向量的極化恒等式與等和線的應(yīng)用學(xué)生版

極化恒等式AC=AC=(a+bJ=+2ab+AC=AC=(a+bJ=+2ab+b2(1)DB(1)2..2=DB=a-b=（2）兩式相加得:a2-.,2-2ab+b阿+阿=2帆2+町網(wǎng)國2+阿）結(jié)論：平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍^思考1:如果將上面（1）（2）兩式相減，能得到什么結(jié)論呢？ab=1，（a+b）-（a-b）l極化恒等式4?」對于上述恒等式，用向量運算顯然容易證明。那么基于上面的引例，你覺得極化恒等式的幾何意義是什么？幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與1“差對角線”平方差的1.4r___1T221即：ab=-lAC-DB」(平行四邊形模式)4思考：在圖1的三角形ABD中（M為BD的中點），此恒等式如何表示呢?八一一■■…rr212因為AC=2AM，所以ab=AM——DB(三角形模式)4一r目標(biāo)檢測目標(biāo)檢測B例3.（2013浙江理7）在MBC中，P0是邊AB上一定點,例1.（2012年浙江文目標(biāo)檢測目標(biāo)檢測B例3.（2013浙江理7）在MBC中，P0是邊AB上一定點,M1C滿足P0B=—AB,且對于邊AB4上任一點P，恒有PBPC之P0BPC。則（）D.ac=bcA.ABC=90*B.BAC=90C.D.ac=bcP為平面ABC例4.（2017全國2理科12）已知&ABC是邊長為P為平面ABC則PA（PB+PC）的最小是（）A.-2C.D.-1A.-2C.D.-1課后檢測.在AABC中，/BAC=60，若AB=2,BC=J3,D在線段AC上運動，DBDA的最小值為.已知AB是圓O的直徑，AB長為2,C是圓O上異于A,B的一點，P是圓O所在平面上…TT-.…任意一點，則(PA+PB)PC的最小值為.在AABC中，AB=3,AC=4,/BAC=60,若P是AABC所在平面內(nèi)一點，且TTAP=2,則PBPC的最大值為2.若點O和點F(—2,0)分別是雙曲線三—y2=1(aA0)的中心和左焦點，點P為雙曲線a右支上任意一點則OPFP的取值范圍是^.在RtAABC,AC=BC=2,已知點P是AABC內(nèi)一點，則PC.(PA+畫的最小值是^.已知A、B是單位圓上的兩點，O為圓心，且ZAOB=120o,MN是圓O的一條直徑，點C在圓內(nèi)，且滿足oC=KOA+(1—，“)oB(0<)u<1),則CM-CN的取值范圍是()A口1,1iB.[-1,1)C」|—。,0iD.1-1.0)TOC\o"1-5"\h\zIL2_4.正&ABC邊長等于J3，點P在其外接圓上運動，則APPB的取值范圍是()A..33B.-31C.一19D.一11,,,,122.122,IL22.IL22八…a………nTT一.在銳角MBC中，已知B=一,AB—AC=2,則ABAC的取值范圍是3(2008浙江理9)已知a,b是平面內(nèi)2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足.(a-c)(b-c)=0,則c的最大值是()2A.1B.2C.2D.——2平面向量基本定理系數(shù)的等和線【適用題型】平面向量基本定理的表達(dá)式中，研究兩系數(shù)的和差及線性表達(dá)式的范圍與最值?！净径ɡ怼?一)平面向量共線定理已知OA=*uOB+nOC,若兒+R=1,則A,B,C三點共線；反之亦然（二）等和線平面內(nèi)一組基底（二）等和線平面內(nèi)一組基底OA,OB及任一向量OP,OP=，uOA+nOB(7、NwR),若點P在直線AB上或者在平行于AB上或者在平行于AB的直線上，則九+N=k（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時,k=1；當(dāng)?shù)群途€在O點和直線AB及與直線AB平行的直線稱為等和線。當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時,k=1；當(dāng)?shù)群途€在O點和直線AB之間時，kw（0,1）；當(dāng)直線AB在點O和等和線之間時，kw（1,+oc）;當(dāng)?shù)群途€過O點時，k=0；若兩等和線關(guān)于O點對稱，則定值k互為相反數(shù);1,AO=XAB+NAC,則九+N1,AO=XAB+NAC,則九+N的3例2、在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，兩定點A,B滿足|TTT—OA|=|OB|=OAOB=2,則點集｛Pi"Op九ToK,O1.B+|N|E|九1乒所羔示的區(qū)域面積為【解題步驟及說明】確定等值線為1的線；平移（旋轉(zhuǎn)或伸縮）該線，結(jié)合動點的可行域，分析何處取得最大值和最小值；從長度比或者點的位置兩個角度，計算最大值和最小值；說明：平面向量共線定理的表達(dá)式中的三個向量的起點務(wù)必一致，若不一致，本著少數(shù)服從多數(shù)的原則，優(yōu)先平移固定的向量；若需要研究的兩系數(shù)的線性關(guān)系，則需要通過變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和?！镜湫屠}】例1、給定兩個長度為1的平面向量OA和Ob,它們的夾角為120°,如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動。若OC=xOA+yOB,其中x,yWR,則x+y的最大值跟蹤練習(xí)：已知O為AABC的外心，若cos/ABC最大值為例3、如圖，在扇形OAB中，/AOB=60O,C為弧AB上不與A,B重合的一個動點,OC=xOA+yOB,若u=x+7uy（九＞0）存在最大值，則人的取值范圍為跟蹤練習(xí)：在正方形ABCD中，E為BC中點，P為以AB為直徑的半圓弧上任意一點,

設(shè)AE=xAD+yAP,則2x+y的最小值為【強化訓(xùn)練】1、在正六邊形ABCDEF中，P是三角形CDE內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)AP=xAB+ytF,則x+y的取值范圍2、如圖，在平行四邊形ABCD中，M,N為CD邊的三等份點，S為AM,BN的交點，P為邊AB上的一動點，Q為ASMN內(nèi)一點（含邊界），若PQ=x^M+yBN,則x+y的取值范圍3、設(shè)D,E分別是AABC的邊AB,BC上的點，AD=1的取值范圍3、設(shè)D,E分別是AABC的邊AB,BC上的點，AD=1AB,BDE=兀AB+八2AC（4，”為實數(shù)），則及+入2的值為DNMB2-=BC3.：4、5、AP梯形ABCD中，AD_LAB,AD=DC=1,AB=3,P為三角形BCD內(nèi)一點(包——T…………括邊界)，AP=xAB十yAD,則x+y的取值氾圍.已知|OA|=1,|OB主，-3OAOB=0,點C在/AOB內(nèi)，且ZAOC=30°,設(shè)OC=mOA+nOE5則—的值為.n6、在正方形ABCD中，E為AB中點，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的任意點，設(shè)AC=xDE+yAP,則x+y的最小值為7、已知|=xOM+yON（x,y為實數(shù)）。若APMN為以7、已知|點的直角三角形，則x-y取值的集合為T——8、平面內(nèi)有三個向量OA,OB,OC,其中OA,OB夾角為120T——8、平面內(nèi)有三個向量OA,OB,OC,其中|OA昌|OA昌OB|t靛|二2石，若六1^7，則m+n的值為9、如圖，A,B,C是圓O上的三點，CO的延長線