排列組合解題策略

解排列組合問題的常用策略

名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)直接（分類）完成間接（分步驟）完成做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法…，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1+m2+m3+…mn種不同的方法做一件事，完成它可以有n個(gè)步驟，做第一步中有m1種不同的方法，做第二步中有m2種不同的方法……，做第n步中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn種不同的方法.排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定義種數(shù)符號計(jì)算公式關(guān)系性質(zhì)，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按一定的順序排成一列從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，把它并成一組所有排列的的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)1、某校組織學(xué)生分4個(gè)組從3處風(fēng)景點(diǎn)中選一處去春游,則不同的春游方案的種數(shù)是（）A.B.C.D.

C練習(xí)2、將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個(gè)方格里,每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字都不相同的填法共有（）。A.6種B.9種C.11種D.23種

B解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認(rèn)真審題弄清要做什么事2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行,確定分多少步及多少類。3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素.※解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略判斷下列問題是組合問題還是排列問題?

(1)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?(2)某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票?

有多少種不同的火車票價(jià)？組合問題排列問題(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法?組合問題(4)10人聚會(huì)，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次?組合問題(5)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽,有多少種不同的方法?組合問題(6)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè),并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問題組合問題合理分類和準(zhǔn)確分步

解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏；按事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分步層次清楚.總的原則—合理分類和準(zhǔn)確分步

解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。分析：先安排甲，按照要求對其進(jìn)行分類，分兩類：根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有例16個(gè)同學(xué)和2個(gè)老師排成一排照相，2個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？1）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有種方法.若甲在第2、3、6、7位，則排尾的排法有種，1位的排法有種,第2、3、6、7位的排法有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的站法有種。