高二排列與組合(理科)

課程信息年級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題排列與組合(理科)編稿老師胡居化一、教學(xué)目標(biāo)：(1)熟練地掌握排列、組合的有關(guān)概念(排列與組合的定義、排列數(shù)與組合數(shù)的定義)，理解排列與組合的區(qū)別.(2)掌握排列數(shù)、組合數(shù)的公式及排列與組合的性質(zhì)并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.(3)體會(huì)方程的數(shù)學(xué)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在排列與組合中的應(yīng)用 ^二、知識(shí)要點(diǎn)：1.排列的有關(guān)知識(shí)：(1)排列定義：一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m(mEn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.注：(i)排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容：一是取元素，二是按一定的順序排列 ^(ii)僅當(dāng)元素完全相同，排列順序完全相同，兩個(gè)排列是同一排列(2)排列數(shù)及排列數(shù)公式：排列數(shù)：是指從n個(gè)不同的元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Am表示.公式：(i)Am=n(n—1)(n—2)(n-3)…(n—m+1),(mEn且m,nwN*)當(dāng)n=m時(shí)，Am=n!=n(n—1)(n—2)(n—3)…321,規(guī)定：0!=1n!(ii)An= ,(m工n且m,nwN)(n-m)!注：公式(i)適用于具體的計(jì)算以及解m較小時(shí)的含有排列數(shù)的方程與不等式 .公式(ii)適用于排列數(shù)的有關(guān)證明，解方程、不等式等 ^(3)排列數(shù)的性質(zhì)：(i)Am=nA：1；(ii)Am=mAm；+Am」2.組合的有關(guān)知識(shí)(1)組合定義：一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m(mEn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.(i)組合定義包含兩個(gè)內(nèi)容：一是取出元素，二是并成一組 ^(ii)當(dāng)兩個(gè)組合中的元素完全相同時(shí)，不論順序如何，它們都是相同的組合^(iii)區(qū)分排列與組合的重要標(biāo)志：排列有序，組合無(wú)序 ^(2)組合數(shù)及組合數(shù)公式：組合數(shù)：從n個(gè)不同的元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Cm表示.公式.rm Amn(n—1)(n—2)(n—3)(n—m1)n!nAm m! m!(n-m)!(3)組合數(shù)性質(zhì)：(i)cnmnC；" (ii)Cnm^Cnm+Cm」注：(i)Cm=Cnp=m=p或m=n—p,⑶)當(dāng)m>1時(shí)，常用Cm=Cnn”計(jì)算較2簡(jiǎn)單.【典型例題】知識(shí)點(diǎn)一：排列的有關(guān)知識(shí)的應(yīng)用例1.判斷下列問(wèn)題是否是排列問(wèn)題，說(shuō)明理由 .(1)從1、2、3、5四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做加法.結(jié)果有多少個(gè)加數(shù)？(2)從1、2、3、5四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做除法.結(jié)果有多少個(gè)商？(3)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選3個(gè)座位安排三個(gè)客人，有多少種方法？(4)從集合M={1,2,3,4,5}中任取相異的兩個(gè)元素可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在 x軸上2 2 2 2的橢圓方程x2+、=1?可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程與—匕=1?ab ab題意分析：本題考查排列的定義，一個(gè)問(wèn)題是否是排列問(wèn)題主要看其是否與“順序”有關(guān).思路分析：對(duì)于問(wèn)題(1),兩個(gè)數(shù)的加法滿(mǎn)足加法交換律.(2)兩個(gè)數(shù)誰(shuí)做除數(shù)與誰(shuí)做被除數(shù)是不同的，(3)選3個(gè)座位分給3個(gè)客人這一問(wèn)題中，類(lèi)似于3個(gè)人排隊(duì).(4)前者必有a>b,a、b的大小一定，后者a>b與a<b得到的是不同的雙曲線.TOC\o"1-5"\h\z解題步驟：(1)因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)相加滿(mǎn)足加法交換律，故與順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題 ^5 3(2)兩個(gè)數(shù)誰(shuí)做除數(shù)與誰(shuí)做被除數(shù)是不同的，如 與3是不同的，與順序有關(guān).是排3 5列問(wèn)題.(3)從50個(gè)座位中選3個(gè)座位與順序無(wú)關(guān)，3位客人入座則類(lèi)似于3人排隊(duì).