有限元復(fù)習(xí)重點(diǎn)

?有限元起源于20世紀(jì)50年代中期航空工程中飛機(jī)結(jié)構(gòu)的矩陣分析。?有限元基本思想：在力學(xué)模型上將一個(gè)原來(lái)連續(xù)的物體離散成為有限個(gè)具有一定大小的單元,這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，并在節(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效力以代替實(shí)際作用于單元上的外力。對(duì)于每個(gè)單元,根據(jù)分塊近似的思想，選擇一種簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)表示單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，并按彈性理論中的能量原理（或用變分原理）建立單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。最后，把所有單元的這種關(guān)系式集合起來(lái)，就得到一組以節(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程組，解這些方程組就可以求出物體上有限個(gè)離散節(jié)點(diǎn)上的位移。分一合”，化整為零，集零為整，把復(fù)雜的結(jié)構(gòu)看成由有限個(gè)單元組成的整體。?單元、節(jié)點(diǎn)、邊界：采用8節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元把受力體劃分成網(wǎng)格，這些網(wǎng)格稱為單元；網(wǎng)格間互相連接的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)；網(wǎng)格與網(wǎng)格的交界線稱為邊界。節(jié)點(diǎn)數(shù)和單元數(shù)目是有限的。?有限元法的優(yōu)點(diǎn):（1）理論基礎(chǔ)簡(jiǎn)明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起對(duì)該法的理解。有靈活性和適用性，應(yīng)用范圍極為廣泛。 （3）該法在具體推導(dǎo)運(yùn)算中，廣泛采用了矩陣方法，便于實(shí)現(xiàn)程序設(shè)計(jì)的自動(dòng)化。?有限單元法分為三類：位移法（以節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量）、力法（以節(jié)點(diǎn)力為基本未知量）和混合法（一部分以節(jié)點(diǎn)位移，另一部分以節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量）?有限元法分析計(jì)算的基本步驟可歸納如以下五點(diǎn)。1.結(jié)構(gòu)的離散化（將某個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)劃分為由各種單元組成的計(jì)算模型）在平面問(wèn)題用三角形、矩形或任意四邊形單元。在空間問(wèn)題用四面體、長(zhǎng)方體或任意六面體單元2.單元分析①選擇位移模式（位移模式是表示單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移隨位置變化的函數(shù)式,由于所采用的函數(shù)是一種近似的試函數(shù)，一般不能精確地反映單元中真實(shí)的位移分布）位移模式或位移函數(shù):F@F@，e為單元編號(hào);e為單元的節(jié)點(diǎn)位移向量； Fe為單元的節(jié)nyai②建立單元?jiǎng)偠确匠蘫eei3.點(diǎn)力向量；ke為單元?jiǎng)偠染仃?③計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力：用等效的節(jié)點(diǎn)力來(lái)代替所有作用在單元上的力。3.整體分析：整體的有限元方程KF。整體分析：整體的有限元方程KF。K為整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣;為整體節(jié)點(diǎn)位移向量；F為整體載荷向量。4.求解方程，得出節(jié)點(diǎn)位移5.由節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元的應(yīng)變與應(yīng)力?有限元中得一個(gè)基本近似性是幾何近似性:力邊?有限元中的變量：應(yīng)力、應(yīng)變、變形?；痉匠逃校浩胶夥匠獭⑽锢矸匠?、幾何方程。 邊界條件界、位移邊界。:力邊力、應(yīng)變和位移狀態(tài)及其相互?彈性力學(xué)的任務(wù)是分析彈性體在受外力作用并處于平衡狀態(tài)下產(chǎn)生的應(yīng)關(guān)系等。力、應(yīng)變和位移狀態(tài)及其相互?外力：體力（分布在物體體積內(nèi)的力---重力、慣性力、電磁力）、面力（分布在物體表面上的力---流體壓力、接觸力、風(fēng)力）?應(yīng)力：物體受外力的作用，或由于溫度有所改變，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力。