再安排老師，有2種方法。把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ)例1如圖，某電子器件是由三個(gè)電阻組成的回路,其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通?，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了,那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有（）A.63種B.64種C.6種D.36種分析:由加法原理可知由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63合理分類與分步策略例.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞,3人為全能演員。以只會(huì)唱歌的5人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究:只會(huì)唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有____種,只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人員________種,只會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有____種，由分類計(jì)數(shù)原理共有______________________種。++本題還還有如如下分分類標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)：：*以3個(gè)個(gè)全能能演員員是否否選上上唱歌歌人員員為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)*以3個(gè)個(gè)全能能演員員是否否選上上跳舞舞人員員為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)*以只會(huì)會(huì)跳舞舞的2人是是否選選上跳跳舞人人員為為標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)都可經(jīng)經(jīng)得到到正確確結(jié)果果解含有有約束束條件件的排排列組組合問問題，，可按按元素素的性質(zhì)質(zhì)進(jìn)行行分類類，按按事件件發(fā)生生的連連續(xù)過過程分分步，做做到標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)明明確。。分步步層次次清楚楚，不不重不不漏，分分類標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)一一旦確確定要要貫穿穿于解解題過過程的的始終。。有不同同的數(shù)數(shù)學(xué)書書7本本，語語文書書5本本，英英語書書4本本，由由其中中取出出不是是同一一學(xué)科科的書書2本本，共共有多多少種種不同同的取取法？？（7××5+7××4+5××4=83）（4））（2005··福建建·理理）從從6人人中選選4人人分別別到巴巴黎、、倫敦敦、悉悉尼、、莫斯斯科四四個(gè)城城市游游覽，，要求求每個(gè)個(gè)城市市有一一人游游覽，，每人人只游游覽一一個(gè)城城市，，且這這6人人中甲甲、乙乙兩人人不去去巴黎黎游覽覽，則則不同同的選選擇方方案共共有（（））A．300種B．．240種種C．144種D．．96種B1.從從4名名男生生和3名女女生中中選出出4人人參加加某個(gè)個(gè)座談?wù)剷?huì)，，若這這4人人中必必須既既有男男生又又有女女生，，則不不同的的選法法共有有_______34練習(xí)題題2.3成人人2小小孩乘乘船游游玩,1號號船最最多乘乘3人人,2號船最最多乘乘2人人,3號船船只能能乘1人,他們們?nèi)芜x選2只船船或3只船船,但但小孩孩不能能單獨(dú)獨(dú)乘一一只船船,這5人人共有有多少少乘船船方法法.27特殊元元素和和特殊殊位置置問題題特殊元元素和和特殊殊位置置優(yōu)先先策略略例1.由0,1,2,3,4,5可以以組成成多少少個(gè)沒沒有重重復(fù)數(shù)數(shù)字五位奇奇數(shù).解:由由于末末位和和首位位有特特殊要要求,應(yīng)該該優(yōu)先先安排,以以免不不合要要求的的元素素占了了這兩兩個(gè)位位置先排末末位共共有___然后排排首位位共有有___最后排排其它它位置置共有有___由分步計(jì)數(shù)原理得=288位置分分析法法和元元素分分析法法是解解決排排列組組合問問題最最常用用也是是最基基本的的方法法,若若以元元素分分析為為主,需先先安排排特殊殊元素素,再再處理理其它它元素素.