過(guò)a+b。綜合題(一)一.填空題(—8,0)u(0,1)u(1,2)u(2,+8)(-2，2)(1，e)arcsin(1—x2),[—%.2,2]5.f5.f(x)=4—x,x>2x,x<26.22x,2x28.e2x—2ex9.410.y=ln(1+x),(—1,8)11.212.兀13.014.e215.216.不存在17.-1118.2ln2719.20.y=b,x=x021.emn22.223.225.(1,2)u(2,+8)26(—8，0)u(0,+8)27.x=—2和x=—128.x=129.閉區(qū)間上30.e2.選擇題1-5AABDB6-10DCDBA11-15ADDBC16-20(ABD)CABD21-25BCDDA26-20DCBAA計(jì)算題1.x+2>0rx>—2n< n—2<x<0x—x。0Ix<02.log(logx)>0,logx>1,.x>63.f[g(3)]中g(shù)⑶=3—1=2 f[g(3)]=f⑵=x2+21x=2=84.f[p(x)]=1+ln(ex-1)nex-1>0,nex>1nx>05.(1)x2=y2—1nx=ry2—1,.?.y=—%?x2—1,(x>1)e2x—1(2)2y= n2yex=e2x—1又因?yàn)樵摵瘮?shù)是隱函數(shù)9.10.11.1 3 1 +...n2 n22n—1+ n2是等差數(shù)列，(1+2n—1)n1 3 + +..?+2n—1_2n2n2n2n21 3lim 1 +-2n---+1 .=lim1=1…n2n2n2x—3n.12n+1—1「n1=lim =lim =—nw22n+1 n*2n+1 2=lim =2==1所以反函數(shù)為2xey=e2y-16.7.8.ns;'1+上+1:*x\ \-xlimxlnx*xT8 x xT8=limxln(1+—x1—cosx2原式=limxT0原式=limx4

sinx2x2所以用等差求和公式進(jìn)行求解=1、 1ln(1+_)=lim—=1xs1—cosx21—x4lim xto sinx2x2=lim—-xWx+2)(x—2)xWx—2) 412.=limXT01A.1+xsinx+113.213.2=lim(1+xex)xXT0lim[(1+xex)xex]2ex=limeex=eXT0 xT014.1 11—cos—lim x1xs2x215.[ 11—cos—=lim x八1xsx2x+1—2=lim( )x+2=lim(1一xsx+1 xT8 x+12 1設(shè)t= ，則上式=lim[(1+1)t]-2(1+