是排列問(wèn)題.(4)前者必有a>b,a、b是確定的，不是排列問(wèn)題，后者不論 a>b,還是a<b都表示不同的雙曲線，是排列問(wèn)題.解題后的思考：本例題主要考查排列的定義， 要判斷一個(gè)實(shí)際問(wèn)題是否是排列， 關(guān)鍵是看其是否與順序有關(guān)，對(duì)于較難判斷的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的排列問(wèn)題判斷(如此例題中的 3人入座問(wèn)題)，體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用 .易錯(cuò)點(diǎn)是：是否有序判斷不清.例2.(1)解方程：A2x書(shū)=140A；,(2)解不等式A,X>6A,X^.題意分析：把排列數(shù)方程或不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x的代數(shù)方程或不等式即可求解思路分析：利用排列數(shù)公式Anm=n(n—1)(n—2)(n—3)…(n—m+1)=-n—把原式轉(zhuǎn)(n-m)!化為代數(shù)方程或不等式，但要注意 x的取值范圍，在(1)中x之3,xwN;在(2)中2-x-9,xN.2x+1之4 、…，解題步驟：(1)由已知x應(yīng)滿(mǎn)足:n解題步驟：(1)由已知x應(yīng)滿(mǎn)足:(2x+1)(2x+1)2x(2x—1)(2x—2)=140x(x—1)(x—2),兩邊同除以4x(x—1)得：(2x+1)(2x—1)=35(2x—1)=35(x-2),即4x2-35x+69=0,解得：x=3或x=23(因x是正整數(shù)，故舍49! 69! > 9! 69! > (2)由已知得：2<xE9,xWN+,由排列數(shù)公式得:(9-x)! (9-x2)!.(11-x)!6(9—x)!=(11—x)(10—x)(9—x)!.6(9-x)!即(11—x)(10—x)>6=x2—21x+104>0=*>13或*<8丫2<x<9,xsN+,故2Wx<8,xwNx=2,3,4,5,6,7解題后的思考：本題是排列數(shù)公式的應(yīng)用，對(duì)公式A：=n(n—1)(n—2)(n—3)…mn!(n-m+1)和公式An= 的應(yīng)用要根據(jù)題目的已知條件來(lái)選擇， 在應(yīng)用公式時(shí)要注(n-m)!意x的限制條件即x為正整數(shù).同時(shí)要注意運(yùn)算的技巧：如(n_m)!=(n-m)(n-m-1)!等.易錯(cuò)點(diǎn)是：忽視x的限制條件.例3.給定數(shù)字0,1,2,3,5,9,每個(gè)數(shù)字最多用一次(1)可以組成多少個(gè)四位數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)四位奇數(shù)？(3)可以組成多少個(gè)四位偶數(shù)？題意分析：本題是數(shù)字排列問(wèn)題，在組成四位數(shù)時(shí)要注意首位數(shù)字不能是零， 在組成四位奇數(shù)時(shí)要注意個(gè)位數(shù)字必為奇數(shù)，在求所求的四位偶數(shù)時(shí)其個(gè)位數(shù)字一定是偶數(shù) ^思路分析：(1)首位數(shù)字不能為零，故先排首位數(shù)字，可從1,2,3,5,9中選一個(gè)排在首位，再排其余各位上的數(shù)字.(2)四位數(shù)是奇數(shù)，首先個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)且首位數(shù)字不能為零 ^(3)四位數(shù)是偶數(shù)分個(gè)位數(shù)字是 0或2兩種情形.解題步驟：(1)首位數(shù)字不能為零，第一步從1,2,3,5,9中選一個(gè)數(shù)字排在首位，有A5種選法.第二步從余下的5個(gè)數(shù)字中選3個(gè)排在個(gè)位、十位、百位，有A3種選法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知：共有A5A；=300個(gè)(2)第一步排個(gè)位數(shù)字(必是奇數(shù))，從1,3,5,9中選一個(gè)有A：種選法，第二步排首位數(shù)字，首位數(shù)字不能是零，從余下的 4個(gè)數(shù)字中選一個(gè)有A：種選法，第三步排十位、百位上的數(shù)字，從剩下的4個(gè)數(shù)字中選兩個(gè)有A2種選法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知：共有A：A；A2=192個(gè)(3)要得到四位偶數(shù)，個(gè)位數(shù)字有 0或2兩種情形，(i)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，其余各位數(shù)字是從1,2,3,5,9中選3個(gè)排列，有A個(gè)，(ii)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí)，首位數(shù)字不能是0,先排首位數(shù)字，從1,3,5,9中選一個(gè)有A1種排法，其次排十位、百位數(shù)字有 A42種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知此時(shí)有 A4A2個(gè).由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知：滿(mǎn)足條件的四位偶數(shù)有 a1+a4A42=108個(gè)另解（3）,由（1）（2）知：共有四位偶數(shù)300—192=108個(gè)解題后的思考：對(duì)于由數(shù)字排列成數(shù)的問(wèn)題，要注意組成的數(shù)的首位數(shù)字不能是 0,要注意分步計(jì)數(shù)原理與分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.