若若以位位置分分析為為主,需先先滿足足特殊殊位置置的要要求,再處處理其其它位位置。。若有有多個(gè)個(gè)約束束條件件，往往往是是考慮慮一個(gè)個(gè)約束束條件件的同同時(shí)還還要兼兼顧其其它條條件學(xué)生要要從六六門課課中選選學(xué)兩兩門：：（1））有兩兩門課課時(shí)間間沖突突，不不能同同時(shí)學(xué)學(xué)，有有幾種種選法法？（2））有兩兩門特特別的的課，，至少少選學(xué)學(xué)其中中的一一門，，有幾幾種選選法？？解法一：解法二：（1））有兩兩門課課時(shí)間間沖突突,不不能同同時(shí)學(xué)學(xué)，有有幾種種選法法？解法一一：解法二二：（2））有兩兩門特特別的的課，，至少少選學(xué)學(xué)其中中的一一門，，有幾幾種選選法？？7種不不同的的花種種在排排成一一列的的花盆盆里,若兩兩種葵葵花不不種在在中間間，也也不種種在兩兩端的的花盆盆里，，問有有多少少不同同的種種法？？練習(xí)題題小結(jié)：：1、““在””與““不在在”可可以相相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化。。解決決某些些元素素在某某些位位置上上用““定位位法””，解解決某某些元元素不不在某某些位位置上上一般般用““間接接法””或轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為“在在”的的問題題求解解。2、排排列組組合應(yīng)應(yīng)用題題極易易出現(xiàn)現(xiàn)“重重”、、“漏漏”現(xiàn)現(xiàn)象，，而重重”、、“漏漏”錯(cuò)錯(cuò)誤常常發(fā)生生在該該不該該分類類、有有無次次序的的問題題上。。為了了更好好地防防“重重”堵堵“漏漏”，，在做做題時(shí)時(shí)需認(rèn)認(rèn)真分分析自自己做做題思思路，，也可可改變變解題題角度度，利利用一一題多多解核核對答答案相鄰相相間問問題相鄰元元素捆捆綁策策略例.7人人站成成一排排,其中中甲乙乙相鄰鄰且丙丙丁相相鄰,共共有有多少少種不不同的的排法法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可可先將將甲乙乙兩元元素捆捆綁成成整體體并看看成一個(gè)復(fù)復(fù)合元元素，，同時(shí)時(shí)丙丁丁也看看成一一個(gè)復(fù)合元元素，，再與與其它它元素素進(jìn)行行排列列，同時(shí)對對相鄰鄰元素素內(nèi)部部進(jìn)行行自排排。要求某某幾個(gè)個(gè)元素素必須須排在在一起起的問問題,可以以用捆綁法法來解解決問問題.即將將需要要相鄰鄰的元元素合合并為一個(gè)個(gè)元素素,再再與其其它元元素一一起作作排列列,同同時(shí)要注意意合并并元素素內(nèi)部部也必必須排排列.例5個(gè)男男生3個(gè)女女生排排成一一排,3個(gè)個(gè)女生生要排排在一一起,有多多少種種不同同的排排法?結(jié)論捆綁法法:要求某某幾個(gè)個(gè)元素素必須須排在在一起起的問問題,可以以用捆捆綁法法來解解決問問題.即將將需要要相鄰鄰的元元素合合并為為一個(gè)個(gè)元素素,再再與其其它元元素一一起作作排列列,同同時(shí)要要注意意合并并元素素內(nèi)部部也可可以作作排列列.有8本本互不不相同同的書書,其其中數(shù)數(shù)學(xué)書書3本本,外外文書書2本本,其其他書書3本本.若若將這這些書書排成成一列列放在在書架架上,則數(shù)數(shù)學(xué)書書恰好好排在在一起起,外外文書書也恰恰好排排在一一起的的排法法共有有_____種種(結(jié)結(jié)果用用數(shù)值值表表示).不相鄰鄰問題題插空空策略略例3.一個(gè)個(gè)晚會(huì)會(huì)的節(jié)節(jié)目有有4個(gè)個(gè)舞蹈蹈,2個(gè)相相聲,3個(gè)個(gè)獨(dú)唱,舞蹈蹈節(jié)目目不能能連續(xù)續(xù)出場場,則則節(jié)目目的出出場順序序有多多少種種？解:分分兩步步進(jìn)行行第一一步排排2個(gè)個(gè)相聲聲和3個(gè)獨(dú)獨(dú)唱共共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種

不同的方法

