對非齊次偏微分方程的求解 齊次邊界條件下非齊次發(fā)展方程的混合問題

wordwordPAGEPAGE11/11對非齊次偏微分方程的求解齊次邊界條件下非齊次開展方程的混合問題〔一〕沖量定理法〔二〕傅立葉級數(shù)法齊次邊界條件下非齊次場位方程的混合問題〔一〕方程和邊界條件同時齊次化非齊次方程的求解思路用分解原理得出對應(yīng)的齊次問題解出齊次問題求出任意非齊次特解疊加成非齊次解方法一沖量定理法取零值)。根本思路：利用疊加原理將受迫振動的問題轉(zhuǎn)化為〔無窮多個〕自由振動問題的疊加.u a2u f(x,t)tt xxu 0, ux0

0xlu

t

(x),

tt0

(x)試設(shè)uuu1 22u11

2u

2u

22u 222t

a2

1,x2

t

a2

x2

x,t, (x

u(x,0) 11

，

(x,0) .1u ,0) (x), t (x), u(x,0)0, 1

0, 2 tu(0,t)0,u1

(l,t)0

u(0,t)0,u2

(l,t)0物理意義：在時間0—t多前后相繼〔無窮多個〕的“瞬時〞力引起的物理過程的線性疊加。2t2

a2

2x2

, t

2vt2

a2

2vx2

, t0,

f(x,)d,

v 0,v

f(x,), t

tt

t

tt

0, 0

v0,v0x0

xl

x0

xl相應(yīng)的，我們也可以把位移u(x,t)也表示為u(x,t)tv(x,t;)d，2 0如此v(x,t;)v(x,t,)就是定解問題2t2

a2

2x2

, t

2vt2

a2

2vx2

, t0,

f(x,)d,

v 0,v

f(x,), t

tt

t

tt

0, 0

v0,v0x0

xl

x0

xl時刻，其全部效果只是使得弦在時刻獲得一個瞬時速度.那么由偏微分方程的積分02

dta2

02vdt

f(x,(t)d0

t

0x2

0vv(x,t,)t令t1

t

t

f(x,)如此定解問題就可以寫成這種形式〔t0簡寫成t〕2vt1

a2

2vx2

, tv 0,v

f(x,), t0 t 1

t01v0,v0x0 xl解方程的其次項，又算入初速度！總結(jié)一下，在上面的過程中，沖量定理就把求解非齊次方程、齊次邊界條求解，最后將其疊加v(x,t)

a t sin xBn 1 Bn1

l 1 lv(x,t)

B

asinxn其中

n1)

n llf(,)sin

ldn a 0 lu(x,t)tv(x,t;tB)sinat)sin

xd2 0 0 n l l)n1)u(x,t)

cosat

sinat)sin

x (n1,2,3,1uu1

n n1u2

n l l例題1求定解問題2ut2

a2

2ux2

Asint，0xl， t0，0ux0u

0， ut0ut

xl

0， t0，0，0xl,t0aA0

t0、均為常數(shù)解：用沖量定理法進(jìn)展求解，此時的v(x,t;)應(yīng)當(dāng)滿足定解問題2vt2

a2

2vx2

， 0xl， t，vx0

0，v

xl

0， t，vt

0

vtvt

Asin ，0xl，0即可得出定解問題的一般解v(x,t;)Csin

a(t)Dcosna(t)sinnx n ln1

n l l根據(jù)題意條件可得D0，nC

2 Asinl

xdx

2Al0

1(1nsinn a 0 0 l )2a所以，綜上可得u(x,t)tv(x,t;)d04Al 10

sin2n1xtsinsin2n1at)2

n0

(2n1)2 l 0 l4Al2 1 100

sin2n1x2

n0

(2n1)2

(2n1a2l)2 l(2nasin(l)sin

2n1atl 方法二：傅立葉級數(shù)法前提條件：齊次邊界條件下非齊次開展方程的混合問題，必須是齊次的邊界條件中心思想：首先要想方法找到一組本證函數(shù)Xn

(x),n函數(shù)是完備的，那么就可以將u(x,t)以與原非齊次方程的非齊次項f(x,t)，都按照本征函數(shù)展開n

(x),n為為u(x,t)Tn

(t)Xn

(x)n根本函數(shù)族Xn(x)為該定解問題的齊次方程在所給齊次邊界條件下的本征函數(shù)注意：傅里葉系數(shù)Tn

(t)不是常數(shù)，是時間t的函數(shù)。設(shè) u(x,t)Vx,tWx,t2V

a2

2V

f(x,t), 0xl,t

2W

a2

2W2 x2

2 x2(0,t)V(l,t)

t0,

(0,t)W(l,t)0,

x,0)

