第2導(dǎo)數(shù)與微分-5積分概念

高等數(shù)學(xué)（上）BTS總體方案設(shè)計(jì)報(bào)告第五章定積分一、問(wèn)題的提出1）曲邊梯形的面積xyoab第一節(jié)定積分的概念與存在條件

在區(qū)間[a，b]

中任意插入ｎ－１個(gè)分點(diǎn):把區(qū)間[a，b]

分成

n

個(gè)小區(qū)間設(shè)任取1)劃分(化整為零)：2)不變代變：不變的高代替變化的高，曲邊梯形轉(zhuǎn)化為矩形。則總曲邊梯形的面積令所以3)求和(集零為整)

：4)取極限：精確化：2）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)變速直線運(yùn)動(dòng)速度，,求.

分析思想：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上看作勻速，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值.其中1)劃分：2)不變代變：3)求和：4)取極限：3）變力所作的功一個(gè)物體在變力F=F(x)的作用下,從a運(yùn)動(dòng)到b,力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致,求變力所作的功?其中4）非均勻分布的細(xì)棒的質(zhì)量設(shè)細(xì)棒上各點(diǎn)的線密度為ρ=ρ(x),求細(xì)棒的質(zhì)量.不變代變：常力代替變力。不變代變：均勻代替非均勻。二、定積分定義設(shè)在上有定義

在區(qū)間中任意插入n－1

個(gè)分點(diǎn):將分成個(gè)小區(qū)間第ｉ個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為．1)劃分：

在每個(gè)區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，作乘積3)求和：積分上限積分下限都存在，則稱此極限為在取上的定積分，記作如果無(wú)論［ａ，ｂ］怎樣劃分及點(diǎn)怎樣選取，積分區(qū)間被積函數(shù)積分變量積分和2)不變代變：4)取極限：由此可知注(1)定義中區(qū)間的劃分與的選取是任意的.(2)定積分的值只與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]有關(guān),而與積分變量x無(wú)關(guān)，即x改為其它字母其積分值不變.表示為：三、定積分的幾何意義當(dāng)時(shí)曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值當(dāng)時(shí)如規(guī)定在x軸的上方面積為正,下方為負(fù),

則為介于a與b之間曲邊梯形如面積的代數(shù)和四、定積分存在的條件

定理1(可積的必要條件)函數(shù)f

在[a,b]上可積的必要條件是f

在[a,b]上有界.例如[0,1]上不可積.注定理1的逆不成立.如Dirichlet函數(shù).定理2若f∈C[a,b],則f在[a,b]上可積.(證略)定理4定理3例1

設(shè)例2

利用定義計(jì)算定積分.解由于f(x)=x2

在[0,1]上連續(xù),因此可積.

所以取如下劃分:則因?yàn)樗?，故有所以由上例得出積分號(hào)上限下限例3將下列和式極限表示成定積分：(1)(2)用和式極限表示定積分：算術(shù)平均值定義設(shè)f∈C