2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教B版全國通用版講義：第二章 平面解析幾何初步2.2.1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2。2直線的方程2。2。1直線方程的概念與直線的斜率學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解直線的方程、方程的直線的概念。2。理解直線的傾斜角、斜率，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.3。體會用斜率和傾斜角刻劃直線的傾斜程度，并掌握它們之間的關(guān)系．知識點(diǎn)一直線的方程與方程的直線對于y＝2x＋1的圖象,觀察并思考以下問題：思考1點(diǎn)(1,3)為直線上的點(diǎn)，x＝1，y＝3滿足關(guān)系式y(tǒng)＝2x＋1嗎？點(diǎn)（－2，－3）在y＝2x＋1的圖象對應(yīng)的直線上嗎?一次函數(shù)y＝2x＋1的圖象上的點(diǎn)與滿足關(guān)系式y(tǒng)＝2x＋1的實(shí)數(shù)對(x，y）有怎樣的關(guān)系？答案將點(diǎn)(－2,－3)描在上述直角坐標(biāo)系內(nèi)，觀察到點(diǎn)(－2,－3）在y＝2x＋1的圖象對應(yīng)的直線上．存在著一一對應(yīng)的關(guān)系．思考2一元一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0)的解析式可看作二元一次方程,那么方程y＝kx＋b的解與其圖象上的點(diǎn)存在怎樣的關(guān)系？答案由于函數(shù)y＝kx＋b（k≠0)或y＝b都是二元一次方程，因此，方程y＝kx＋b的解與其圖象上的點(diǎn)存在著一一對應(yīng)的關(guān)系．梳理直線的方程與方程的直線(1）兩個條件①以一個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上．②這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解．（2）一個結(jié)論這個方程叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線．知識點(diǎn)二直線的傾斜角與斜率名稱斜率傾斜角定義直線y＝kx＋b中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率x軸正向與直線向上的方向所成的角α叫做這條直線的傾斜角范圍（－∞，＋∞）0°≤α＜180°關(guān)系當(dāng)k＝0時，傾斜角為零度角，此時直線與x軸平行或重合;當(dāng)k＞0時，傾斜角為銳角，此時，k值增大，直線的傾斜角也隨著增大；當(dāng)k＜0時，傾斜角為鈍角,此時,k值增大，直線的傾斜角也隨著增大；特別地，當(dāng)傾斜角為90°時,斜率k不存在，直線垂直于x軸知識點(diǎn)三直線的斜率公式若直線y＝kx＋b上任意兩點(diǎn)A(x1，y1），B（x2,y2）且x1≠x2,令Δx＝x2－x1,Δy＝y(tǒng)2－y1，則k＝eq\f（y2－y1，x2－x1)＝eq\f（Δy,Δx）.1．任一直線都有傾斜角，都存在斜率．(×）2．若直線的傾斜角為α,則0°≤α≤180°.（×)3．若一條直線的傾斜角為α,則它的斜率k＝tanα。（×)類型一求直線的傾斜角例1設(shè)直線l過原點(diǎn)，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)40°,得直線l1，則直線l1的傾斜角為（)A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．當(dāng)0°≤α<140°時為α＋40°，當(dāng)140°≤α<180°時為α－140°答案D解析根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示．因?yàn)?°≤α<180°，顯然A，B,C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖（如圖所示）可知，當(dāng)0°≤α<140°時，l1的傾斜角為α＋40°；當(dāng)140°≤α〈180°時，l1的傾斜角為40°＋α－180°＝α－140°。故選D.反思與感悟(1)解答本類題要注意根據(jù)傾斜角的概念及傾斜角的取值范圍解答．(2)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角,有時要根據(jù)情況分類討論．跟蹤訓(xùn)練1已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為________．答案60°或120°解析有兩種情況：①如圖(1），直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°,即直線l的傾斜角為60°。②如圖（2)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°。類型二直線斜率公式的應(yīng)用例2已知直線l過點(diǎn)M（m＋1，m－1)，N(2m,1）．（1)當(dāng)m為何值時，直線l的斜率是1?（2)當(dāng)m為何值時，直線l的傾斜角為90°？解（1)因?yàn)橹本€l的斜率是1，所以eq\f（m－2,1－m)＝1,所以m＝eq\f(3，2).即當(dāng)m＝eq\f（3，2）時，直線l的斜率是1。（2）因?yàn)橹本€l的傾斜角為90°，所以直線l的斜率不存在，所以m＋1＝2m，所以m＝1。即當(dāng)m＝1時,直線l的傾斜角為90°.反思與感悟利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)（1）運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2"，即直線不與x軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時，斜率是不存在的．(2）斜率公式與兩點(diǎn)P1、P2的先后順序無關(guān),即公式中的x1與x2，y1與y2可以同時交換位置．