由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)元素相相離問問題可可先把把沒有有位置置要求求的元元素進(jìn)進(jìn)行排排隊(duì)再再把不不相鄰鄰元素素插入入中間間和兩兩端不相鄰鄰問題題———插空空法對于某某幾個(gè)個(gè)元素素不相相鄰得得排列列問題題，可可先將將其它它元素排排好，，然后后再將將不相相鄰的的元素素在已已排好好的元元素之間及及兩端端的空空隙之之間插插入即即可。。例57人人站成成一排排照相相，要要求甲甲，乙乙，丙丙三人人不相相鄰，，分別別有多多少種種站法法？分析：可先讓其余4人站好，共有種排法，再在這4人之間及兩端的5個(gè)“空隙”中選三個(gè)位置讓甲、乙、丙插入，則有種方法，這樣共有種不同的排法。某班新年年聯(lián)歡會(huì)會(huì)原定的的5個(gè)節(jié)節(jié)目已排排成節(jié)目目單，開開演前又又增加了了兩個(gè)新新節(jié)目.如果將將這兩個(gè)個(gè)新節(jié)目目插入原原節(jié)目單單中，且且兩個(gè)新新節(jié)目不不相鄰，，那么不不同插法法的種數(shù)數(shù)為（））30練習(xí)題（1）三三個(gè)男生生，四個(gè)個(gè)女生排排成一排排，男生生、女生生各站一一起，有有幾種不不同方法法？（2）三個(gè)男生生，四個(gè)個(gè)女生排排成一排排，男生之間間、女生生之間不不相鄰，，有幾種種不同排排法？捆綁法：：插空法：：（3）(2005··遼寧)用１、、２、３３、４、、５、６６、７、、８組成沒有有重復(fù)數(shù)數(shù)字的八八位數(shù)，，要求１１與２相相鄰，３３與４相相鄰，５５與６相相鄰，而而７與８８不相鄰鄰，這樣樣的八位位數(shù)共有有___________個(gè)個(gè)．（用用數(shù)字作作答）練習(xí)(3)(2005··遼寧)用１、、２、３３、４、、５、６６、７、、８組成沒有有重復(fù)數(shù)數(shù)字的八八位數(shù)，，要求１１與２相相鄰，３與４相相鄰，５５與６相相鄰，而而７與８８不相鄰鄰，這樣的八八位數(shù)共共有___________個(gè)．（（用數(shù)字字作答））將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列有種，再將７、８插入4個(gè)空位中的兩個(gè)有種，故有種．

引申:用用１、２２、３、、４、５５、６、、組成沒沒有重復(fù)復(fù)數(shù)字的六位數(shù)數(shù)，要求求１與２２相鄰，，３與４４相鄰，，５與６６相鄰，現(xiàn)現(xiàn)將7、、8插插進(jìn)去，，仍要求求１與２２相鄰，，３與４４相鄰，５５與６相相鄰，那那么插法法共有___________種．．（用數(shù)字字作答））某人射擊擊8槍，，命中4槍，4槍命中中恰好有有3槍連連在一起起的情形形的不同同種數(shù)為為（））練習(xí)題20“相鄰””用“捆捆綁”，，“不鄰鄰”就““插空””例七人人排成一一排，甲甲、乙兩兩人必須須相鄰，，且甲、、乙都不不與丙相相鄰，則則不同的的排法有有（））種960種種（（B）840種種（（C）720種種（（D）600種種解：另解：例學(xué)校組織織老師學(xué)學(xué)生一起起看電影影，同一一排電影影票12張。8個(gè)學(xué)生生，4個(gè)個(gè)老師，，要求老老師在學(xué)學(xué)生中間間，且老老師互不不相鄰，，共有多多少種不不同的坐坐法？解先排學(xué)生生共有種種排法法,然后后把老師師插入學(xué)學(xué)生之間間的空檔檔，共有有7個(gè)空空檔可插插,選其其中的4個(gè)空檔檔,共有有種種選選法.根根據(jù)乘法法原理,共有的的不同坐坐法為種種.結(jié)論插入法:對于某兩兩個(gè)元素素或者幾幾個(gè)元素素要求不不相鄰的的問題,可以用用插入法法.即先先排好沒沒有限制制條件的的元素,然后將將有限制制條件的的元素按按要求插插入排好好元素的的空檔之之中即可可.分析此題涉及及到的是是不相鄰鄰問題,并且是是對老師師有特殊殊的要求求,因此此老師是是特殊元元素,在在解決時(shí)時(shí)就要特特殊對待待.所涉涉及問題題是排列列問題.小結(jié)：以元素相相鄰為附附加條件件的應(yīng)把把相鄰元元素視為為一個(gè)整整體，即即采用““捆綁法法”；以以某些元元素不能能相鄰為為附加條條件的,可采用用“插空空法”。?！安蹇湛铡庇型瑫r(shí)“插插空”和和有逐一一“插空空”,并并要注意意條件的的限定.定序問題題定序問題題倍縮空空位插入入策略例7人排隊(duì)隊(duì),其中中甲乙丙丙3人順順序一定定共有多多少不同的的排法解:(倍縮法)對于某某幾個(gè)元元素順序序一定的的排列問題,可可先把這這幾個(gè)元元素與其其他元素素一起進(jìn)行排列列,然后后用總排排列數(shù)除除以這幾個(gè)元元素之間的的全排列列數(shù),則共有不不同排法法種數(shù)是：（空位法）設(shè)想有有7把椅椅子讓除除甲乙丙丙以外的四人就就坐共有有種方法，，其余的的三個(gè)位置甲乙乙丙共有有種坐法，，則共有有種方法。