2023年高三復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)：第39練　解三角形及其應(yīng)用舉例

第39練解三角形及其應(yīng)用舉例基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練考點(diǎn)一三角形的解及形狀的判定1.在△ABC中，若a=18,方=24,A=45°,則此三角形有（ ）A.無解 B.兩解C.一解 D.解的個(gè)數(shù)不確定答案B解析在△4BC中，若a=18,b=24,A=45°,則由正弦定理云=磊得尚=3^，即sinB=\^=羋*,的度數(shù)有兩解，從而該三角形有兩解.2.已知在△ABC中，震/=，則△ABC的形狀為（）idnijoA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形答案C?人十》zffl出sinAcosBsin2A?.由正弦定理得，sinBcosA=^B'.cosBsinA*cosA=sinB,sinAcosA=sinBcosB,.'.sin2A=sin2B,???2A=23或2A+2B=7t,.\A=B或A+8=],則△ABC是等腰或直角三角形..（2022?北京101中學(xué)模擬）在△ABC中，L^=sin2（a,b,。分別為角4B,C的對(duì)邊）,則△ABC的形狀為（）A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案ASin\~-cin<4 1-r'OSfi解析依題意，利用正弦定理及二倍角公式得—廠一，即sinA=sinCeos8,又sinA=sin（B+C）=sin氏osC+cosBsinC,故sinBcosC=0,在三角形中sinBWO,故cosjrc=o,即c=：,故三角形為直角三角形..（多選）已知△ABC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,下列四個(gè)命題中正確的是（ ）A.汽念=焉=占，則AABC一定是等邊三角形B.若“cosA=Z?cos3,則△ABC一定是等腰三角形C.若bcosC+ccos8=/?,則△ABC一定是等腰三角形D.若。2+/一/<0,則△ABC一定是鈍角三角形答案ACD解析對(duì)于A,若急=島=?氏，?.sinAsinBsinCni = = cosAcosBcosC*即tanA=tan8=lanC,即A=B=C,所以AABC是等邊三角形，故A正確；對(duì)于B,若acosA=hcos&由正弦定理得，sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,則2A=28或2A+28=冗，jr即A=B或A+3=5，則AABC為等腰或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若bcosC+ccosB=b,貝ijsinBcosC+sinCeosB=sinB,所以sin（B+O=sinA=sinB,即A=&則△ABC一定是等腰三角形，故C正確；

對(duì)于D,在△A8C中，a2+62—￡^<0,即<?+從<<?,又c2=a2+ft2—2abcosC,所以cosC<0,即角C為鈍角，則AABC一定是鈍角三角形，故D正確..（多選）（2022?南通模擬）在△4BC中，a,b,c分別為內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊，下列敘述正確的有（）A-若品=自，則△ABC為等腰三角形B-若嘉=熹,則4ABC為等腰三角形C.若tanA+tan8+tanC<0,則△4BC為鈍角三角形TTD.若a=bsinC+ccosB,則C=1答案ACDZ7h解析對(duì)于A,由正弦定理得名=3,billZ1SillIJr__a bXsinB=sinA,sinA=sinB,而A+B+C=n,?二只能A=8,即△ABC為等腰三角形，故A正確;對(duì)于B,由正弦定理得看=磊,…R=cccd可化為sinAcosA=sinBcosB,UMoDUMozi即sin2A=sin2B,：.2A=2B或2A+28=m???△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,VA+B+C=7t,/.sin(A+B)=sin(7t-C)=sinC,cos(A+B)=cos(n—Q=-cosC,… … … … -sinA.sinB.sinCsinAcosB+sinBcosA--tanA+tanfi+tanC=八?人十、?d十『 八?八八…口斗cosAcosBcosCcosAcosBsinCsinCcosC-cosAcosBsinC./ 1 41) .,cosC+cosAcosBsinAsinBsinCcosC*—’I”\cosAcosBcosC/-sincosAcosBcosC-cosAcosBcosCVtanA+tanB+tanC<0,而sinA>0,sinB>0,sinC>0,.'.cosA,cos8,cosC中必有且只有一個(gè)小于0,???△ABC為鈍角三角形，故C正確；對(duì)于D,Va=Z?sinC+ccosB,由正弦定理得sinA=sinBsinC+sinCeosB,即sinBcosC+sinCeos8=sinBsinC+sinCeosB,VsinB#0,cosC=sinC,vce（o,it）,，C=￡,故D正確.考點(diǎn)二正、余弦定理的應(yīng)用舉例.海面上有A,B,C三個(gè)燈塔，AB=10nmile,從A望C和B成60。視角，從8望C和A成75。視角，則BC等于（）A.nmile nmileC.5啦nmile D.5y/6nmile答案D解析如圖，B/AA460° \在△ABC中，AB=10nmile,NA=60°,NB=75°,ZC=45°.由正弦定理得信=尚，解得BC=5#nmile.7.如圖，地面上四個(gè)5G中繼站A,B,C,￡>.已知C￡>=（#+啦）km,ZADB=ZCDB=30°,NOCA=45。，ZACB=60°,則A,8兩個(gè)中繼站的距離是（ ）AB24skm B.2\[]0kmC.,^Tokm D.6r\[2km答案C解析由題意可得ND4c=75。，NQBC=45。.在△AOC中，由正弦定理得