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，直線l1，l2,l3都經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，又l1，l2,l3分別經(jīng)過點(diǎn)Q1(－2，－1）,Q2（4，－2），Q3（－3，2)，計(jì)算直線l1，l2，l3的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．解設(shè)k1，k2，k3分別表示直線l1，l2，l3的斜率．由于Q1，Q2,Q3的橫坐標(biāo)與P點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不相等，所以k1＝eq\f（－1－2,－2－3)＝eq\f(3,5),k2＝eq\f(－2－2,4－3）＝－4，k3＝eq\f（2－2,－3－3）＝0.由k1>0知，直線l1的傾斜角為銳角；由k2<0知，直線l2的傾斜角為鈍角；由k3＝0知,直線l3的傾斜角為0°。類型三直線的傾斜角、斜率的綜合應(yīng)用命題角度1三點(diǎn)共線問題例3如果三點(diǎn)A（2,1），B（－2，m），C(6，8)在同一條直線上，求m的值．解kAB＝eq\f(m－1,－2－2）＝eq\f(1－m，4），kAC＝eq\f（8－1,6－2)＝eq\f（7,4)，∵A，B，C三點(diǎn)共線,∴kAB＝kAC,即eq\f（1－m,4）＝eq\f（7，4)，∴m＝－6。反思與感悟斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的．直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即同一直線上任何不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等，這正是利用斜率相等可證明點(diǎn)共線的原因．跟蹤訓(xùn)練3證明A(－2,12)，B(1,3），C(4，－6）三點(diǎn)在同一條直線上．證明易知直線AB，AC的斜率都存在,∵kAB＝eq\f（12－3,－2－1）＝eq\f(9,－3)＝－3,kAC＝eq\f(－6－12，4－－2）＝eq\f(－18，6)＝－3，∴kAB＝kAC，又AB，AC過同一點(diǎn)A，∴A，B，C三點(diǎn)共線．命題角度2數(shù)形結(jié)合法求傾斜角或斜率范圍例4直線l過點(diǎn)P（1,0)，且與以A(2,1），B（0，eq\r（3）)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍．解如圖所示．∵kAP＝eq\f(1－0，2－1)＝1，kBP＝eq\f（\r（3)－0，0－1）＝－eq\r（3)，∴k∈(－∞，－eq\r（3）]∪[1，＋∞）,∴45°≤α≤120°.反思與感悟（1）由傾斜角（或范圍）求斜率（或范圍），利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決．（2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k＝eq\f(y2－y1，x2－x1)(x1≠x2）求解．（3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常利用數(shù)形結(jié)合及公式求解．跟蹤訓(xùn)練4已知A(3,3），B(－4,2)，C(0，－2)．若點(diǎn)D在線段BC上（包括端點(diǎn))移動，求直線AD的斜率的取值范圍．解如圖所示．當(dāng)點(diǎn)D由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時，直線AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直線AD的斜率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7），\f(5,3）)）.1．對于下列命題：①若α是直線l的傾斜角,則0°≤α<180°；②若k是直線的斜率，則k∈R;③任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③正確．2．若經(jīng)過A(m,3），B(1，2）兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°，則m等于（)A．2B．1C．－1D．－2答案A解析由tan45°＝eq\f（2－3，1－m)＝1，得m＝2.3．若三點(diǎn)A（2，3)，B(3，2)，Ceq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）,m)）共線，則實(shí)數(shù)m的值為________．答案eq\f（9，2)解析設(shè)直線AB，BC的斜率分別為kAB,kBC，則由斜率公式,得kAB＝eq\f(3－2，2－3)＝－1，kBC＝eq\f(m－2,\f(1，2)－3）＝－eq\f(2,5）（m－2）．∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴kAB＝kBC，即－1＝－eq\f（2，5）(m－2）,解得m＝eq\f（9，2）。4．經(jīng)過A(m,3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角α的取值范圍是________．(其中m≥1)答案（0°，90°]解析當(dāng)m＝1時，傾斜角α＝90°；當(dāng)m〉1時，tanα＝eq\f（3－2，m－1)>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°。5．已知交于點(diǎn)M（8,6)的四條直線l1，l2,l3，l4的傾斜角之比為1∶2∶3∶4,又知l2過點(diǎn)N(5，3)，求這四條直線的傾斜角．解l2的斜率為eq\f(6－3,8－5)＝1,∴l(xiāng)2的傾斜角為45°，由題意可得l1的傾斜角為22.5°,l3的傾斜角為67。5°,l4的傾斜角為90°。1．直線的斜率和傾斜角反映了直線的傾斜程度,二者緊密相連,如下表：直線情況平行于x軸垂直于x軸α的大小0°0°〈α〈90°90°90°〈α<180°k的范圍0k〉0不存在k<0k的增減情況k隨α的增大而增大k隨α的增大而增大2.