《正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)》教案及說(shuō)明

88課題：正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)教材：上海教育出版社高中一年級(jí)第二學(xué)期（試用本）第六章第二節(jié)授課教師：教學(xué)q標(biāo)（1）理解正切函數(shù)的定義及正切函數(shù)的圖像特征，研究并掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì).（2）在探究正切函數(shù)基本性質(zhì)和圖像的過(guò)程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，形成發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.（3）在解決問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)克服困難取得成功的喜悅.教學(xué)重點(diǎn)掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)正切函數(shù)的單調(diào)性及證明.教學(xué)方法教師啟發(fā)講授，學(xué)生積極探究.教學(xué)手段計(jì)算機(jī)輔助.數(shù)學(xué)過(guò)程一、設(shè)置疑問(wèn)，引入新課1、正切函數(shù)的定義有同學(xué)，類(lèi)比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，定義了一個(gè)正切函數(shù)：對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)x,都有唯一確定的值tanx與它對(duì)應(yīng)，按照這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所建立的函數(shù)，表示為y=tanx,叫做正切函數(shù).大家認(rèn)為這個(gè)定義是否完善？強(qiáng)調(diào)：xk^+—,keZ.（設(shè)計(jì)意圖：xwk乃+2/￡Z,是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方，通過(guò)學(xué)生之間的自我糾錯(cuò)，理2解不能取+ 的理由）2今天我們就要研究正切函數(shù)y=tanx（xwk/r+g,攵eZ）的圖像與性質(zhì).22、作函數(shù)圖像的常用的方法是什么？（1）描點(diǎn)法是作函數(shù)圖像最基本的方法：（2）利用基本初等函數(shù)圖像的變換作圖.大家認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方法呢？學(xué)生的回答會(huì)選擇（1）.教師引導(dǎo)：指點(diǎn)應(yīng)該結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，描關(guān)鍵點(diǎn)、特殊點(diǎn).所以，首先研究函數(shù)的基本性質(zhì).二、主動(dòng)探究，解決問(wèn)題（一）利用定義，研究函數(shù)的性質(zhì)學(xué)生自主研究探索正切函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：,xlxeR,xW攵江+￡,攵eZ1.2學(xué)生可以迅速解決.2、值域：R請(qǐng)學(xué)生回答，并講清楚理由，從而引出對(duì)正切線(xiàn)的復(fù)習(xí).復(fù)習(xí)正切線(xiàn)：正切線(xiàn)是角x與tanx關(guān)系的直觀體現(xiàn)，正切函數(shù)的性質(zhì)融于其中.3、奇偶性：奇函數(shù).學(xué)生會(huì)利用tan（—x）=—tanx迅速做出判斷.問(wèn)：該函數(shù)是偶函數(shù)嗎？

（可舉反例說(shuō)明不是偶函數(shù)）4、周期性：）是最小正周期.學(xué)生會(huì)利用tan（4+x）=tan%,得到乃是函數(shù)的周期.教師提問(wèn)：能否說(shuō)明乃是最小正周期？引導(dǎo)學(xué)生思考能否利用周期函數(shù)的定義證明呢？反證法：假設(shè)存在”（0<7；<乃是y=tanx的周期，則攵;7+?,攵eZ-都有tan（x+7^）=tanx.取x=0,則tanT°=tan0=0.二T°=k九,keZ.v0<7；）<^, ??.0vk<l,這與攵wZ矛盾.從而，乃是正切函數(shù)的最小正周期.5、單調(diào)性：函數(shù)在整個(gè)定義域上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù).有學(xué)生可能會(huì)在正切線(xiàn)的復(fù)習(xí)中，認(rèn)為是個(gè)增函數(shù).若學(xué)生這樣回答，則可以請(qǐng)同學(xué)思考，是否正確？如何說(shuō)明？有學(xué)生可能說(shuō)因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)，所以不是單調(diào)函數(shù)，就請(qǐng)同學(xué)繼續(xù)思考，周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)的原因.（舉反例：$=2,*,=包,$vx-tanX]=tan.這與單調(diào)性的定義矛盾）4~ 4/\對(duì)每一個(gè)AeZ,在開(kāi)區(qū)間k九一三，k7t+土內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.2 2）（可以先作圖，通過(guò)圖觀察得到結(jié)論，然后證明）（二）結(jié)合性質(zhì)，作出函數(shù)的圖像（1）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，我們可以先畫(huà)出一個(gè)合適的、長(zhǎng)度為女的區(qū)間上的圖像,選擇哪一個(gè)呢？