1思考:可可以先讓讓甲乙丙丙就坐嗎嗎?（插入法)先排甲甲乙丙三三個(gè)人,共有1種排法法,再把其余4四人依次插入共有有方法4*5*6*7定序問題題可以用用倍縮法法，還可可轉(zhuǎn)化為為占位插插空模型型處理練習(xí)題10人身身高各不不相等,排成前前后排，，每排5人,要要求從左至至右身高高逐漸增增加，共共有多少少排法？？例期中安排排考試科科目9門門,語文文要在數(shù)數(shù)學(xué)之前前考,有有多少種種不同的的安排順順序?解不加任何何限制條條件,整整個(gè)排法法有種種,“語文文安排在在數(shù)學(xué)之之前考””,與““數(shù)學(xué)安安排在語語文之前前考”的的排法是是相等的的,所以以語文安安排在數(shù)數(shù)學(xué)之前前考的排排法共有有種種.結(jié)論對等法:在有些題題目中,它的限限制條件件的肯定定與否定定是對等等的,各各占全體體的二分分之一.在求解解中只要要求出全全體,就就可以得得到所求求.分房問題題又名：住住店法，，重排問問題求冪冪策略住店法解決“允允許重復(fù)復(fù)排列問問題”要要注意區(qū)區(qū)分兩類類元素：：一類元素素可以重重復(fù)，另另一類不不能重復(fù)復(fù)，把不不能重復(fù)復(fù)的元素素看作““客”，，能重復(fù)復(fù)的元素素看作““店”，，再利用用乘法原原理直接接求解。。例10七七名學(xué)生生爭奪五五項(xiàng)冠軍軍，每項(xiàng)項(xiàng)冠軍只只能由一一人獲得得，獲得得冠軍的的可能的的種數(shù)有有（））A.B.CD.分析：因因同一學(xué)學(xué)生可以以同時(shí)奪奪得n項(xiàng)項(xiàng)冠軍，，故學(xué)生生可重復(fù)復(fù)排列，，將七名名學(xué)生看看作7家家“店””，五項(xiàng)項(xiàng)冠軍看看作5名名“客””，每個(gè)個(gè)“客””有7種種住宿法法，由乘乘法原理理得種種。注：對此此類問題題，常有有疑惑，，為什么么不是呢呢？用分步計(jì)計(jì)數(shù)原理理看，5是步驟驟數(shù)，自自然是指指數(shù)。A重排問題題求冪策策略例.把6名實(shí)習(xí)習(xí)生分配配到7個(gè)個(gè)車間實(shí)實(shí)習(xí),共共有多少種不不同的分分法解:完成成此事共共分六步步:把第第一名實(shí)實(shí)習(xí)生分分配到車間有有種分法.7把第二名實(shí)習(xí)生分配

到車間也有7種分法，依此類推推,由分分步計(jì)數(shù)原理共共有種種不同同的排法法允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為種nm1.某某班新年年聯(lián)歡會(huì)會(huì)原定的的5個(gè)節(jié)節(jié)目已排排成節(jié)目目單，開開演前又又增加了了兩個(gè)新新節(jié)目.如果將將這兩個(gè)個(gè)節(jié)目插插入原節(jié)節(jié)目單中中，那么么不同插插法的種種數(shù)為（（））422.某某8層大大樓一樓樓電梯上上來8名名乘客人人,他們們到各自的的一層下下電梯,下電梯梯的方法法（））練習(xí)題環(huán)排問題題和多排排問題環(huán)排問題題線排策策略例5人人圍桌而而坐,共共有多少少種坐法法?解：圍桌而坐坐與坐成成一排的的不同點(diǎn)點(diǎn)在于，，坐成圓形沒有有首尾之之分，所所以固定定一人A并從此位置把把圓形展展成直線線其余4人共有有____種排法即即ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有練習(xí)題6顆顏色色不同的的鉆石，，可穿成成幾種鉆鉆石圈？？120多排問題題直排策策略例8人排成成前后兩兩排,每每排4人人,其中中甲乙在在前排,丁丁在后排排,共有有多少排排法解:8人人排前后后兩排,相當(dāng)于于8人坐坐8把椅椅子,可可以把椅子排排成一排排.先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有____種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分分成多排排的排列列問題,可歸結(jié)結(jié)為一排排考慮,再分段段研究.有兩排座座位，前前排11個(gè)座位位，后排排12個(gè)個(gè)座位，，現(xiàn)安排排2人就就座規(guī)定定前排中中間的3個(gè)座位位不能坐坐，并且且這2人人不左右右相鄰，，那么不不同排法法的種數(shù)數(shù)是______346練習(xí)題小集團(tuán)問問題小集團(tuán)問問題先整整體局部部策略例9.