一元二次方程降次法與含參數(shù)方程的解法

降次法與含參數(shù)方程的解法知識(shí)點(diǎn)基本要求略高要求較高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念,會(huì)將一元二次方程化為一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)；了解一元二次方程的根的意義能由一元二次方程的概念確定二次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范圍：會(huì)由方程的根求方程中待定系數(shù)的值一元二次方程的解法理解配方法，會(huì)用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，理解各種解法的依據(jù)能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋簳?huì)用方程的根的判別式判別方程根的情況能利用根的判別式說明含有字母系款的一元二次方程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數(shù)的取值范圍：會(huì)用配方法對代數(shù)式做簡單的變形；會(huì)應(yīng)用一元二次方程解決簡單的實(shí)際問題板塊一一元二次方程的解法因式分解法的根據(jù)：如果兩個(gè)因式的乘積等于0,那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0,反過來，如果兩個(gè)因式中有一個(gè)因式為0，那么它們之積為0,即4〃=0,則4=0或5=0或。=〃=0例如：(2人-1)(3—x)=0,貝112%—1=0或3—4=0解一元二次方程的思想方法：降次因式分解法的一般步驟：⑴將方程化為一元二次方程的一般形式⑵把方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積⑶令每個(gè)因式為0,得到兩個(gè)一元一次方程⑷解這兩個(gè)一元一次方程得原方程的解【例1】例如：對于方程3(x-2)2=2-x,張明的解法如下：解：方程整理得3(x-2)2=2)①方程兩邊同時(shí)除以2)得；3(x-2)=-1②去括號得；3a—6=-1@移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)得，3x=5,Ax=-(4)3你認(rèn)為張明解方程的過程有錯(cuò)誤么？如果有，請指出錯(cuò)在哪一步？并說明錯(cuò)誤的原因，并選擇合適的方法解方程【解析】略【答案】有錯(cuò)誤；第②步出錯(cuò)，當(dāng)x-2=0時(shí)，方程兩邊不能同時(shí)除以x-2解：方程整理得3。-2尸+*-2)=0提取公因式得。-2)[3*-2)+1]=0,

整理得(x-2)(3x-5)=0.?.x=2或x=*3【例2】用因式分解法解下列方程(1)(21)2+3(1-2x)=0； (2)(1-3x)2=16c2尤+3)2； (3)x2-6a-7=0：【解析】略【答案】⑴原方程變形為：(2x-1)2-3(24,-1)=0,即(2x-l)[(2x-l)-3]=0整理得(2x-l)(2x-4)=02t-l=0或2x-4=0, ,x2=2⑵原方程變形為(1-3x)2T4(2x?+3)尸=0???[(1-3x)+4(2x+3)][(1-3x)-4(2x+3)]=0整理得(5x+13)(-llx-11)=0,??.5x+13=O或一1卜一11=0,.,.工=一?或工=一15(3)原方才呈"T4L為。-7)(x+1)=0二x—7=0或x+l=0/.%=7,x2=-1【例3】解關(guān)于人的方程：(?-I)?-3(1-4x)-4=0【解析】換元法【答案】設(shè)4工一1="，則原方程可變形為1+%-4=0整理得(4+4)(〃-1)=0二。+4=0或“―1=0?二a=-4或4=1當(dāng)”=-4時(shí)，4x-l=-4,3??x=—-當(dāng)a=l時(shí)，4x-l=1,/.x【鞏固】采用因式分解法解下列方程(2)(2x-1)2+(1-2x)-6=0(4)>/2(x-l)(2)(2x-1)2+(1-2x)-6=0(4)>/2(x-l)2=(1-a)⑶(3工-1尸=4(1-1)?【解析】略【答案】⑴整理得/—3犬=0?二x(x-3)=0,4?=0或x-3=0,4?=0或x=3⑵設(shè)2x-l=%則原方程可變形為：“2-〃-6=0整理得3-3)3+2)=0a=3或a=-2「?2x—1=3或2A—1=—2二x=2或x=」2⑶移項(xiàng)得(3X-1)2-4(1一外2=0???[(3x-1)+2(l-x)][(3x-l)-2(l-x)]=0整理得(x+l)(5x-3)=0「?A=-l或X=W5(4)移項(xiàng)得V2(a-1)2-(1-a)=0提取公因式得(x- -1)+1]=0???x-l=O或4(八-1)+1=0/.X=1或X=1一2【鞏固】采用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠挞?+。