選擇區(qū)間簡(jiǎn)單說(shuō)明選擇的理由.選擇區(qū)間簡(jiǎn)單說(shuō)明選擇的理由.上的圖像.上的圖像.（2）借助于正切線(xiàn)，描點(diǎn)，然后用光滑的曲線(xiàn)順次連接，得到函數(shù)在（3）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖像向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)y=tanx(xe ，k/r+2,keZ)的圖像.2（三）觀察圖像，進(jìn)一步研究性質(zhì)請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察正切函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)有何特征？（正切函數(shù)的圖像是它的性質(zhì)的直觀表現(xiàn)）1、正切函數(shù)的圖像是被相互平行的直線(xiàn)x=k7i+pkez所隔開(kāi)的無(wú)窮多支形狀完全相同的曲線(xiàn)組成的./\2、對(duì)每一個(gè)keZ,在開(kāi)區(qū)間k九一土，k冗十三內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.I2 2）（同學(xué)思考，完成證明）3、正切函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（問(wèn)：還有其他的對(duì)稱(chēng)中心嗎？）三、通過(guò)練習(xí)，鞏固基礎(chǔ)例1.已知函數(shù)y=tanx.（1）若四］，求y的取值范圍；34（2）若xe 求y的取值范圍.說(shuō)明：（1）利用函數(shù)在區(qū)間［一色，生］上單調(diào)遞增得到答案.34

（2）把y=tanx在區(qū)間0,ff上的圖像不斷向左、右擴(kuò)展，也可得到正切函數(shù)y=tanx（x￡R且xH攵江+乙,攵eZ）的圖像.因此，有同學(xué)說(shuō)正切函數(shù)在2一個(gè)周期上遞增是錯(cuò)誤的.也可以對(duì)照說(shuō)明，作正切函數(shù)圖時(shí)選擇（-的合理性.例2.寫(xiě)出使不等式1+成立的x的集合.說(shuō)明：先求在（一］,1）上滿(mǎn)足條件的x,然后擴(kuò)展到整個(gè)定義域.函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表達(dá)形式，形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性.它是探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具，通過(guò)例題提醒學(xué)生重視數(shù)形結(jié)合的思想方法.例3、研究函數(shù)/（x）=tan1x+Cl的基本性質(zhì).4J改為/(x)=tan2x呢？改為/(x)=tan2x呢？說(shuō)明：大多數(shù)同學(xué)能夠掌握/'（x）=tan的圖像可以通過(guò)y=tanx的圖像向左平移研究f(x)=研究f(x)=tan的性質(zhì)要困難的多.希望同學(xué)能類(lèi)比研究正弦、余弦函數(shù)時(shí)的方法解決，必要時(shí)通過(guò)代換，=2"+2來(lái)解決.4四、總結(jié)思考，提高能力（一）小結(jié)：學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié).（1）理解了正切函數(shù)的定義：理解了正切函數(shù)的圖像特征;掌握了正切函數(shù)的基本性質(zhì).（2）運(yùn)用了舉反例、類(lèi)比、反證法等數(shù)學(xué)方法，體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的思想.體驗(yàn)了成功的快樂(lè).（二）思考：（1）函數(shù)），=cotx和一是同一個(gè)函數(shù)嗎？tanx（2）研究函數(shù)y= 的基本性質(zhì).（3）研究函數(shù)y=c。tx的基本性質(zhì)，作出大致圖像.五、分層作業(yè)，鞏固拓展1、全體同學(xué)完成課本95頁(yè)第4、5題.2、每位同學(xué)結(jié)合今天研究的內(nèi)容，設(shè)計(jì)一道回家作業(yè)題，并完成.教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明一、教學(xué)內(nèi)走的分析教材的地位和作用本節(jié)課是研究了正弦、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)后，乂一具體的三角函數(shù).為后面學(xué)習(xí)反正切函數(shù)及解析幾何中直線(xiàn)斜率與傾斜角的關(guān)系等內(nèi)容做好知識(shí)儲(chǔ)備，從內(nèi)容和方法上都起著承上啟下的作用.學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了正切和正切線(xiàn)的定義，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識(shí)的保障.學(xué)生在研究指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦、余弦函數(shù)過(guò)程中，積累了一些研究函數(shù)問(wèn)題的方法.當(dāng)時(shí)主要是通過(guò)觀察具體的圖像特征，歸納得出函數(shù)性質(zhì)的.