用用1,2,3,4,5組成沒沒有重復(fù)復(fù)數(shù)字的的五位數(shù)數(shù)其中恰有有兩個(gè)偶偶數(shù)夾1,５在在兩個(gè)奇奇數(shù)之間,這樣樣的五位位數(shù)有多多少個(gè)？？解：把１１,５,２,４４當(dāng)作一一個(gè)小集集團(tuán)與３３排隊(duì)共有____種種排法，，再排小小集團(tuán)內(nèi)內(nèi)部共有有_______種排法法，由分分步計(jì)數(shù)數(shù)原理共共有_______種排法法.31524小集團(tuán)小集團(tuán)排排列問題題中，先先整體后后局部，，再結(jié)合合其它策策略進(jìn)行行處理。。１.計(jì)劃劃展出10幅不不同的畫畫,其中中1幅水水彩畫,４幅油畫,５幅國國畫,排排成一一行陳列列,要求求同一品種的必必須連在在一起，，并且水水彩畫不不在兩端，那么么共有陳陳列方式式的種數(shù)數(shù)為_______2.5男生和和５女生生站成一一排照像像,男生生相鄰,女生也相鄰鄰的排法法有_______種種元素相同同問題隔隔板策略略應(yīng)用背景景：相同同元素的的名額分分配問題題不定方程程的正整整數(shù)解問問題隔板法的的使用特特征：相同的元元素分成成若干部部分，每每部分至至少一個(gè)個(gè)元素相同同問題隔隔板策略略例.有10個(gè)個(gè)運(yùn)動(dòng)員員名額，，在分給給7個(gè)班班，每班至少一一個(gè),有有多少種種分配方方案？解：因?yàn)闉?0個(gè)個(gè)名額沒沒有差別別，把它它們排成成一排。相相鄰名額額之間形形成９個(gè)個(gè)空隙。。在９個(gè)空空檔中選選６個(gè)位位置插個(gè)個(gè)隔板，，可把名額額分成７７份，對對應(yīng)地分分給７個(gè)個(gè)班級，每每一種插插板方法法對應(yīng)一一種分法法共有___________種分法法。一班二班三班四班五班六班七班將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為例高二年級級8個(gè)班班,組織織一個(gè)12個(gè)人人的年級級學(xué)生分分會(huì),每每班要求求至少1人,名名額分配配方案有有多少種種?解此題可以以轉(zhuǎn)化為為:將12個(gè)相相同的白白球分成成8份,有多少少種不同同的分法法問題,因此須須把這12個(gè)白白球排成成一排,在11個(gè)空檔檔中放上上7個(gè)相相同的隔隔板,每每個(gè)空檔檔最多放放一個(gè),即可將將白球分分成8份份,顯然然有種種不同同的放法法,所以以名額分分配方案案有種種.結(jié)論轉(zhuǎn)化法:對于某些些較復(fù)雜雜的、或或較抽象象的排列列組合問問題，可可以利用用轉(zhuǎn)化思思想,將將其化歸歸為簡單單的、具具體的問問題來求求解.練習(xí)（1）將將10個(gè)個(gè)學(xué)生干干部的培培訓(xùn)指標(biāo)標(biāo)分配給給7個(gè)不不同的班班級，每每班至少少分到一一個(gè)名額額，不同同的分配配方案共共有（（））種。。（2）不定方程的正整數(shù)解共有（）組練習(xí)題10個(gè)相相同的球球裝5個(gè)個(gè)盒中,每盒至至少一有多少裝裝法？2.x+y+z+w=100求這這個(gè)方程程組的自自然數(shù)解解的組數(shù)小結(jié)：把n個(gè)相相同元素素分成m份每份份,至少少1個(gè)元元素,問問有多少少種不同同分法的的問題可可以采用用“隔板板法”得得出共有有種種.間接法解解題正難則反反總體淘淘汰策略略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這這十個(gè)數(shù)數(shù)字中取取出三個(gè)數(shù)，使使其和為為不小于于10的的偶數(shù),不同的的取法有多多少種？？解：這問問題中如如果直接接求不小小于10的偶數(shù)數(shù)很困難,可可用總體體淘汰法法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有____,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有_____,和為偶數(shù)的取法共有_________再淘汰和和小于10的偶偶數(shù)共___________符合條件件的取法法共有___________9013015017023025027041045043+-9+有些排列列組合問問題,正正面直接接考慮比比較復(fù)雜雜,而它它的反面面往往比比較簡捷捷,可以以先求出出它的反反面,再再從整體體中淘汰汰.例：用0，1，，2，3，4這這五個(gè)數(shù)數(shù)，組成成沒有重重復(fù)數(shù)字的三三位數(shù)，，其中1不在個(gè)個(gè)位的數(shù)數(shù)共有_______種。間接法(總體體淘汰法法,正難難則反））對于含有有否定詞詞語的問問題，還還可以從從總體中中把不符符合要求求的減去去，此時(shí)時(shí)應(yīng)注意意既不能多多減又不不能少減減。