館1Jh丿1,3tf冷-皿丿?平面問(wèn)題的幾何方程：dy 3J：?任意一點(diǎn)可由6個(gè)應(yīng)力分量zx來(lái)表示。應(yīng)力的矩陣:?任意一點(diǎn)可由6個(gè)應(yīng)變分量zx來(lái)表示。應(yīng)變的矩陣:?位移：彈性體在載荷作用下，不僅會(huì)發(fā)生形變，還將產(chǎn)生位移,即彈性體位置的移動(dòng)。?彈性力學(xué)方程：幾何方程、物理方程、平衡方程?變形協(xié)調(diào)條件：在變形前,把彈性體分為許多微小立方單元體，變形后，每個(gè)單元體都產(chǎn)生任意變形而不能組合成一個(gè)連續(xù)的變形體。為了保證這些六面體仍能組合成一個(gè)連續(xù)體，每一個(gè)小單元體的應(yīng)變分量必須滿足變形協(xié)調(diào)條件或稱變形連續(xù)條件的關(guān)系。?拉伸彈性模量E：應(yīng)變比值。 為泊松比。E應(yīng)力和應(yīng)變的比值；剪切彈性模量G:,尸、:iQ+H)剪應(yīng)力和對(duì)應(yīng)的剪?平面問(wèn)題變形協(xié)調(diào)條件2xy?任意一點(diǎn)可由6個(gè)應(yīng)力分量zx來(lái)表示。應(yīng)力的矩陣:?任意一點(diǎn)可由6個(gè)應(yīng)變分量zx來(lái)表示。應(yīng)變的矩陣:?位移：彈性體在載荷作用下，不僅會(huì)發(fā)生形變，還將產(chǎn)生位移,即彈性體位置的移動(dòng)。?彈性力學(xué)方程：幾何方程、物理方程、平衡方程?變形協(xié)調(diào)條件：在變形前,把彈性體分為許多微小立方單元體，變形后，每個(gè)單元體都產(chǎn)生任意變形而不能組合成一個(gè)連續(xù)的變形體。為了保證這些六面體仍能組合成一個(gè)連續(xù)體，每一個(gè)小單元體的應(yīng)變分量必須滿足變形協(xié)調(diào)條件或稱變形連續(xù)條件的關(guān)系。?拉伸彈性模量E：應(yīng)變比值。 為泊松比。E應(yīng)力和應(yīng)變的比值；剪切彈性模量G:,尸、:iQ+H)剪應(yīng)力和對(duì)應(yīng)的剪?平面問(wèn)題變形協(xié)調(diào)條件2xy2x—2-y2y―2"x?物理方程：三維情況下應(yīng)力和應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 ---廣義虎克定律。?平衡狀態(tài)：當(dāng)物體在外力作用下保持靜止或等速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)。?泛函：如果對(duì)某一類函數(shù) y(x)它的每一個(gè)函數(shù)值都有一個(gè)n值與之對(duì)應(yīng)，則變量n稱為自變函數(shù)的泛函。?李茲法的方法和步驟：①把所求泛函n[y(x)]的極值問(wèn)題的解，表達(dá)成一系列可能解的線性組合找到引用源。②把這個(gè)線性組合式帶入所討論問(wèn)題的泛函式n由泛函極值條件sn=0，算出線性組合式中的待定系數(shù)算得的待定系數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。?平面問(wèn)題：指彈性體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力、y(x)錯(cuò)誤味[y(x)]中去，并計(jì)算出此泛函式的變分sn③錯(cuò)誤！未找到引用源。，使之滿足基本微分方程④把值代入設(shè)定的式，即求得所討論問(wèn)題的解。應(yīng)變或位移只和兩個(gè)坐標(biāo)方向的變量有關(guān)。平面應(yīng)力物理方程:xE(y)yE(y2(1)