本節(jié)課的內(nèi)容為引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想方法研究數(shù)學(xué)問(wèn)題、用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)論證解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了很好的條件.正切函數(shù)的性質(zhì)都可以利用學(xué)生已掌握的知識(shí)加以證明，這種在研究方法上的突破與飛躍，對(duì)培養(yǎng)、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是十分有意義的.三角函數(shù)與函數(shù)概念是特殊與一般的關(guān)系，在教學(xué)中可以充分發(fā)揮學(xué)生頭腦中函數(shù)概念及在正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的學(xué)習(xí)中建立的經(jīng)驗(yàn)的指導(dǎo)作用.通過(guò)聯(lián)系和類(lèi)比，使學(xué)生明確三角函數(shù)之間的通性，同時(shí)認(rèn)識(shí)到各自的特殊性，真正掌握研究函數(shù)的方法.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中已經(jīng)知道：證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性必須嚴(yán)格用定義論證.在研究正弦、余弦函數(shù)的過(guò)程中，主要強(qiáng)調(diào)的是數(shù)形結(jié)合，從形中觀察得到結(jié)論.由于知識(shí)儲(chǔ)備的不足（和差化積還沒(méi)有學(xué)習(xí)），暫時(shí)沒(méi)有證明.但我們?cè)诮虒W(xué)中強(qiáng)調(diào)的是：數(shù)形結(jié)合，觀察得到的結(jié)論應(yīng)該盡量用代數(shù)證明.代數(shù)論證是學(xué)生比較薄弱的一個(gè)環(huán)節(jié)，而研究正切函數(shù)的性質(zhì)，恰好為我們提供了一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)論證能力的機(jī)會(huì).所以本節(jié)課的重點(diǎn)是：研究、掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)是：正切函數(shù)的單調(diào)性及證明.二.教學(xué)目標(biāo)的確定根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材的特點(diǎn)、教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，我從不同的方面確定了以下教學(xué)目標(biāo).（1）理解正切函數(shù)的定義及正切函數(shù)的圖像特征，研究并掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì).（2）在探究正切函數(shù)基本性質(zhì)和圖像的過(guò)程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，形成發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.（3）在解決問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)克服困難取得成功的喜悅.并在教學(xué)中使學(xué)了解問(wèn)題的來(lái)龍去脈；強(qiáng)調(diào)解決問(wèn)題方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語(yǔ)言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成.三、教學(xué)方法的選擇.教學(xué)方法根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)，考慮到學(xué)生基礎(chǔ)比較扎實(shí)，思維比較活躍,勇于表達(dá)自己的觀點(diǎn).這節(jié)課，我想引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)已掌握的知識(shí)去主動(dòng)的探究正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，希望學(xué)生在自主地開(kāi)展探究活動(dòng)的過(guò)程中，能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，體驗(yàn)研究函數(shù)的方法，提高解決問(wèn)題的能力.教師在這個(gè)過(guò)程中對(duì)學(xué)生的活動(dòng)給與合理的評(píng)價(jià)和適時(shí)的啟發(fā)、點(diǎn)撥，保證教學(xué)活動(dòng)的有效性..教學(xué)手段教學(xué)中使用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來(lái)輔助教學(xué).目的是充分發(fā)揮其快捷、生動(dòng)、形象的特點(diǎn)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí).本節(jié)課的特點(diǎn)對(duì)教材有比較深刻的理解和把握，根據(jù)我校學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)教材進(jìn)行了有效的挖掘.從