差分方程模型課件

差分方程模型差分方程和微分方程一樣，都描述運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。它們之間的區(qū)別在于：微分方程描述連續(xù)過(guò)程，而差分方程描述離散過(guò)程。離散過(guò)程：如果狀態(tài)變量只取離散值，則問題為差分方程。具體問題是利用微分方程還是利用差分方程描述取決于問題本身和我們對(duì)問題的理解。一階線性差分方程組的一般形式：一階線性差分方程組的穩(wěn)定性：設(shè)一階線性差分方程組的解為{Xk},而受擾動(dòng)解為{Yk}。記擾動(dòng)誤差為則擾動(dòng)誤差滿足對(duì)任意初始擾動(dòng)0，k0的充分必要條件為這就是差分方程的穩(wěn)定性條件。穩(wěn)定性歸結(jié)為矩陣的特征值問題。差分方程的建模：微分方程的建?？紤]很小的時(shí)段[tk,tk+1]上的y(t)變化過(guò)程，然后令區(qū)間趨向于0。差分方程考察兩個(gè)相鄰時(shí)刻k和k+1點(diǎn)的值yk和yk+1的轉(zhuǎn)換關(guān)系，不需要取極限。因此建模過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單。例1：劇院地面曲線的設(shè)計(jì)。在劇院觀看影劇時(shí)，經(jīng)常為前面的觀眾擋住自己的視線而煩惱。因此，在劇院地面設(shè)計(jì)時(shí)，為了避免前面的觀眾擋住后面人的視線，需要把地面設(shè)計(jì)成前低后高的形狀。當(dāng)然，地面的坡度也不能太高，否則觀眾的觀看視角和行走舒適感都受到影響。差分方程建模的例子：?jiǎn)栴}：設(shè)計(jì)劇院的地面曲線形狀，使得在后面觀眾視線不受阻擋的情況下，地面的傾斜度盡可能小。問題的圖示Oabdd模型假設(shè)：(1)座位前后間隔相同，間距為d；(2)每個(gè)人眼睛距地面高度都是b；(3)每個(gè)人頭部與地面距離相同；(4)第一排人距設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離為a。問題可以轉(zhuǎn)化成：

求每個(gè)人的眼睛高度。設(shè)第k個(gè)人的眼睛高度yk，距設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離為a+kd。求距設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離為a+(k+1)d處的眼睛高度yk+1。例2：按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型。問題考慮兩個(gè)要點(diǎn)：增長(zhǎng)和人口分布人口分布：對(duì)于連續(xù)問題，可以利用分布函數(shù)和密度函數(shù)描繪。我們也可以利用離散的方法描述人口分布。把t時(shí)刻人口從小到大分為n組，第k組人數(shù)xk(t)，則離散人口分布可以利用向量描述?；谏鲜龇治觯梢宰龀鲆韵录僭O(shè)：1、k齡人口的死亡率為dk,(更細(xì)致的假設(shè)為男性的死亡率為d1k，女性的死亡率為d2k)2、由于男性和女性的建模類似，只考慮女性人口的變化。并假設(shè)k齡女性的生育率為bk。模型的建立：人口的基本發(fā)展描述：生育：各年齡段的生育人口活到第2年成為1齡人口例2：(2000美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題)南非國(guó)家公園有大約11000頭大象。管理政策需要一個(gè)健康的環(huán)境來(lái)維持一個(gè)大約11000頭大象的穩(wěn)定數(shù)量。公園管理人員每年統(tǒng)計(jì)大象的數(shù)量。在過(guò)去的20年中，每年需要移出一部分大象群落以將總數(shù)盡可能維持在11000頭。每年這一過(guò)程包括射殺(其中的絕大多數(shù))和偶然的轉(zhuǎn)移約600-800頭到其他地方。最近，公眾反對(duì)射殺大象，且找不到收養(yǎng)大象的地方。目前一種可以使成熟母象避孕2年的藥箭已經(jīng)研制出來(lái)。下面是公園中大象的一些信息：(1)沒有大象的遷入或遷出；(2)大象的性別比非常接近1:1。(3)小象的性別比非常接近1:1，雙胞胎大約占1.35%。(4)母象在10-12歲時(shí)開始受孕，每隔3.5年生育一胎，直到60歲。孕育期長(zhǎng)達(dá)22個(gè)月。(5)母象可以每年接受射箭避孕而不產(chǎn)生副作用。最后一次射箭避孕可以使母象2年不受孕。(6)大約70%-80%的新生小象可以活到1歲。此后，所有年齡段的大象的成活率都超過(guò)95%，直到大約60歲。可以假設(shè)所有的大象的壽命不超過(guò)70歲。(7)沒有獵殺等傷害大象的行為。(數(shù)據(jù)略)任務(wù)1：建立模型預(yù)測(cè)2-60歲的大象的成活率。預(yù)測(cè)大象當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)。任務(wù)2：估計(jì)每年需要給多少頭母象射標(biāo)避孕可以使大象頭數(shù)穩(wěn)定在11000頭左右。任務(wù)3：如果每年可以遷移50-300頭大象，射標(biāo)避孕的母象頭數(shù)如何變化？這一問題是典型的按年齡分布的生物發(fā)展模型。問題在于：(1)由于避孕問題雌雄有別，為了能描述這一問題，我們可以把狀態(tài)向量分為雌性和雄性分別建立發(fā)展方程。(2)雌雄群體的生育都是由母象完成，生育率只與母象數(shù)量有關(guān)。(3)象群的數(shù)量控制由母象各年齡組的生育率參數(shù)的控制完成。這些參數(shù)可以由母象的正常生育率和避孕率兩個(gè)指標(biāo)完成。其中正常生育率是常數(shù)。設(shè)i年齡組母象的數(shù)量為fmali(k),正常生育率bi，避孕率為si，死亡率為di，由于避孕有效期是2年，則生育率為