xyExy1

E1~~20彈性矩陣：?彈性力學(xué)問(wèn)題的有限元法主要步驟---整體分析[D]離散化(離散后才能使結(jié)構(gòu)變成有限個(gè)單元的綜合體)---單元分析?離散化的注意事項(xiàng)：①對(duì)稱性的利用(單軸對(duì)稱減少二分之一，雙軸對(duì)稱減少四分之一)②節(jié)點(diǎn)的選擇和單元的劃分(節(jié)點(diǎn)選?。和ǔ＜休d荷的作用點(diǎn)、分布載荷強(qiáng)度的突破點(diǎn)，分布載荷與分布載荷與自由令令M=頑（⑷十2十 IT，m邊界的分界點(diǎn)、支承點(diǎn)等?單元的劃分：?jiǎn)卧鲀?nèi)角和各邊長(zhǎng)不應(yīng)相差太大。對(duì)于三角形單元，應(yīng)使其盡量接近等邊或等腰三角形，以提高計(jì)算精度。為得到較好的位移結(jié)果，單元細(xì)長(zhǎng)比不應(yīng)超過(guò) 7;為得到好的應(yīng)力結(jié)果，細(xì)長(zhǎng)比不超過(guò) 3.內(nèi)角不應(yīng)大于150小于30度）③節(jié)點(diǎn)的編號(hào)（相鄰節(jié)點(diǎn)的號(hào)碼差值盡可能的小，一邊縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)約計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)）?單元分析的主要任務(wù)：推導(dǎo)基本未知量單元節(jié)點(diǎn)位移 與其對(duì)應(yīng)量單元節(jié)點(diǎn)力F*之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。單元井聽?單元分析的步驟：?jiǎn)卧?位移模式：將結(jié)構(gòu)離散為許多小單元的集合體，用較簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)描述單元內(nèi)各點(diǎn)位移的變化規(guī)律?？捎绊懹邢拊ǖ挠?jì)算精度和收斂性。 錯(cuò)誤!未找到引用源。，N為形函數(shù)矩陣Xm,ym，節(jié)點(diǎn)為Ui,Vi，UjXm,ym，節(jié)點(diǎn)為Ui,Vi，Uj,Vj，Um,Vm。將它們代入式（2—6），Vp=5+?詳，斗$卩=+心舟二叫十旳丄”十WVm聯(lián)立求解上述公式左邊的3聯(lián)立求解上述公式左邊的3個(gè)方程,可以求出待定系數(shù) ai,a2,a3為扯.5'.兀>-1式中，A為三角形單元i,j,m式中，A為三角形單元i,j,m的面積1疋rJiA=*1孔1近r”*要注意的是，為了使得出的面積的值不為負(fù)值，節(jié)點(diǎn)i,j,m的次序必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向至于將那個(gè)節(jié)點(diǎn)作為起始節(jié)點(diǎn)i，則沒有關(guān)系。整理后:It=右［3*+ f+ +勺広+巧了也F十3*十+sy）科和］同理可得=亦g+"丿IE+S+亦十門尹肚+S十忙J+式中

?形函數(shù)的性質(zhì)（1）形函數(shù)是坐標(biāo)X,y的線性函數(shù)。（2）形函數(shù)Ni在節(jié)點(diǎn)i處等于1,在其他節(jié)點(diǎn)上的1，即值等于0；對(duì)于Nj1，即嚴(yán)=斗+N聲/+N事士jVfUtv）+人；（丁3+2匕孑）-1|（3）單元內(nèi)任意一點(diǎn) X,y有 + +Nj*（4）在三角形單元邊界ij上一點(diǎn)X,y，有形函數(shù)公式"“a=t—丁_bjV/.r,y)=”_=0

