初三數(shù)學應(yīng)用相似三角形的知識解決實際問題知識精講人教試驗版

初三數(shù)學應(yīng)用相似三角形的知識解決實際問題知識精講人教實驗版【本講教育信息】一.教學內(nèi)容：應(yīng)用相似三角形的知識解決實際問題二.重點、難點：如何運用相似三角形知識解決問題：(1)認真審題，能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；(2)畫出符合題意的圖形；(3)運用所學知識解決問題，并確認結(jié)果的合理性?！镜湫屠}】例1.已知：如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m,某一時刻AB在陽光下的投影BC=3m。(1)請你在圖中畫出此時DE的陽光下的投影。(2)在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m,請你計算DE的解：(1)連結(jié)AC,過點D作DF//AC,交直線BC于點F,線段EF即為DE的投影。???AC//DF,，/ACB=/DFE?.ZABC=ZDEF=90°,/.AABC^ADEFABBC.53..——=——,———=-DEEFDE6DE=10(m)注意：①畫出DE在陽光下的投影時，需使DF//AC,我們把陽光看成是平行的射線。②計算EF的長時，要先推理證明，再進行計算。要保證解題過程的科學性、準確性。例2.如圖，在水平桌面上的兩個“E”，當點P1,P2,O在一條直線上時，在點O處用①號“E”測得的視力與用②號“E”測得的視力相同。(1)圖中b1，b2,lnI2滿足怎樣的關(guān)系式？(2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①號“E”的測試距離l〔=8m,要使測得的視力相同，則②號“E”的測試距離l2應(yīng)為多少？解：(1)???RDi//P2D2,AP1D1OAP2D2O,亞=吧，即P2D2D2Ob2l2bili——=一且b1=3.2cm,b2=2cm,l1=8mb2I23.28,—?.2l2l2=5(m)答：②號“E”的測試距離l2是5m。D注意：①要學會從復雜圖形中，找到基本圖形，明確有關(guān)線段的位置關(guān)系。②這種組合型問題，第一問常常對第二問有啟發(fā)的作用。例3.某供電部門準備在輸電主干線l上連接一個分支線路，分支點為M,同時向新落成的A、B兩個居民小區(qū)送電，已知居民小區(qū)A、B分別到主干線l的距離AAi=2千米，BB1=1千米，且A1B1M4千米。（1）如果居民小區(qū)A、B在主干線l的兩旁，如圖（1）所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？最短線路的長度是多少千米？（2）如果居民小區(qū)A、B在主干線l的同旁，如圖（2）所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？此時分支點M與A1的距離是多少千米？圖⑴圖⑵解：（1）法一：連結(jié)AB,AB與l的交點就是所求分支點M,分支點設(shè)在此處，總線路最短。

BB圖⑴??/BBiM=/AAiM=90°（已知）,/BMB1=/AMAi（對頂角相等），?.△BiBMAiAMB1MBBi門口4—A1Mi——=——即i一二—AiMAAiAiM2.一8解得AiM=83由勾股定理，得AB=AMBM=2（8）2i2（4）2q=5AB=AMBM=2.333所以分支點M在線段AiBi上且距A點至千米處，最短線路的長度為5千米法二：連結(jié)AB,AB與l的交點就是所求分支點M分支點設(shè)在此處，總線路最短過B點作l的平行線，與AAi的延長線交于P點如圖（i）,貝U/APB=90°BP=AiBi=4,AP=AiA+BiB=3在RtAAPB中，根據(jù)勾股定理，得AB=.AP2BP2=3242=5所以最短線路的長度為5千米（2）如圖（2）作B點關(guān)于直線l的對稱點B2,連結(jié)AB2交直線l于點M,此處即為8一，分支點。由（i）知，AiM長度為一千米。3A圖⑵A圖⑵例4.某生活小區(qū)的居民籌集資金i600元，計劃在一塊上、下底分別為i0m、20m的梯形空地上種植花木（如圖）。（i）他們在△AMD和4BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m2,當△AMD地帶種滿花后（圖中陰影部分），共花了i60元，請計算種滿△BMC地帶所需的費用。

(2)若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/m2和10元/m2,應(yīng)選擇種哪種花木，剛好用完所籌集的資金？(3)若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變(如圖)，請你設(shè)計一種花壇圖案，即在梯形內(nèi)找到一點P,使得△APBs^DPC且S*pd=S4bpc,并說出你的理由。分析：利用相似三角形知識求出SabmC與$△AMD的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵。(1)解：AD//BC???分析：利用相似三角形知識求出SabmC與$△AMD的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵。(1)解：AD//BC???/MADAMD.S^mdS.Bmc???四邊形ABCD是梯形=/MCB,/s匕CMBzAD.21=(——)=-BC4MDA=/MBC,?,種植△AMD地帶花費160元1602=20(m2)2、2、Saamd=80(m)BMC地帶的花費為80X8=640(元)(2)解：設(shè)AAMD的高為h1,ABMC的高為h2,梯形ABCD的高為h1SaAMD=—M10h1=202h1=4TOC\o"1-5"\h\zh22h2=8_1___1???S梯形abcd(ADBC)h=-3012=180222、Saamb+Sacmd=180—20—80=80(m)???160+640+80X12=1760(元)又：160+640+80X10=1600(%).??應(yīng)種植茉莉花剛好用完所籌集的資金。(3)解：點P在AD、BC的中垂線上