類似，可以把問題中的其他參數(shù)按題意確定下來(lái)，形成完整的模型。2007A題：中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

中國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，人口問題始終是制約我國(guó)發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對(duì)中國(guó)人口做出分析和預(yù)測(cè)是一個(gè)重要問題。近年來(lái)中國(guó)的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國(guó)人口的增長(zhǎng)。2007年初發(fā)布的《國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告》(附錄1)還做出了進(jìn)一步的分析。關(guān)于中國(guó)人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從《中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒》上收集到的部分?jǐn)?shù)據(jù)。由于教科書上已經(jīng)有年齡分布的人口發(fā)展模型，這個(gè)問題的要點(diǎn)是男女比例的失衡和農(nóng)業(yè)人口向城鎮(zhèn)轉(zhuǎn)移的描述。要描述這樣的變化，我們需要引入決策變量：比如，我們假設(shè)中國(guó)的人口分為男性和女性，而兩組人口又分為城鎮(zhèn)人口和農(nóng)業(yè)人口(或大城市人口，小城鎮(zhèn)人口和農(nóng)業(yè)人口)。按年齡分布為男性城鎮(zhèn)人口和農(nóng)業(yè)人口：女性城鎮(zhèn)人口和農(nóng)業(yè)人口：可以對(duì)每個(gè)向量建立Lesli方程，只是要注意：(1)男人是女人生的；(2)人口遷移由農(nóng)村遷向城鎮(zhèn)。(2)建立你們自己的模型，說(shuō)明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說(shuō)明怎樣才能建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對(duì)于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評(píng)論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對(duì)疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。(3)收集SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)某個(gè)方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。(4)給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫一篇通俗短文，說(shuō)明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。

這種問題可以利用微分方程和差分方程描述。利用差分方程要給出相鄰兩時(shí)段的決策變量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。幾個(gè)重要的概念：(1)接觸率(2)潛伏期t(3)治愈率(4)死亡率d微分方程模型的建立：設(shè)t時(shí)刻病人所占比例為i(t)，則在時(shí)間間隔[t,t+dt]上，病人數(shù)量的變化為令dt0得到

差分方程模型的建立：設(shè)第k天病人所占比例為i(k)，健康人數(shù)量為s(k)，則第k天病人數(shù)量變化為注意到i(k)+s(k)=1，上述方程化為2、s-i-r模型模型假設(shè)：(1)總?cè)藬?shù)為常數(shù)N。分為健康人、病人和移出者，所占比例分別為s、i和r。s+i+r=1。(2)每個(gè)病人每天平均有效接觸個(gè)人，病人和健康人有效接觸，則健康人生病。(3)病人每天的治愈率為，病人治愈后變成移出者。問題有兩個(gè)自由變量，需要建立兩個(gè)獨(dú)立方程差分方程建模：設(shè)第k天病人所占比例為i(k)，健康人數(shù)量為s(k