JJ￡* JJ止dij為長(zhǎng)度。（5）形函數(shù)Ni在單元上的面積分和邊界上ijij為長(zhǎng)度。位移函數(shù)所要滿足的條件：①位移函數(shù)必須能反映單元的剛體位移②位移函數(shù)必須能反應(yīng)單元的常量應(yīng)變③位移函數(shù)應(yīng)盡可能反應(yīng)位移的連續(xù)性（完備單元：滿足①②；協(xié)調(diào)單元：滿足③；完備而非連續(xù)單元：滿足①②不滿足③）常應(yīng)變?nèi)切螁卧寒?dāng)單元確定后。矩陣B是常量，單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變分量也是常量的單元。有限元法的任務(wù)：建立和求解整個(gè)彈性體的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系的平衡方程。單元?jiǎng)偠染仃嚕罕磉_(dá)了單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：①單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素有明確的物理意義② Ke是對(duì)稱矩陣③Ke的每一行或每一列元素之和為零，因此Ke為奇異矩陣④Ke不隨單元的平行移動(dòng)或作nn角度的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變。剛度集成法集成規(guī)律：①先對(duì)每個(gè)單元求出其單元?jiǎng)偠染仃?Ke,而且以分塊形式按節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序排列②將單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)大階數(shù)為 2n*2n，并將單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K按局部碼與總碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系，搬到擴(kuò)大后的矩陣中，形成單元貢獻(xiàn)矩陣 Ke。③將所有單元貢獻(xiàn)矩陣同一位置上的分塊矩陣簡(jiǎn)單疊加成總體剛度矩陣中的一個(gè)子矩陣，各行各列都按以上步驟即形成總體剛度矩陣 K。?整體剛度矩陣的性質(zhì)：①整體剛度矩陣是對(duì)稱矩陣②整體剛度矩陣中每一元素的物理意義：整體剛度矩陣的第一列元素代表使第一個(gè)節(jié)點(diǎn)在 X方向有一單元位移，而其余節(jié)點(diǎn)位移皆為零時(shí)必須在節(jié)點(diǎn)上施加的里。對(duì)于K的其余各列也有類似意義③整體剛度矩陣 K的主對(duì)角線上的元素總是正的④整體剛度矩陣 K是一個(gè)稀疏陣⑤整體剛度矩陣 K是一個(gè)奇異陣。?半帶寬：在半個(gè)斜帶形區(qū)域中，每行具有的元素個(gè)數(shù)。?帶形矩陣：整體剛度矩陣K的非零元素分布在以主對(duì)角線為中心的斜帶形區(qū)域內(nèi)的矩陣。?半帶存儲(chǔ)：利用帶形矩陣的特點(diǎn)，并利用矩陣的對(duì)稱性，則在計(jì)算機(jī)中可以只存儲(chǔ)上半帶的元素的存儲(chǔ)方法。引用已知節(jié)點(diǎn)位移的方法：化1置0法、乘大數(shù)法?由計(jì)算結(jié)果推出彈性體內(nèi)某一點(diǎn)接近實(shí)際的應(yīng)力值的方法 ：繞節(jié)點(diǎn)平均法、兩單元平均法。注意事項(xiàng)：①相連單元間的應(yīng)力連續(xù)性只有當(dāng)相連單元具有相同厚度和材料時(shí)才存在，平均法才有意義②位于結(jié)構(gòu)邊界或介質(zhì)間斷線上的應(yīng)力點(diǎn)是無(wú)法用兩單元平均法得到應(yīng)力值的，若用繞節(jié)點(diǎn)平均法也因其相連單元太少而不能得到較佳的近似值。這種情況往往改用內(nèi)部應(yīng)力點(diǎn)外推的辦法去求它的近似值 。?有限元法的具體解題過(guò)程：①將結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，包括單元?jiǎng)澐帧⒐?jié)點(diǎn)編號(hào)、單元編號(hào)、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算、位移約束條件的確定②等效節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算③剛度矩陣的計(jì)算④建立整體平衡方程，引入約束條件，求解節(jié)點(diǎn)位移⑤應(yīng)力計(jì)算。?平面問(wèn)題幾何方程：錯(cuò)誤!未找到引用源。例2-1如圖2.6所示平面應(yīng)力情形的直角三角形單元 i,j,m，直角邊長(zhǎng)均為a,厚度為t，彈性模量為E泊松比為0.3，求單元?jiǎng)偠染仃?。解?1)i*Bo「hJT(4)求ke<]單元面積O'flJf?,X(tLO<1.^10exiSJSo0.3-G0 0,3 -1I-0-3Cl—(L35-4),31一0.3SJtr&-￡(I 7山-n￡i/?匕10心(i.3i—I”-300+35ft+350—m35-0,asD.350.3S0=<j.-O'.3.5護(hù)=ffSiA=咼1-82m3□0I二G,31—1—0-m5-u.35-0,3].0.65.—Op3-a陸—0.35-1p.fisJt35」例2—3已知如圖2.13(a)所示的懸臂深梁,在右端面作用著均布拉力,其合力為P。采用如圖2.13(b)所示簡(jiǎn)單網(wǎng)格，設(shè)1/3,厚度為t,試求節(jié)點(diǎn)位移。i；

r//////////解:對(duì)于單元①,i,j,m所對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)1，2，3or」=f-本題屬于平面應(yīng)力問(wèn)題，k的系數(shù)為Et9Et412A32?|>||>.000*00Jt>=yj30i-32:Q-2'01'2=1；二?0—37=42Z—「—4132—1Z0-2:—4240-zQ-2-12I0123E單元貢獻(xiàn)矩陣注意這兒的單元的上標(biāo)代表單元的號(hào)碼。對(duì)于單元,i,j,m對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)0 0 01,3,4.An后A訂堞一4*-32總剛度矩陣為4-2'0]2]一Z:03外=W—.Vr=C=一0 -2 4—2 [>3 □Q T3 2竹=第一為=—知=0t?—Jj—J',—2]；12g歸:+疋*'S+*5疔0K一Jt琶十*富-單元貢獻(xiàn)矩陣yAS峨10000Q■7(J':一S20—4_421□(3.Z—1?—403-la1-32:7-4；—4￡0￡1--4卩i￡—]?0010K4■=12:7 |?2=4廿2-13:Q132-1-12:0'<1■527「'1-?13Q0S三】一寸133Fr有了總體剛度矩陣后，再形成載荷列陣,即可得整體剛度方程,經(jīng)約束處理后就可求解節(jié)點(diǎn)位移。載荷列陣為形成整體平衡方程7U位移列陣為著—[00Wj糾70-32:0—電-\21N性013-2-1 —402廠￥0r_32i7—斗；一4200*1T2二1；-413 - 2一12<10t學(xué)埸03210—442；?-a2上-402-1.「0—152—12n01-327=400-12■002-1-413.0vj位移約束條件