CC此時，PA=PD,PB=PC???AB=DCAPB^ADPC設(shè)^APD的高為x,則4BPC高為(12—x)1sapdSBPC==一父10x=5xsapdSBPC=2120(12-x)=10(12-x)2當SaaPD=SABPC即5x=10(12—x)x=8???當點P在AD、BC的中垂線上且與AD的距離為8cm時，S*pd=S^pc小結(jié)：解決實際問題時，首先要弄清題意，能把實際問題抽象為數(shù)學問題，然后再利用已學知識解決。在解決實際問題時，常常是多個知識的合理運用，因此要把已學知識進行聯(lián)系，做到融匯貫通?！灸M試題】(答題時間：20分鐘).已知圖1和圖2中的每個小正方形的邊長都是1個單位。(1)將圖1中的格點AABC,先向右平移3個單位，再向上平移2個單位，得到△A1B1C1。請你在圖1中畫出△A1B1C1；(2)在圖2中畫一個與格點^DEF相似且相似比不等于1的格點三角形。(說明：頂點都在網(wǎng)格線交點處的三角形叫做格點三角形)圖1圖2.如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2,BC=3,點P是AD邊上的一動點(P異于A、D),Q是BC邊上的任意一點。連結(jié)AQ、DQ,過P作PE//DQ交AQ于E,作PF//AQ交DQ于F。(1)求證：△APE^AADQ;(2)設(shè)AP的長為x,試求△PEF的面積Sapef關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當P在何處時，Sapef取得最大值？最大值為多少？(3)當Q在何處時，△ADQ的周長最小？(須給出確定Q在何處的過程或方法，不

必給出證明).如圖，有一塊塑料矩形模板ABCD,長為10cm,寬為4cm,將你手中足夠大的直角三

角板PHF的直角頂點P落在AD邊上(不與A、D重合)，在AD上適當移動三角板頂點P:①能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C?若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由。②再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH始終通過點B,另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q,與BC交于點E,能否使CE=2cm?若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由。APDFF.如圖，梯形ABCD中，AD//BC,/ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=a,在線段BC上任取一點P,連結(jié)DP,作射線PELDP,PE與亮線AB交于點E。(1)試確定CP=3時，點E的位置；(2)若設(shè)CP=x,BE=y,試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式；(3)若在線段BC上能找到不同的兩點Pi,P2,使按上述作法得到的點E都與點A重合，試求出此時a的取值范圍。

.略.(1)證明/APE=/ADQ,/AEP=/AQD;(2)注意到△APEs^ADQ,△PDF^AADQ-1e又SaEF―2S平行四邊形PEQF，.C—12—.C—12—13.2一S衣EF-x+x———(x~_)3323.，當*=一時，即P為AD中點時，2作點A關(guān)于直線BC的對稱點34S^PEF取得最大值—；4A',連結(jié)DA'交BC于點Q,則這個點Q就是使△ADQ周長最小的點，此時點Q為BC的中點。3.解：①結(jié)論：能設(shè)AP=xcm,貝UPD=(10—x)cm因為/A=ZD=90°,/BPC=90°所以/DPC=ZABP所以△ABP^ADPC-ABAP一則AB_=AP,即ABDC=PDAPPDDC所以44=x(10-x)即x2-10x16=0解得x1=2,x2=8所以AP=2cm或8cm②結(jié)論：能設(shè)AP=xcm,CQ=ycm由于ABCD是矩形，/HPF=90°所以△BAP^AECQ,△BAP^APDQ所以APCE=ABCQ,APPD=ABDQ所以2x=4y,即y=N①2x(10-x)=4(4+y)②消去v,得x2-8x+16=0解得x1=x2=4,即AP=4cm

4.解：(1)作DFXBC,F為垂足則當CP=3時?4.解：(1)作DFXBC,F為垂足則當CP=3時??四邊形ADFB是矩形,??點P與F重合又BF±FD，此時點E與點B重合(2)當點P在BF上時./EPB+ZDPF=90°/EPB+ZPEB=90°?./DPF=/PEBCF=3因而RtAPEB^ADPF,又BE=y,BP=12-x,yx—3代入①得-^=——12-xa1一?'y=—(12-x)(x-3)BEFP斤——=——①BPFDFP=x-3,FD=aa1,2、=-(-x