分析：五個(gè)數(shù)組成三位數(shù)的全排列有個(gè)，0排在首位的有個(gè)，1排在末尾的有，減掉這兩種不合條件的排法數(shù)，再加回百位為0同時(shí)個(gè)位為1的排列數(shù)（為什么？）故共有種。例我們班里里有43位同學(xué)學(xué),從中中任抽5人,正正、副班班長、團(tuán)團(tuán)支部書書記至少少有一人人在內(nèi)的的抽法有有多少種種?解43人中中任抽5人的方方法有種種,正副班班長,團(tuán)團(tuán)支部書書記都不不在內(nèi)的的抽法有有種種,所以以正副班班長,團(tuán)團(tuán)支部書書記至少少有1人人在內(nèi)的的抽法有有種種.結(jié)論去雜法:有些問題題,正面面直接考考慮比較較復(fù)雜,而它的的反面往往往比較較簡捷,可以先先求出它它的反面面,再從從整體中中排除.平均分組組問題除除法策略略“分書問問題”平均分組組問題除除法策略略例12.6本不不同的書書平均分分成3堆堆,每堆堆2本共共有多少分法法？解:分分三步取取書得種種方法法,但這這里出現(xiàn)現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)數(shù)的現(xiàn)象象,不妨妨記6本本書為ABCDEF若第一步步取AB,第二二步取CD,第第三步取取EF該分法記記為(AB,CD,EF),則中中還還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共共有種種取取法,而這些分法法僅是(AB,CD,EF)一種分分法,故故共有種種分法法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。變式：6本不同同的書，，按照以以下要求求處理，，各有多多少種方方法？（4）平平均分給給3個(gè)人人，（1）一一堆一本本，一堆堆2本，，一堆3本（2）甲甲得1本本，乙得得2本，，丙得3本（3）一一人一本本，一人人2本，，一人3本（6）每每人至少少一本（5）平平均分成成3堆1將將13個(gè)個(gè)球隊(duì)分分成3組組,一組組5個(gè)隊(duì)隊(duì),其它它兩組4個(gè)隊(duì),有有多少少分法？？2.10名學(xué)生生分成3組,其其中一組組4人,另兩兩組3人人但正副班班長不能能分在同同一組,有多少少種不同同的分組方方法（1540）3.某校校高二年年級共有有六個(gè)班班級，現(xiàn)現(xiàn)從外地地轉(zhuǎn)入入4名名學(xué)生，，要安排排到該年年級的兩兩個(gè)班級級且每班班安排2名，則則不同的的安排方方案種數(shù)數(shù)為______小結(jié)：排列與組組合的區(qū)區(qū)別在于于元素是是否有序序;m等分的的組合問問題是非非等分情情況的;而元素素相同時(shí)時(shí)又要另另行考慮慮.構(gòu)造模型型策略例.馬馬路上有有編號為為1,2,3,4,5,6,7,8,9的的九只路燈燈,現(xiàn)要要關(guān)掉其其中的3盞,但但不能關(guān)關(guān)掉相鄰的的2盞或或3盞,也不能能關(guān)掉兩兩端的2盞,求滿滿足條件件的關(guān)燈燈方法有有多少種種？解：把此此問題當(dāng)當(dāng)作一個(gè)個(gè)排隊(duì)模模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙隙中插入入3個(gè)不不亮的燈燈有________種種一些不易易理解的的排列組組合題如如果能轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為非常熟悉悉的模型型，如占占位填空空模型，，排隊(duì)模型，裝裝盒模型型等，可可使問題題直觀解解決練習(xí)題某排共有有10個(gè)個(gè)座位，，若4人人就坐，，每人左左右兩邊都有有空位，，那么不不同的坐坐法有多多少種？？120先選后排排問題八.排列列組合混混合問題題先選后后排策略略例.有5個(gè)不同同的小球球,裝入入4個(gè)不不同的盒盒內(nèi),每盒至少少裝一個(gè)個(gè)球,共共有多少少不同的的裝法.解:第一一步從5個(gè)球中中選出2個(gè)組成成復(fù)合元元共有__種種方法.