易錯(cuò)點(diǎn)是：忽視0不能在首位及分類(lèi)不當(dāng).（如第（3）問(wèn)）.小結(jié)：本題組主要考查排列的有關(guān)知識(shí)， 在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要分清是否是排列的問(wèn)題， 同時(shí)要注意計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.何時(shí)分類(lèi)？何時(shí)分步？要清晰 .在利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)應(yīng)注TOC\o"1-5"\h\z意運(yùn)算的技巧和公式中的限制條件等 .知識(shí)點(diǎn)二：與組合知識(shí)有關(guān)的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1.從5名男生和5名女生中選3人組隊(duì)參加學(xué)校某種項(xiàng)目的比賽， 其中至少有一名女生入選組隊(duì)的方案數(shù)是（ ）A.100 B.110 C.120 D.180題意分析：從5名男生和5名女生中選3人與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題，注意： 所選3人中至少有一名女生的含義.思路分析：根據(jù)題意：要選的3人中至少有一名女生有3種情形（i）一女二男，（ii）二女一男，（iii）三名都是女生.另外，也可以這樣考慮：至少一名女生入選的方案等價(jià)于無(wú)條件的方案數(shù)減去三名都是男生的方案數(shù) .解題步驟：解法一：（i）一女二男時(shí)有C；C；=50種方案，（ii）二女一男時(shí)，有C；C5=50種方案.（iii）三名都是女生時(shí)有C53=10種方案，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有 50+50+10=110種萬(wàn)案解法二：不考慮任何條件有C13）=120種方案，三名都是男生有C53=10種方案故其中至少有一名女生入選的方案數(shù)是 120—10=110種方案.故選B解題后的思考：本題考查用組合解決實(shí)際問(wèn)題， 采用了兩種不同的方法， 解法一是先分類(lèi)后分步，體現(xiàn)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用， 解法二：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決，簡(jiǎn)潔明了.例2. （1）計(jì)算：《鼠+C13；+C；M+…+C275/c\、-T□□人k人0人k上人1人k―1工人2人k-21、C\（2）證明：Cn—C2Cn_2C2Cn-2C2Cn-2,（k—2）題意分析：（1）由已知組合式可看出其不具備使用組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算， 因此解本題的關(guān)鍵是先由組合式限制條件確定 n的值，再計(jì)算.（2）利用組合數(shù)公式證明13+n至3n思路分析：（1）由42n之17-n這一條件求出n的值，代入原式計(jì)算.9亡N*（2）由組合數(shù)公式從等式的右邊證到左邊

13+n至3n解題步驟：（1）由<2n>17-n解得n=6.把n=6代入原式利用組合數(shù)性質(zhì)（i）：nwN+原式=c19原式=c19+c；8+c16+…'C12-C19'C18'C17'.一C112-191817 12-124（2）由組合數(shù)公式得：cm=——n——得:m!（n-m）!右邊=(『一2)! 2(n—2)!— (n-2)!k!(n-k-2)!(k-1)!(n-k-1)!(k-2)!(n-k)!(n'2)!x.[(n-k)(n-k-1)2k(n-k)k(k-1)]]?一2)!"n(n一1)]=k!(n-k)! k!(n-k)!（n-2）!（n-1）n n!_k花―= - -= =Cn,故左邊等于右邊.k!（n-k）!k!（n-k）!解題后的思考：此例題的第（1）題是利用組合數(shù)公式計(jì)算的問(wèn)題， 第（2）題是證明.第（1）題的解題關(guān)鍵是確定n的值，如果看不出這一點(diǎn)則本題很難解決，第（ 2）題的證明是基礎(chǔ)試題，在運(yùn)算過(guò)程中要細(xì)心，計(jì)算要準(zhǔn)確.這也是高考考查的能力之一 （計(jì)算能力）.易錯(cuò)點(diǎn)：第（1）題沒(méi)有考慮到確定n的值而是盲目地想利用組合數(shù)性質(zhì)求解 .例3.男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各一名，選出5名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，下列情形中各有多少種選拔方案？（1）男3名女2名 （3）至少一名女運(yùn)動(dòng)員（2）至少一名隊(duì)長(zhǎng)參加 （4）既要有隊(duì)長(zhǎng)又要有女運(yùn)動(dòng)員題意分析：從6名男運(yùn)動(dòng)員、4名女運(yùn)動(dòng)員中選5名運(yùn)動(dòng)員參賽，與選拔的順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題.