+2拘犬+3+6=0⑵,一-33-4=0“一3尸+(a+4)2一(x—5尸=17x+24【解析】略【答案】。)內(nèi)=一6，x2=->/3-1：(2)玉=4,&=-4：⑶玉=-3,&=8板塊二可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的分式方程【例4】解方程主二+」=52x尸【解析】把分式方程化為一元二次方程，然后解答【答案】等式兩邊同時(shí)乘以2f得：x(3x-2)+2=10x2整理得：7x2+2x-2=0解得：x=7±87經(jīng)檢驗(yàn)：-=-1二疝是原方程的解7???原方程的解為入=止"或x=土巫2 7【鞏固】解下列分式方程(D—^―+—^―=4%；(2)-^-+—=4：(3)—+-4^+—=12x-33-2x x+1x-1 x+2r―42-x【解析】注意檢臉根【答案】⑴整理得：8/-13.￥+5=0,解得玉=1,&=；8經(jīng)檢臉：凡=1,&=三是原方程的解8」?原方程的酢為N=1,&=；8⑵整理得：4x2-5x-5=0,解得再二」一\'","'一"。'X 8經(jīng)檢臉得：.= %2="一：(”是原方程的解e.￡ . 5+J105 5—>]\05?'?原萬程的解為內(nèi)= ； ,X?= 8 8⑶整理得：x2-3x+2=0,解得弓=1,&=2經(jīng)檢臉得：&=2不是原方程的解，舍?.?原方程的解為x=l【例”解分式方程:*小【解析】換元法設(shè)土上1=〃，則原方程可變形為2〃+9=7

x+1 a整理得：2—-7a+6=0,解得”=2或〃=22經(jīng)檢臉得4=2或4=2均為方程24+2=7的解2 a當(dāng)"二|時(shí)，則=1二|,整理得:解得行了2/-3八-1=0經(jīng)檢臉，百="「'’,七=七了」■均為原方程的解?“=2時(shí)，則警=2,整理得'-21=°解得：&=1+近，x?=l-五經(jīng)檢驗(yàn)，X3=l+V2,x4=l-JI均為原方程的解「?原方程的解為玉=土產(chǎn)，工?=土產(chǎn)，巳=1+垃，x4=1-V2【鞏固】---+2=0k+2x+la+1【解析】略2 2【答案】解：原方程可整理為（工尸一3工+2=0x+1 x+12令」一="，則原方程變形為1-34+2=0X+1解得〃=1或。=2去”=2時(shí)，則」—=2,整理得/一2犬一2=0x+1解得為=1+6,9=1一8經(jīng)檢險(xiǎn)芯=1+/，±=1-有是原方程的解2當(dāng)4=1時(shí)，則」一二1,整理得/一工一1=0X+1解得-=塞，/=式乙 乙1-V5經(jīng)檢臉：& %=匕^?是原方程的解1-V5」.原方程的解為芭=1+6,x,=1-【例6】如果關(guān)于x的方程有一個(gè)增根是5,則。的值是多少？此時(shí)它的根是多少？x-5r-25【解析】略【答案】解：整理得：V—3x+“2-40=0.?.原方程有一個(gè)增根是5?.x=5是方程/一3工+/-40=0的解因此將x=5代入得/=30.a=±>/30??方程/-3八+〃2-40=0為x2-3x-10=0解得為=5,々=-2經(jīng)檢臉：x=5不是原方程的解，舍,?原方程的解為x=-2板塊三簡單的無理方程.無理方程的定義：根號內(nèi)含有未知數(shù)的方程.有理方程和無理方程統(tǒng)稱為代數(shù)方程，整式方程與分式方程又統(tǒng)稱為有理方程，我們在初中階段常見的整式方程有：一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程0.無理方程的解法思路與步驟：①去根號：②解有理方程：③檢驗(yàn)根：④寫出原方程的根【例7】判斷下列方程是否為無理方程(1)x2+2>/2x-1=0;(2)/+—!—=1；⑻工一Jx-l=3;Q)j2x-4+l=Jx+5?V2-1a-2【解析】略【答案】無理方程有：⑶、(4)【例8】解下列無理方程：會(huì)用平方法去根號解無理方程并會(huì)驗(yàn)根(1)V27+3-x=0; ⑵>/5771+757刀=4; (3)757=2=x;【解析】略【答案】⑴整理得：V27+3=x兩邊平方得：2x+3=V整理得：x2-2x-3=0,解得內(nèi)=-1,8=3經(jīng)檢臉為=-1不是原方程的解，舍二原方程的解為x=3⑵整理得J5m=4一歷=1兩邊平方，整理得：2/7二1=317兩邊平方得4(4%-2)=9,解得工?二一1617經(jīng)檢臉：x=一是原方程的解1617?,?原方程的解為x=—16(3)整理得：y/2x2+lx=x+2兩邊平方得：2x2+7x=x2+4x+4整理得：x2+3x-4=0解得：為=-4,x2=1經(jīng)檢臉X=-4不是原方程的解?,?原方程的解為x=l【例9】已知關(guān)于x的方程后二Z-47^=1有一個(gè)增根x=4,⑴求。的值.⑵求方程的根【解析】類似問題需要注意的是，不能將x=4代入方程J5E-J7T"=1,因?yàn)閤=4是它的培根，所以必須先將無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后再將x=4代入整式方程中【答案】⑴整理得V57二Z=i+?T?