2023年高三復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)：第45練　平面向量中的綜合問題

第45練平面向量中的綜合問題基礎(chǔ)對點(diǎn)練考點(diǎn)一平面向量在幾何中的應(yīng)用—" — （AB1.O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足。尸=0A+2—+-，\］AB\\ACi）AG（O,+8）,則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（ ）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心答案B—?—?解析因?yàn)樾?，尾分別是向量拔，北方向上的單位向量，設(shè)法與北方向上的單位向量分|AB||AC|別為ei和e2,又5?-萬1=能，則原式可化為崩=，ei+e2）,由菱形的基本性質(zhì)可知AP平分NBAC,那么在△A8C中，AP平分N8AC,故點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.A2.（多選）在RtZkABC中，CO是斜邊A8上的高，如圖，則下列等式成立的是（）\AC\2=ACAB\BC\2=BABC|Afl|2=Ac-cbD,曲2=遴超兇弱國曲2答案ABD解析由慶?魂=|而|矗|cosA=|Q）H矗由射影定理可得位即選項(xiàng)A正確；由法.反'=1眉||反］cos8=|扇||曲|,由射影定理可得|前］2=礪.及，即選項(xiàng)B正確；由啟.麗=|AC||Cb|cos（7t-ZACD）<0,又麗F>o,即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由圖可知RtZ\AC￡）sRtZ\4BC,

所以向由選項(xiàng)a,所以向由選項(xiàng)a,B可得|日中=（Ab痼x向?曲）

而F即選項(xiàng)D正確.3.（2022?四川雙流中學(xué)模擬）如圖，在△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，若AB=1,AC=3,矗與病的夾角為60。，則|說1|=.答案手解析為8c的中點(diǎn),.'.AM^j（AB+AC）,：.\MA^=^(AB+AC)2I? > AA=^\AB\2+\AC\2+2AB-AC)由圖可知，為與蘇夾角的最小值為0;當(dāng)直線OP與圓A相切時(shí)，5A與后的夾角取到最大值，連接AP,\p1