V(x,0)t

0, 0

xl,

x,0)(

x),(x,0)t

(x)W(x,t)的解可以直接由別離變量法求得W(x,t)Ccosat

sinat)sinx (n1,2,3,n ln1

n l l)由于V)n

(t)是一元函數(shù)，滿足常微分方程，比求偏微分方程簡單，因此只需設(shè)法求出V(t即可.n2Vt2

a2

2Vx2

f(x,t), 0xl,t0,(0,t)V(l,t) V(x,0)

t0,V(x,0)

t 0, 0xl,解：①相應(yīng)的齊次問題的固有函數(shù)X(x)sinxn l②設(shè)Vn1

v(t)sinn

l3代入定解問題中vt)sinx

a

n22

v(t)sin

xf(x,t)n l

l2 n l n1 n1

n22

n1

a2

v(t)sinl2 n

xl

n1

f(t)sin xn lf(x,t)n1

f(t)sinn

lf(t)2lf(x,t)sinnxdxn l 0 l再根據(jù)本征函數(shù)的正交性，就可以得到Vn

(t)所滿足的常微分方程v(t)a2n

n22vl2

(t)fn

(t)0將代入初始條件V(x,0)

v

x

V(x,0)

v

nx0n l t n ln1 n1根據(jù)本征函數(shù)的正交性，得v(0)0v(0)0n n運(yùn)用求解非齊次常微分方程的常數(shù)變易法解出vn

(t).例題1求如下定解問題u

2ut

a2

x2

sin

0xl,t0u(0,t)

u(l,t)

0, t0 x xu(x,0)0,解：先解對應(yīng)的齊次問題

0xlut

a2

2ux2

0xl,t0u(0,t)u(l,t)

0, t0 x xu(x,0)0,設(shè) u(x,t)X(x)T(t)代入 Ta2TX

0xl令 T XXXX0， Ta2T0XX0 0xl代入邊界條件 X(0)0, X(l)0當(dāng)20XAexBexAB0X0當(dāng)0XAxBXB0當(dāng)20XAsinxBcosxn22l ,n1,2,3,n n X Bn

cosnx,n1,2,3,lut

a2

2ux2

sin

0xl,t0u(0,t)u(l,t)

0, t0 x xu(x,0)0,

0xlX Bn

cosx,n0,1,2,3,lun0

v(t)cosn

l v(t)a2

n22

v(t)cosnxsintnn0

l2 n lu(x,0)n0

vn

nx0lv(0)0n當(dāng)n0v(t)sint0v(t)10

costCv(t)10

cost當(dāng)n0v(t)a2n

n22vl2

(t)0v(t)n

n22tl2v(t)0n得 u

1cost方法三：方程和邊界條件同時齊次化齊次方程的特解之和。將偏微分方程和邊界條件同時齊次化。u(x,t)v(x,t)(x,t)，界條件不變。解方程求得的特解v(x,t)f(xt)解：通常，首先求出原非齊次方程的一個特解v(x,t)2u2

a2

2ux2

f(x,t).試設(shè) u(x,t)v(x,t)(x,t)，如此(x,t)便是對應(yīng)齊次偏微分方程的解,即 2t2

a2

20x2為便于用別離變量法求解，讓(x,t)滿足如下條件(x,t)x00, (x,t)xl0.所以，我們要尋求的特解v(x,t)還應(yīng)滿足齊次邊界條件,v(x,t)x00, v(x,t)xl0。一旦求得了這樣的特解，就可以求出(x,t)的一般解(x,t)

sinn

at

cosn

at)sin

x，n ln1所以

n l lu(x,t)v(x,t)

sinn

at

cosn

at)sin

x，代入初始條件，

n ln1

n l ln1

Dsinxv(x,t) ，n l t0利用本證函數(shù)的正交歸一性，定出疊加系數(shù)n

2 a

v(xv(x,t)t

sinnl

xdx，2lv(x,0)sinxdx.n l 0 l這種解法便是方程和邊界條件同時齊次化.13求定解問題2ut2

Psinta2

2ux2

， 0xl，t0，u 0， ututu 0，t0

0， t0，xl0，0xl，t0其中aA與均為常數(shù).0解：設(shè)u(x,t)v(x,t)(x,t)，根據(jù)題意，將齊次化函數(shù)v(x,t)化為v(x,t)f(x)sint.使得v(x,t)滿足非齊次方程與齊次邊界條件，2v

Psinta2

2v

，0xlt0，t2 x2v 0， v 0，t0，x0 xlf(x，使得2f(x)a2f''(x)P，f(0)0， f(l)0 .如此這個非齊次常微分方程的通解為f(x)P2

M

xNcosxa a代入齊次邊界條件可以得出NP2于是

，MP2

tanl.2aP f(x)21cosaxtan2asinaxcos(cos((xl)a))22aP21 . 這樣就能導(dǎo)出(x,t)所滿足的定解問題，2t2

a2

2x2

，0xl，t0， 0, 0，t0x0 xlt0

0

tt

f(x)，0xl，它的一般解為(x,t)Csin

atDcosnatsinnx， n ln1

n l l利用上面的初始條件就可以定出D0，nC n a

f(x)sin l可