用斜率公式解決三點(diǎn)共線問題一、選擇題1．下列說法中正確的是（)A．一條直線和x軸的正方向所成的正角，叫做這條直線的傾斜角B．直線的傾斜角α的取值范圍是［0°，180°]C．和x軸平行的直線的傾斜角為180°D．每一條直線都存在傾斜角,但并非每一條直線都存在斜率答案D解析傾斜角是直線向上方向與x軸的正方向所成的角,故A不正確；直線的傾斜角的取值范圍是［0°，180°），故B不正確;當(dāng)直線與x軸平行時，傾斜角為0°，故C不正確．2．若直線過坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)(1，2)，（4,2＋eq\r（3)），則此直線的傾斜角是（)A．30°B．45°C．60°D．90°答案A解析由題意知，k＝eq\f（2＋\r（3)－2,4－1)＝eq\f(\r（3），3),∴直線的傾斜角為30°.3．已知直線l的斜率的絕對值等于eq\r(3)，則直線l的傾斜角為()A．60° B．30°C．60°或120° D．30°或150°答案C解析由題意知,|tanα｜＝eq\r（3），即tanα＝eq\r(3)或tanα＝－eq\r(3)，∴直線l的傾斜角為60°或120°.4．下列各組中，三點(diǎn)能構(gòu)成三角形的三個頂點(diǎn)的為()A．（1,3)，（5，7），(10，12） B．(－1，4），（2,1),(－2,5）C．（0,2)，（2,5)，(3，7) D．(1，－1），（3，3），（5，7)答案C解析A，B，D三個選項(xiàng)中三點(diǎn)均共線．5。若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2,k3，則（)A．k1<k2〈k3B．k3<k1<k2C．k3<k2〈k1D．k1〈k3<k2答案D解析由題圖可知,k1<0，k2〉0,k3>0,且l2比l3的傾斜角大．∴k1<k3〈k2.6．已知點(diǎn)A(a,2）,B(3，b＋1），且直線AB的傾斜角為90°，則(）A．a(chǎn)＝3，b＝1 B．a(chǎn)＝2，b＝2C．a(chǎn)＝2,b＝3 D．a(chǎn)＝3，b∈R且b≠1答案D解析∵A（a，2），B(3，b＋1），且直線AB的傾斜角為90°，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝3，,2≠b＋1，)）即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3，，b≠1，)）即a＝3，b∈R且b≠1。7．一條直線l與x軸相交,其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°〈α〈90°)，則其傾斜角為()A．α B．180°－αC．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α答案D解析如圖所示，當(dāng)l向上的部分在y軸左側(cè)時，傾斜角為90°＋α；當(dāng)l向上的部分在y軸右側(cè)時，傾斜角為90°－α。故選D。8．已知直線l過點(diǎn)A（1，2)，且不過第四象限,則直線l的斜率k的最大值是（)A．0B．1C。eq\f（1,2）D．2答案D解析如圖,kOA＝2，kl′＝0,只有當(dāng)直線落在圖中所示的位置時才符合題意，故k∈［0,2］．故直線l的斜率k的最大值為2.二、填空題9．斜率為2的直線過（3，5），（a，7）,(－1，b)三點(diǎn)，則a＋b＝________.答案1解析由題意，得2＝eq\f（7－5，a－3）＝eq\f(b－5，－1－3),∴a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.10．已知點(diǎn)A（1,2)，若在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，使直線PA的傾斜角為135°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．答案(3，0）或（0,3）解析由題意知，kPA＝－1，若點(diǎn)P在x軸上,則設(shè)P（m，0）,則eq\f(0－2，m－1）＝－1，解得m＝3;若點(diǎn)P在y軸上，則設(shè)P（0，n），則eq\f（n－2，0－1）＝－1，解得n＝3，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,0)或（0,3)．11．若經(jīng)過點(diǎn)A（1－t，1＋t)和點(diǎn)B（3,2t)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________．答案(－2,1)解析由題意知，kAB＝eq\f（2t－1＋t,3－1－t）＝eq\f（t－1,t＋2)。因?yàn)橹本€的傾斜角為鈍角，所以kAB＝eq\f（t－1,t＋2)〈0，解得－2〈t<1。三、解答題12．已知點(diǎn)A(m，－m＋3），B（2，m－1)，C(－1,4）,直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求m的值．解由題意直線AC的斜率存在，得m≠－1.∴kAC＝eq\f(－m＋3－4,m＋1），kBC＝eq\f(m－1－4,2－－1）?！鄀q\f(－m＋3－4,m＋1）＝3·eq\f(m－1－4,2－－1），整理，得－m－1＝（m－5)(m＋1),即（m＋1）（m－4)＝0，∴m＝4或m＝－1(舍去）．∴m＝4.13．已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)P(3，－1)，M(6，2)，N(－eq\r(3）,eq\r(3）），直線l過點(diǎn)P。若直線l與線段MN相交，求直線l的傾斜角的取值范圍．解考慮臨界狀態(tài)，令直線PM的傾斜角為α1，直線PN的傾斜角為α2，由題意知，tanα1＝1,tanα2＝－eq\f（\r(3），3），故直線PM的傾斜角為45°,直線PN的傾斜角為150°。根據(jù)傾斜角的定義知，符合條件的直線l的傾斜角α的取值范圍是45°≤α≤150°。四、探究與拓展14．若點(diǎn)P(x，y）在以A(－3，1)，B(－1,0)，C(－2，0）為頂點(diǎn)的△ABC的內(nèi)