第二章空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系(教師版)

第二章空間點直線平面之間的位置關(guān)系單元測試一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．)1．垂直于同一條直線的兩條直線一定()A．平行B．相交C．異面D．以上都有可能2．下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個平面的兩個平面互相平行B．過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面C．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線3．已知一個四棱錐的三視圖如圖D2-1所示，則該四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)是()A．4B．3C．2D．14．已知α，β，γ是三個不同的平面，命題“若α∥β，且α⊥γ，則β⊥γ”是真命題．若把α，β，γ中的任意兩個平面換成直線，另一個保持不變，則在所得到的所有新命題中，真命題的個數(shù)是()A．0個B．1個C．2個D．3個5．在長方體ABCD-A1B1C1D1的六個面與六個對角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，與棱A．2個B．3個C．4個D．5個6．若l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題中正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m7．如圖D2-2所示，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，若PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于A．30°B．45°C．60°D．90°9．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中錯誤的是()A．若m⊥α，m⊥β，則α∥βB．若α∥γ，β∥γ，則α∥βC．若m?α，n?β，m∥n，則α∥βD．若m，n是異面直線，m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β10．設(shè)α，β，γ是三個互不重合的平面，m，n為兩條不同的直線，給出下列命題：()①若n∥m，m?α，則n∥α；②若α∥β，n?β，n∥α，則n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，則β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，則α∥β.其中是真命題的有()A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④11．如圖D2-3所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點，則下列結(jié)論中不成立的是()①EF與BB1垂直；②EF⊥平面BCC1B1；③EF與C1D所成的角為45°；④EF∥平面A1B1C1D1A．②③B．①④C．③D．①②④12．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1-BD-C的大小為()A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．在四面體ABCD中，已知棱AC的長為eq\r(6)，其余各棱長都為2，則二面角A-BD-C的大小為________．14．已知a，b為互相不垂直的兩條異面直線，α是一個平面，則a，b在α上的射影可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點．則在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號)15．如圖D2-4所示，若正四棱錐P-ABCD的底面積為3，體積為eq\f(\r(2),2)，E為側(cè)棱PC的中點，則PA與BE所成的角為________．16．如圖D2-5所示，已知矩形ABCD的邊AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)：①a＝eq\f(1,2)；②a＝1；③a＝eq\r(3)；④a＝2；⑤a＝4.當(dāng)在BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD時，a可以取________．(填上一個你認(rèn)為正確的數(shù)據(jù)序號即可)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)如圖D2-6所示，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，點E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點．求證：(1)直線EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.18．(12分)如圖D2-7所示，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2eq\r(2)，∠BAD＝∠CDA＝45°.(1)求異面直線CE與AF所成角的余弦值；(2)證明：CD⊥平面ABF.19．(12分)如圖D2-8所示是一個正方體的表面展開圖的示意圖，MN和PQ是兩條面對角線，請在正方體中將MN和PQ畫出來，并就這個正方體解答下列問題．(1)求直線MN和PQ所成角的大?。?2)求四面體M-NPQ的體積與正方體的體積之比．20．(12分)如圖D2-9所示，在三角形ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四邊形ABED是邊長為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點．(1)求證：GF∥平面ABC；(2)求證：AC⊥平面EBC；(3)求該五面體的體積．21．(12分)如圖D2-10所示，在長方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點，以AE為折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.(1)求證：AD′⊥BE；(2)求四棱錐D′-ABCE的體積；(3)在棱D′E上是否存在一點P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由．22．(12分)如圖D2-11所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥BD，M為AB的中點，矩形ABEF所在的平面和平面ABCD相互垂直．(1)求證：AD⊥平面DBE；(2)設(shè)DE的中點為P，求證：MP∥平面DAF；(3)若AB＝2，AD＝AF＝1，求三棱錐E-BCD的體積．