CDsinZADC(#+柩又當(dāng)CDsinZADC(#+柩又當(dāng)AC=sinZDACsin75°=2小.(^/6+V2)x1在△BOC中，由正弦定理得(^/6+V2)x1CDsinZBDCBC= °sinZDBC在△ACB中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2XACXBCXcosNACB=(2?。?(小+1)2—2X2小X(小+l)X；=10,所以AB=y[\0km..一艘海輪從A處出發(fā)，以40nmile/h的速度沿南偏東40。的方向直線航行，30min后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在8處觀察燈塔,其方向是北偏東65。，那么B,C兩點(diǎn)間的距離是（）\0\[2nmile\0\[2nmileC.2073nmile10^3nmileD.20^2nmile答案A解析如圖所示,由已知條件得，NCAB=30。，NABC=105。,：.ZBCA=45°.又AB=40x1=20(nmile),AO Df'由正弦定理可得訴=者而20X]解得BC=—7=-=10V2(nmile)..如圖，無人機(jī)在離地面高200m的4處，觀測到山頂M處的仰角為15。，山腳C處的俯角為45。，已知NMCN=60。，則山的高度MN為（）MI)11〃〃〃〃，《?，，，，）

I)11〃〃〃〃，《?，，，，）A.3A.300m20OJ3m D.275m答案A解析'：AD//BC,：.ZACB=ZDAC=45°,：.AC=yj2AB=200\^(m),又NA/C4=180°-60°-45°=75°,NAMC=15°+45°=60°, ZAA/C=45°,+a……MC4c在△AMC中’sin/M4C=sinN4MC'MC=200\Esin60MC=200\Esin60。

sin45°=20073(m),MN=A/CsinZMCN=2OO\/3sin60°=300（m）..（2022?株洲模擬）如圖，8是京九鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在CO所在水平面上的山體外取點(diǎn)4,B,并測得在四邊形4BCD中，NABC=W，ZBAD=y,AB=BC=400m,AO=250m,則應(yīng)開鑿的隧道CD的長為m.答案350TT解析在△ABC中，因?yàn)锳B=BC=400m,ZABC=y所以△ABC為等邊三角形,IT即AC=400m,ZACB=yTT 2.71又NB4C=?NBAD=w，TT所以ZDAC=NBA。-ZBAC=y在△AOC中，A￡)=250m,AC=400m,ZDAC=y由余弦定理得a^nAU+ACZ-ZADACcos/DAC,71即CD2=2502+4002-2X250X400Xcosy解得8=350m.—能力提升練.（多選）地面上有兩座相距120m的塔，高塔的高為“m,矮塔的高為/zm,在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫閍,在高塔塔底望矮塔塔頂?shù)难鼋菫?，且在兩塔底連線的中點(diǎn)O處望兩

塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟牵瑒t下列結(jié)論正確的有（）B.H=90aB.H=90A-tan2=l20C./C./i=40答案ABC解析tana=昌，tan彳=春，故A正確;根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式，2X-^得卷=①1一島》設(shè)在。點(diǎn)望高塔塔頂?shù)难鼋菫槿艘驗(yàn)樵趦伤走B線的中點(diǎn)。望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?所以在。點(diǎn)望矮塔塔頂?shù)难鼋菫橐麷聯(lián)立①②，解得”=90,人=40,故B,C正確，D錯(cuò)誤..（2022?蘇州模擬）圭表（圭是南北方向水平放置測定表影長度的刻板，表是與圭垂直的桿）是中國古代用來確定節(jié)令的儀器，利用正午時(shí)太陽照在表上，表在圭上的影長來確定節(jié)令.已知冬至和夏至正午時(shí)，太陽光線與地面所成角分別為a,夕，表影長之差為/,那么表高為（）夏至奇夏至奇/(tana-tan/(tana-tan夕)

tanatanp/(tan￡-tana),tan夕tana門/tanatanBB. tana-tanp/tanStana

tan夕一lana答案D解析根據(jù)題意，作圖.

在△ACO中，ZCAD=/J~a,由正弦定理得，第=毋?則AC=則AC=/?sina, … .c/-sinasinB/-sinasinB/tanatanB在Rt/\ABC中，AB=AC'S\nfi=.tD 、=.° D? =,D, .廠sin(p-a)sinpcosa-cospsinatan/>—tana.(多選)如圖，一個(gè)水輪的半徑為6m,水輪軸心。距離水面的高度為3m,已知水輪按逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)H))開始計(jì)時(shí)，記負(fù)。為點(diǎn)P距離水面的高度關(guān)于時(shí)間”單位：s)的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.犬3)=9B.11)=/(7)C.若就26,則re[2+12￡5+12幻/6N)D.不論f為何值，財(cái)+々+4)+加+8)是定值答案BD解析設(shè)JW=Asin(M+°)+B,依題意可知迷。的最大值為9,最小值為一3,所以A+8=9,且-4+8=—3,可得A=6,8=3.因?yàn)?戶每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為嗑〈去所以財(cái)=6sin僅+?)+3,當(dāng)，=0時(shí)，財(cái)=0,得sin°=一不妨取夕=一看，故所求的函數(shù)解析式為*f)=6sin(U)+3.對(duì)于A,?=6sin像X3j)+3=3巾+3,即A錯(cuò)誤:

(Ji 兀、對(duì)于B,/(l)=6sin^Xl-^)+3=3,(TT 兀、y(7)=6sin(^X7-^J+3=3,即B正確;對(duì)于C,因?yàn)槿?6,所以6sin(U)+326,即如備斗一4一所以,一然方+2E,對(duì)+2E,AWN,解得，￡[2+12七6+12月，kCN,即C錯(cuò)誤；對(duì)于D,次1+4)+丹(+8)=6sinfe—7)+3+6sin^(r+4)—+3+6sin表+8)-1+3=6sin已一5)+6sin,+習(xí)+6sin(壽+個(gè))+971.7t.7T/sin不十71.7t.7T/sin不十cos目一.兀71?花.兀、八

sin/cos不十cos^f-sin^1=0,=sin/cos不所以_/(r)+/(r+4)+_Af+8)=9,為定值，即D正確.14.某沿海四個(gè)城市A,B,C,D的位置如圖所示，其中NA8C=60。，ZBCD=135°,AB=80nmile,BC=(40+3()V§)nmile,CD=250>/6nmile,。位于A的北偏東75。方向.現(xiàn)在有一艘輪船從A出發(fā)以50nmile/h的速度向D直線航行60min后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市C直線航行，收到指令時(shí)城市C對(duì)于輪船的方位角是南偏西6度，則sin9=解析如圖，設(shè)船行駛