再把5個(gè)元素素(包含含一個(gè)復(fù)復(fù)合元素)裝裝入4個(gè)個(gè)不同的的盒內(nèi)有有_____種種方法.根據(jù)分步步計(jì)數(shù)原原理裝球球的方法法共有_____解決排列列組合混混合問題題,先選選后排是是最基本本的指導(dǎo)思思想.此法與相鄰元素素捆綁策策略相似似嗎?練習(xí)題一個(gè)班有有6名戰(zhàn)戰(zhàn)士,其其中正副副班長各各1人現(xiàn)從中選選4人完完成四種種不同的的任務(wù),每人完成一種種任務(wù),且正副副班長有有且只有有1人參加,則則不同的的選法有有________種種1923名醫(yī)生生和6名護(hù)士士被分配到到3所所學(xué)校為學(xué)學(xué)生體檢,每校分配配1名名醫(yī)生和2名護(hù)護(hù)士,不同同的分配方方法共有多多少種?先選后排問問題的處理理方法解法一：先先組隊(duì)后分分校（先分分堆后分配配）解法二：依依次確定到到第一、第第二、第三三所學(xué)校去去的醫(yī)生和和護(hù)士.為支援西部部開發(fā),有有3名教師師去銀川市市三所學(xué)校校任教,每每校分配1人,不同同的分配方方法共有_______種(用數(shù)字作作答).練習(xí)改為4名教教師？改為5名教教師？小結(jié)：本題涉及一一類重要問問題：問題題中既有元元素的限制制，又有排排列的問題題，一般是是先元素（（即組合））后排列。。實(shí)驗(yàn)法（窮窮舉法），，（枚舉法法）應(yīng)用舉例實(shí)驗(yàn)法（窮窮舉法）題中附加條條件增多，，直接解決決困難時(shí)，，用實(shí)驗(yàn)逐逐步尋求規(guī)規(guī)律有時(shí)也也是行之有有效的方法法。例將將數(shù)字1，2，3，4填入入標(biāo)號為1，2，3，4的四四個(gè)方格內(nèi)內(nèi)，每個(gè)方方格填1個(gè)個(gè)，則每個(gè)個(gè)方格的標(biāo)標(biāo)號與所填填的數(shù)字均均不相同的的填法種數(shù)數(shù)有（））實(shí)際操作窮窮舉策略例.設(shè)有編編號1,2,3,4,5的五五個(gè)球和編編號1,23,4,5的五個(gè)盒盒子,現(xiàn)將將5個(gè)球投投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)個(gè)盒子放一一個(gè)球，并并且恰好有兩個(gè)個(gè)球的編號號與盒子的的編號相同同,.有多少投法法？解：從5個(gè)球中中取出2個(gè)個(gè)與盒子對對號有_____種種還剩下3球球3盒序號號不能對應(yīng)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時(shí)，則4,5號球有只有1種裝法3號盒4號盒5號盒345實(shí)際操作窮窮舉策略例.設(shè)有編編號1,2,3,4,5的五五個(gè)球和編編號1,23,4,5的五個(gè)盒盒子,現(xiàn)將將5個(gè)球投投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)個(gè)盒子放一一個(gè)球，并并且恰好有兩個(gè)個(gè)球的編號號與盒子的的編號相同同,.有多少投法法？解：從5個(gè)球中中取出2個(gè)個(gè)與盒子對對號有_____種種還剩下3球球3盒序號號不能對應(yīng)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時(shí)，則4,5號球有只有1種裝法,同理3號球裝5號盒時(shí),4,5號球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2種練習(xí)：：（不對號號入座問題題）（1）（2004湖湖北）將標(biāo)標(biāo)號為1，，2，3，，……，10的10個(gè)球放放入標(biāo)號為為1，2，，3，………，10的的10個(gè)盒盒子中，每個(gè)盒內(nèi)放放一個(gè)球，，恰好有3個(gè)球的標(biāo)標(biāo)號與其所所在盒子的標(biāo)號不一一致的放入入方法有___________種（2）編號號為1、2、3、4、5的五五個(gè)球放入入編號為1、2、3、4、5的五個(gè)盒盒子里，至至多有2個(gè)個(gè)對號入座座的情形有有___________種種109直接法：間接法：注意區(qū)別““恰好”與與“至少””從6雙不同同顏色的手手套中任取取4只，其其中恰好有有一雙同色色的手套的的不同取法法共有（））(A)480種種（B）240種（（C）180種（（D））120種種小結(jié)：“恰恰好有一個(gè)個(gè)”