兩邊平方得：2%-4=1+2y/x+a+x+a整理得：x-5-</=2>/x+77兩邊平方得：(x-5-4=4(x+a)①將x=4代入方程①，整理得/-2,_15=0解得q=5,a2=-3經(jīng)檢臉：當(dāng)〃=一3時(shí)，x=4是原方程的根，不符合題意，舍：?4=5(2)將〃=5代入方用呈①，整理得：x2-24x+80=0解得N=20,巧=4經(jīng)檢臉內(nèi)=20是原方程的根二原方程的根為匯=20【例10］解無理方程(換元法)2-+3x-5724+3x+9+3=0【解析】略【答案】令而+3x+9=",^\2x2+3x+9=a2,2x2+3x=t/2-9則原方程變形為〃2-9-5a+3=0,整理得/一5“-6=0解得q=-1,%=612t+3x+9=a之0 a=6 9則j2/+3x+9=6,整理得2/+3x-27=0,解得為=3,x2=--9經(jīng)檢驗(yàn)=3,%二-5均為原方程的解9.二原方程的解為玉=3,a2=--【鞏固】解無理方程：2x2-6a-1-57x2-3x-1=4【解析】略【答案】設(shè)42_31=4,則產(chǎn)一31一1=/,/.x2-3x=d2+\?,?原方程可變形為2(1+1)-1-5〃=4,整理得,"-5々-3=0解得a=-L或a=32V4x2-3x-\=a>0???〃=3,則二1=3,平方得/_3工_]=9,整理得/―31_10=0解彳導(dǎo)x=-2或x=5經(jīng)檢臉x=—2或x=5均是原方程的解?.?原方程的解為x=-2或x=5板塊四含字母參數(shù)方程的解法解含字母參數(shù)方程的時(shí)候，最主要的是分類討論的基本思想的應(yīng)用°【例11】解方程mx2—(3m2+2)x+6m=0【解析】因?yàn)轭}目并沒有明確說明該方程一定是一元二次方程，所以需要討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0【答案】若〃2=0,則-2x=0=x=0;、 2若mH0,則nvc2-(3m2+2)x+6m=0=(mx-2)(x-3m)=0,故為=—,占=3mm【例12】已知關(guān)于x的方程(aT)/+2x-a-l=0的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)。有幾個(gè)？【解析】對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論【答案】當(dāng)“一1=0時(shí)，”=1,解得x=l,符合題意要求。當(dāng)4-1=0時(shí)，則4H1,整理得[3—1?+4+1].。-1)=0解得入=-竺1,4=1,因?yàn)樵匠痰膬蓚€(gè)根均為整數(shù)4一1???%=一竺1=二_一1也為整數(shù)，因此”一1=±1或〃一1=±24-14-1。=0或2或3或-1綜上所述，整數(shù)。的值有5個(gè)，分別為-1,0,1,2,3【例13]解關(guān)于x的方程：-X+1)-〃*2-1)=(〃2-1口【解析】化為一般式：(/一“)/一(242-1卜+(/+“)=0,然后討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0【答案】原方程可整理為(/一a)/一(2/_1)工+(1+0=0①(1)當(dāng)/-4=0時(shí)，則4=1或4=0；若”=1,則方程①可整理為—x+2=0,解得x=2若”=0,則方程①可整理為x=0(2)當(dāng)/—4H0時(shí)，4H0且4H1時(shí)[(4-1?-4][0￥-3+1)]=0,解得X=，一或；V=4-1a【例14】已知關(guān)于x的一元二次方程V-(2k+l)x-3k、3k=0,請找出〃的一個(gè)合適的值，使這個(gè)方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，并求出這兩個(gè)根?！窘馕觥柯浴敬鸢浮吭匠炭勺冃螢椴芬?月卜+(4-1)]=0,整理得x=3〃，x=l-k因此只需滿足k是整數(shù)即可，將A代入即可求出方程的解，因此答案不唯一略方法二，也可以直接采用賦值法。1.用因式分解法解下列方程⑴(2x-3)2=9(2x+3):(2)x2-7x+12=0：(3)(x+2)(x-l)=10；(4)2x2-5x+2=0【解析】注意題目要求3 1【答案】(1)內(nèi)=一[,±=-3;(2)*=3,々=4；(3)X]=-4,x2=3;(4)x,=-,x2=2.解方程：”=7x+\ jr+1【解析】略【答案】x,=0,x2=l,&=3+g,%=3-".解方程：,2.-—6x+1+2=x【解析】略【答案】a=3.解方程F-2x-5-4Va2-2a=0【解析】略【答案】x=l+05或x=l-底港局施.用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠挞?-3)24-4a(a-3)=0； (2)8xz+1Ox-3=O； ⑶(2工-1尸=3-6x：(4)；/一5|x|-6=0 (5)(m-\)x2+(2m-4)x+，3=0【解析】略3 3 1 1【答案】(1)N=3,x2=-;(2)xt=-,毛=一；(3)Xj=-