高等數(shù)學(xué)aii2016春季-第10章無窮級數(shù)10.2正項

2.性質(zhì)：性質(zhì)1

若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)

c

所得級數(shù)也收斂,即其和為cS.性質(zhì)2

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為注:（1）若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.（2）若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.性質(zhì)3在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.推論:

若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注:

收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.注:

若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.第二節(jié)正項級數(shù)

第十章一、正項級數(shù)及其審斂法二、小結(jié)與思考練習(xí)一、正項級數(shù)及其審斂法若定理1

正項級數(shù)收斂部分和數(shù)列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù)

.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”(Interrogateofpositivetermseries)準(zhǔn)則I

單調(diào)有界數(shù)列必有極限證明:這是一個正項級數(shù)，其部分和為:故{sn}有界，所以原級數(shù)收斂.設(shè)且有(1)若級數(shù)則級數(shù)(2)若級數(shù)則級數(shù)證:則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數(shù),定理2(比較審斂法)則有(1)若級數(shù)則存在M>0,有因此對一切有由定理1可知,則有(2)若級數(shù)因此這說明級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,級數(shù)設(shè)且存在對一切有(1)若級數(shù)則級數(shù)(2)若級數(shù)則級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),推論：比較審斂法的缺點:須有參考級數(shù).

證明解由圖可知重要參考級數(shù):

等比級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0(3)當(dāng)

l=∞證:(1)據(jù)極限定義,設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,定理3(比較審斂法的極限形式)由定理2可知同時收斂或同時發(fā)散;(2)當(dāng)l=

0時,由定理2知收斂,若(3)當(dāng)l=∞時,略練習(xí)解:

因為所以級數(shù)收斂.設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知定理4比值審斂法(D’Alembert判別法)因此所以級數(shù)發(fā)散.時從而(2)當(dāng)比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).兩點注意:對任意給定的正數(shù)設(shè)為正項級則證明略提示:即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且定理5根值審斂法(Cauchy判別法)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.說明:所以級數(shù)收斂.時,必有這說明凡能由比式判別法判別收斂性的級數(shù),也能

由根式判別法來判別,亦即根式判別法較之比式判

別法更為有效.

例如級數(shù)由于

當(dāng)故比式判別法無法鑒別此級數(shù)的收斂性.但應(yīng)用根

式判別法卻能判定此級數(shù)是收斂的(例11).那么,

是否就不需要比式判別法了？請看下面例子.例11.

判別下列級數(shù)的斂散性：解

(i)因為由比值判別法，原級數(shù)為收斂.(ii)因為由根值判別法,原級數(shù)為收斂.注由于極限很難求,所以上例中的(i)

不采用根式法.2.比較法：設(shè)且有(1)若強級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數(shù),定理2(比較審斂法)定理1

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.二.內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0(3)當(dāng)

l=∞設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,定理3(比較審斂法的極限形式)3.比較法的極限形式：設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.定理4比值審斂法(D’Alembert判別法)4.比值法設(shè)為正項級則數(shù),且定理5根值審斂法(Cauchy判別法)5.根值法2.利用正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別部分和極限作業(yè)習(xí)題

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