思路分析：對(duì)（1）直接選取，對(duì)（2）注意分類(lèi)，至少一名隊(duì)長(zhǎng)參加有兩種情形，一是：有1名隊(duì)長(zhǎng)參加，二是2名隊(duì)長(zhǎng)都參加.對(duì)（3）有兩種方法，方法一是分類(lèi)，可分為有 1名、2名、3名、4名女運(yùn)動(dòng)員參加的四種情形，方法二是用間接法，在全部選法中減去無(wú)女運(yùn)動(dòng)員的情形，顯然間接法較簡(jiǎn)單.對(duì)（4）分為三類(lèi)：一是僅女隊(duì)長(zhǎng)參加，二是僅男隊(duì)長(zhǎng)參加，三是男女隊(duì)長(zhǎng)都參加.解題步驟：（1）C；Cj=120種選法（2）分為兩類(lèi)：（i）只有一名隊(duì)長(zhǎng)參加時(shí)，第一步可從2名隊(duì)長(zhǎng)中選一名有C；種選法，第二步，再?gòu)挠嘞?名運(yùn)動(dòng)員中選4名有c；種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知：有c2c；種選法，（ii）2名隊(duì)長(zhǎng)都參加時(shí)，只需從余下的 8名隊(duì)員中選3名有C83種選法.共有C2C84+C3=196種選法.5 5（3）利用間接法：不考慮任何條件有 C10種選法，無(wú)女運(yùn)動(dòng)員有C6種選法.此時(shí)共有C；0-C65=246種選法.（4）分三類(lèi)：（i）僅女隊(duì)長(zhǎng)參加有：C84種選法，（ii）僅男隊(duì)長(zhǎng)參加有C84-C4種選法，（iii）2名隊(duì)長(zhǎng)都參加有c；種選法，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知：有c8+c8-C5+c83=i9i種選法.解題后的思考：本題主要考查用組合知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題， 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要注意合理的分類(lèi)（如第（4）問(wèn)），注意解題方法是用直接法還是用間接法（如第（ 3）問(wèn)）選擇合理的分類(lèi)方法和有效的數(shù)學(xué)方法將給解題帶來(lái)很大的方便 ^小結(jié)：本題組主要是組合知識(shí)的應(yīng)用， 在利用組合知識(shí)解題的過(guò)程中要注意各種數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，如分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，間接法等 .同時(shí)注意解題的優(yōu)化.【本講涉及的數(shù)學(xué)思想、方法】本講主要講述排列、組合的基本知識(shí)及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用，在利用這些知識(shí)解題的過(guò)程中充分運(yùn)用了方程的數(shù)學(xué)思想、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想以及間接法等數(shù)學(xué)思想方法.【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z.從5個(gè)中國(guó)人、4個(gè)美國(guó)人、3個(gè)日本人中各選一人的選法有（ ）A.12種 B.24種 C.48種 D.60種.從3名男生、6名女生中任選一人參加讀書(shū)比賽的選法有（ ）種A.9 B.6 C.3 D.18.4名學(xué)生報(bào)名參加語(yǔ)、數(shù)、英興趣小組，每人選報(bào) 1種，則不同的選法有 （ ）A.43種 B.34種 C.A43種 D.C43種.用排列符號(hào)A：把（m-7）mrn78）mrn89（m=9）〈mm197）,mWN+,m>17表示為（）A11 BA10 CA17 DA11A.Am47 B.Am， C.Am_7 D.Am_7.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型和乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有（ ）A.140種 B.84種 C.70種 D.35種二、計(jì)算題C5.C30 4 ….計(jì)算：已知：CnJCnm=3f,求n的值.C" 5.有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān).從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有多少種？.生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進(jìn)行檢查.（1）其中恰有兩件次品”的抽法有多少種？（2）其中恰有一件次品”的抽法有多少種？（3）其中沒(méi)有次品”的抽法有多少種？9.一條鐵路原有n個(gè)車(chē)站，為適應(yīng)客運(yùn)需要新增加了 m個(gè)車(chē)站（m>1）,客車(chē)車(chē)票增加了62種，問(wèn)原有多少個(gè)車(chē)站？現(xiàn)有多少個(gè)車(chē)站？你熱愛(ài)生命嗎？那么別浪費(fèi)時(shí)間，因?yàn)闀r(shí)間是組成生--富蘭克林--富蘭克林【試題答案】一、選擇題D解析：分步計(jì)數(shù)原理： N=5m4m3=60)A解析：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理N=3+6=9)4一B解析：每一名學(xué)生都有3種選擇萬(wàn)案，故有3父3父3父3