易得NPOA為銳角且sinNPOA=門.=不，（-Z/1乙所以心與兩夾角的取值范圍是［o,I.考點(diǎn)二和向量有關(guān)的最值（范圍）問題（2022?佛山模擬）2020年10月27日，在距離長江口南支航道0.7海里的風(fēng)機(jī)塔上，東海航海保障中心上海航標(biāo)處順利完成臨港海上風(fēng)電場AIS（船舶自動(dòng)識別系統(tǒng)）基站的新建工作，中國首個(gè)海上風(fēng)機(jī)塔AIS基站宣告建成.已知風(fēng)機(jī)的每個(gè)轉(zhuǎn)子葉片的長度為20米，每兩個(gè)葉片之間的夾角相同，風(fēng)機(jī)塔（桿）的長度為60米，葉片隨風(fēng)轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)葉片與風(fēng)機(jī)塔在同一平面內(nèi)，如圖所示，則|殖+為+南的最小值為（AAA.40B.2MC.20/10D.80答案A解析由題意知，OA+OB+OC=Q,即以+加=的,則昂+dh+OM=CM,則當(dāng)風(fēng)葉旋轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，|CM|最小，且最小值為60—20=40.（2022?鐵嶺模擬）已知△ABC的外接圓的半徑等于3,AB=4,則成?啟的取值范圍是（ ）B.[-8,20]B.[-8,20]D.[-4,20]C.[-8,12]答案D解析以△4BC外接圓的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。且平行于AB的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,則A(—2,-<5),8(2,一小),設(shè)C(3cos43sin0),則荏=(4,0),危=(3cos?+2,3sin?+小),則贏?AC=12cos(9+8G[-4,20].（2022?中央民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬）已知圓C的方程為（x—l）2+（y—1>=2,點(diǎn)P在直線y=x+3上，線段AB為圓C的直徑，則|或+而|的最小值為（）A.羋B.3小C.4啦D.3答案B解析因?yàn)镃為A8的中點(diǎn)，所以成+兩=2正，從而|眉+崩|=|2兩=2|的，可知|的的最小值為點(diǎn)C到直線y=x+3的距離，仁“號也嗜所以|成+兩|min=2X乎=3收.（多選）（2022?珠海模擬）在△ABC中，。為AC上一點(diǎn)且滿足疝=!比，若P為BD上一點(diǎn)、，且滿足力=派+/次，2,〃為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.A/z的最小值為16.川的最大值為強(qiáng)C.：+我的最大值為16D.；+看的最小值為4答案BD解析,：AP=；AB+4fiAb,且「，B,。三點(diǎn)共線，.??入+4"=1,.,?”=；?2.4〃寸上空）2=看當(dāng)且僅當(dāng)2=；,4=￡時(shí)取等號，:?g的最大值為高:+t=（"+4〃>0+力=2+華+%22+2、^京=4,當(dāng)且僅當(dāng)4=看時(shí)取等號,二；+七的最小值為4..已知向量。=（小sin。，1）,b=（l,cos0）,則a/的最大值為.答案2解析”力=55m8+cose=2sin（8+§W2,故a力的最大值為2..已知四邊形ABCQ中，AD〃BC,NBAD=90°,AD=1,BC=2,M是4B邊上的動(dòng)點(diǎn)，則|而+訪|的最小值為.答案3解析以8C所在直線為x軸，8A所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,a),M(0,b),且OWbWa,由于8c=2,AD=\.?,.C(2,0),0(1,a).則證=(2,-b),A/D=(l,a-b),：.MC+MD=(3,a-2b).因此|證+而b|=yj9+(a-2b)2,.?.當(dāng)且僅當(dāng)a=26時(shí)，|慶+而|取得最小值3.—能力提升練建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳B因?yàn)锳B〃CO,所以4(0,0),8(2,0),0(0,1),C(l,l),設(shè)0WJIW1,所以M(2—22,A),所以病=(2—22,A),CM=(1—2Jl,A—1),所以AM-CM=(2-2Q(l-2i)+犯-1)=5乃—74+2=5”7 , — — if,,,, 9當(dāng)2=而時(shí)，AMCM取得取小值為一而.13.（2022?北京市第十二中學(xué)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，4,B,C三點(diǎn)滿足.I. 2?OC=qO4+qOA⑴求^^的值;\CB\⑵已知41,cosx)⑵已知41,cosx)?B(l+cosx,ncosx),無￡。，2，火外=沌.女一（2m+1）以瓦若貝x）的最小值為g（⑼，求g（⑼的最大值.__I_2解（1）由題意知，A,B,。三點(diǎn)滿足次=?宓+?5及可得沆一d4為一萬\）,“一2f2f->所以AC=y3=g(AC+C3),—? —? —? -? IA<1即AC=2C8,則HC|=2|C8|,所以1―!=2ICfil(2)由題意知，OA=(1,cosx),OB=(l+cosx,cosx),AB=(cosx,0),“一*1-*2-(.2COSXI,所以O(shè)C=gO入+§08=(1+jcosx9COSXI,iosx=(cosx-zn)2+1—所以函數(shù)iosx=(cosx-zn)2+1—2〃r,因?yàn)閄G0, ,所以cosxG[0,l],若w<0,當(dāng)cosx=0時(shí)，應(yīng)打取得最小值若0<加<1,當(dāng)COSX=機(jī)時(shí)，y(x)取得最小值g(加)=1一62；若而>1,當(dāng)cosx=l時(shí)，貝無)取得最小值g(m)=2-2m,fl,m<0,綜上所述，g(⑼={1一加2,OWmWl,可得函數(shù)g(m)的最大值為1.〔2-2機(jī)，m>\914.在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，且〃i=(2cosAcosC,—1),n=(tanAtanC—1,1),ni-Ln.⑴求8的大小；(2)若b=7,sinA+sinC=R乎,求△A8C的面積.解(1)由m.Ln,則mn=0,即m/i=2cosAcosC(tan/ItanC—1)—1=2sinAsinC—2cosAcosC—1=-2cos(A+Q—1=2cosB—1=0,AcosB=^,又3￡(0,7r),:'B=y'八sinAsinCsinB.兀嗎”..SinA—TT6T,sinC—TTC,身起即理工近1^/3?sinA+sinC—,即甘〃+甘c一4，?'?a+c=13.又?.,fe2=〃2+c2-2〃ccosB,TT即72=a2+c2-2accos /.ac=40,.??SaA8c=gacsinB=3X40Xsin10\/3.4.(2022?濰坊模擬)已知點(diǎn)A(2,0),4(1,2),C(2,2),\AP\=\AB-AC\,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則所|=, 與總夾角的取值范圍是^答案1[o.I解析由題意可得誦一元=為=（一1,0）,所以麻|=麗一戢]=|為|=1.則點(diǎn)P在以A（2,0）為圓心，1為半徑的圓上，如圖.11.(多選)(2022?蘇州市實(shí)臉中學(xué)期中)引入平面向量之間的一種新運(yùn)算"?”如下：對任意的向量"i=(xi，yi),〃=(X2，J2)，規(guī)定/n?〃=xiX2—yg則對于任意的向量a，b,c,下列說法正確的是()A.a?b=b?aB.(Xa)?b=A(a?b)C.a(b?c)=(a?b)cD.⑷?網(wǎng)刁。納|答案ABD解析設(shè)。=(汨，yi),b=(X2,")，c=(X3,J3),A中，因?yàn)閍^b=x\X2—y\y29b?a=xvc\-yiy\^所以不歷=的0,故正確；B中，因?yàn)?l)M=(&l)X2—(b1?2=4(X112—9>2)=4。魴)，故正確；C中，0(b?c)=(X2X3—y2y3)。，(a?b)-c=(x\X2—yiyi)c,此時(shí)。?(b?c)=(a?b>c不恒成立，故錯(cuò)誤；D中，因?yàn)?|a|.|例)2=(3%?+"?4=+其)2=正通+近應(yīng)+4鳧+4行,|腔歷|2="/+y彳五一2x\X2y\yi，所以(I。卜|fr|)2—\a?