第二章空間點直線平面之間的位置關(guān)系單元測試參考答案1．D[解析]兩條直線同時垂直于同一條直線，這兩條直線可能平行、相交、異面．2．A[解析]B為公理2，C為公理1，D為公理3.3．A[解析]由三視圖知：該幾何體為底面是矩形，有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，其中四個側(cè)面全是直角三角形，所以該四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)是4.4．C[解析]若α，β?lián)Q為直線a，b，則命題化為“若a∥b，且a⊥γ，則b⊥γ”，此命題為真命題；若α，γ換為直線a，b，則命題化為“若a∥β，且a⊥b，則b⊥β”，此命題為假命題；若β，γ換為直線a，b，則命題化為“若a∥α，且b⊥α，則a⊥b”，此命題為真命題．故真命題有2個．5．B[解析]與AA1平行的平面有：平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3個．6．B[解析]A錯誤，要判斷l(xiāng)⊥α，需判斷l(xiāng)垂直于α內(nèi)的兩條相交直線；B正確，此為線面垂直的性質(zhì)定理；C錯誤，l與α內(nèi)的直線可能平行或異面；D錯誤，l與m可能平行、相交或異面．7．D[解析]由題意知，直線PD與平面ABC所成的角為∠PDA.∵在Rt△PAD中，PA＝2AB＝AD，∴∠PDA＝45°.8．C[解析]延長CA到D，使得AD＝AC，連接A1D，則四邊形ADA1C1為平行四邊形，故∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角．又∵三角形A1DB為等邊三角形，∴∠DA1B＝60°9．C[解析]若m?α，n?β，m∥n，則α∥β，錯誤，α與β也可能相交．10．C[解析]①錯誤，可能n?α；③錯誤，可能β，γ相交；②和④正確．11．A[解析]顯然①④正確，②③錯誤．12．A[解析]連接AC交BD于點O，連接OC1.因為AB＝AD＝2eq\r(3)，所以AC⊥BD，又易證BD⊥面ACC1A1，所以BD⊥OC1，所以∠COC1為二面角C1-BD-C的一個平面角．因為在△COC1中，OC＝eq\r(6)，CC1＝eq\r(2)，所以tan∠COC1＝eq\f(\r(3),3)，所以二面角C1-BD-C的大小為30°.13．90°[解析]取BD的中點M，連接AM，CM，因為AB＝AD＝BC＝CD，所以AM⊥BD，CM⊥BD，故∠AMC為所求二面角的平面角．根據(jù)題意可知AM＝eq\r(3)，CM＝eq\r(3)，因為AM2＋CM2＝AC2，所以∠AMC＝90°.14．①②④[解析]①②④對應(yīng)的情況如下圖所示：15．60°[解析]連接AC，BD交于點O，連接OE，易得OE∥PA，∴所求的角為∠BEO.由所給條件易得OB＝eq\f(\r(6),2)，OE＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(\r(2),2)，BO⊥OE，∴tan∠BEO＝eq\f(BO,OE)＝eq\r(3)，∴∠OEB＝60°.16．①(或②)[解析]為了使PQ⊥QD，只要使AQ⊥QD.設(shè)BQ＝x，則CQ＝2－x.∵△AQD是直角三角形，∴AD2＝AQ2＋QD2，即4＝a2＋x2＋a2＋(2－x)2，∴x2－2x＋a2＝0，此方程有解，∴Δ≥0，即0＜a≤1.故①②都滿足題意．17．證明：(1)∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點，∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥AD.∵EF?平面ACD，AD?平面ACD，∴直線EF∥平面ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F(xiàn)是BD的中點，∴CF⊥BD.又∵EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.18．解：(1)因為四邊形ADEF是正方形，所以FA∥ED，故∠CED為異面直線CE與AF所成的角．因為FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD.在Rt△CDE中，因為CD＝1，ED＝2eq\r(2)，所以CE＝eq\r(CD2＋ED2)＝3，所以cos∠CED＝eq\f(ED,CE)＝eq\f(2\r(2),3).故異面直線CE與AF所成角的余弦值為eq\f(2\r(2),3).(2)證明：過點B作BG∥CD交AD于點G，則∠BGA＝∠CDA＝45°.由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，從而CD⊥AB.又因為CD⊥FA，F(xiàn)A∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF.19．解：(1)如圖所示，MN與PQ是異面直線，連接NC，MC，因為在正方體中，PQ∥NC，所以∠MNC為異面直線MN與PQ所成的角．因為MN＝NC＝MC，所以∠MNC＝60°.所以MN與PQ所成角的大小為60°.(2)設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積V＝a3.而三棱錐M-NPQ的體積與三棱錐N-PQM的體積相等，且NP⊥平面MPQ，所以VN-PQM＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)MP·MQ·NP＝eq\f(1,6)a3.所以四面體M-NPQ的體積與正方體的體積之比為1∶6.20．解：(1)證明：圖2連接AE.∵四邊形ADEB為正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中點，∴GF∥AC.又AC?平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)證明：∵四邊形ADEB為正方形，∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面EBC.(3)取AB的中點N，連接CN.因為AC＝BC，∴CN⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，CN?平面ABC，∴CN⊥平面ABED.∵△ABC是等腰直角三角形，∴CN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2).∵五面體C-ABED是四棱錐，∴V四棱錐C-ABED＝eq\f(1,3)S四邊形ABED·CN＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).21．解：(1)證明：根據(jù)題意可知，在長方形ABCD中，△DAE和△CBE為等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D′AE，∵AD′?平面D′AE，∴AD′⊥BE.(2)取AE的中點F，連接D′F，則D′F⊥AE.∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，∴D′F⊥平面ABCE，∴VD′-ABCE＝eq\f(1,3)S四邊形ABCE·D′F＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4).(3)如圖所示，連接A