（天津?qū)０妫?018年數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題18 數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和 文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE24學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精母題十八數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和【母題原題1】【2018天津,文18】設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為;是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為．已知．（Ⅰ）求和；(Ⅱ）若，求正整數(shù)的值．【考點(diǎn)分析】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)．考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力．滿分13分．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ)4．【解析】試題分析:（I）由題意得到關(guān)于的方程，解方程可得，則．結(jié)合設(shè)等差數(shù)列的公差為．由,可得．由，可得，從而,故，．(II）由（I），有．由可得,整理得,解得（舍）,或，的值為4【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)．考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力．【母題原題2】【2017天津，文18】已知為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0，．(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）．．（2）．由此可得．．得，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為．【母題原題3】【2016天津，文18】已知是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為,且．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式;（Ⅱ）若對(duì)任意的是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【答案】(Ⅰ）；(Ⅱ)．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前項(xiàng)和公式【名師點(diǎn)睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：（1）若an＝bn±cn,且｛bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．（2）通項(xiàng)公式為的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，｛cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．【母題原題4】【2015天津，文18】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（I），；(II）【解析】試題分析：（I）列出關(guān)于q與d的方程組，通過解方程組求出q，d，即可確定通項(xiàng)；(II）用錯(cuò)位相減法求和．試題解析：（I）設(shè)的公比為q，的公差為d，由題意，由已知，有消去d得解得,所以的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式【考點(diǎn)定位】本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減法求和,考查基本運(yùn)算能力．【名師點(diǎn)睛】近幾年高考試題中求數(shù)列通項(xiàng)的題目頻頻出現(xiàn)，尤其對(duì)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)考查較多，解決此類問題要重視方程思想的應(yīng)用．錯(cuò)位相減法求和也是高考考查頻率較高的一類方法，從歷年考試情況來看,這類問題，運(yùn)算失誤較多,應(yīng)引起考生重視．【命題意圖】高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，重點(diǎn)考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和問題．【命題規(guī)律】高考試題對(duì)該部分內(nèi)容考查的主要角度有：其一求數(shù)列的通項(xiàng)公式,其二數(shù)列求和，其三證明數(shù)列成等差數(shù)列或成等比數(shù)列．【理科】【答題模板】解答本類題目，以2017年試題為例，一般考慮如下三步:第一步：求數(shù)列的通項(xiàng)公式:本題從等比數(shù)列入手，由于，設(shè)公比為，表達(dá)出和，利用列方程求出，寫出的通項(xiàng)公式；第二步:求數(shù)列的通項(xiàng)公式：借助第一步的結(jié)果，由于數(shù)列成等差數(shù)列,設(shè)公差為，結(jié)合，解方程組求出和，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式．第三步：利用錯(cuò)位相減法求和：列出數(shù)列的前n項(xiàng)和，兩邊同乘以4，兩式相減后求和．【文科】【答題模板】解答本類題目,以2017年試題為例，一般考慮如下三步:第一步：求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式第二步：選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠛湾e(cuò)位相減求和第三步:下結(jié)論．【方法總結(jié)】1．?dāng)?shù)列中與的關(guān)系：an＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(S1,n＝1,,Sn－Sn－1，n≥2.))2．等差數(shù)列（1）等差數(shù)列的有關(guān)概念①定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號(hào)表示為為常數(shù)．②等差中項(xiàng)：數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件是,其中叫做的等差中項(xiàng)．(2）等差數(shù)列的有關(guān)公式①通項(xiàng)公式：．②前項(xiàng)和公式：．（3）等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．①通項(xiàng)公式的推廣：．②若，則．③若的公差為，則也是等差數(shù)列，公差為．④若是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列．⑤數(shù)列，…構(gòu)成等差數(shù)列．（4）．妙設(shè)等差數(shù)列中的項(xiàng)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間三項(xiàng)為；若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間兩項(xiàng)為，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元．（5）等差數(shù)列的四種判斷方法①定義法：為常數(shù)?是等差數(shù)列．②等差中項(xiàng)法:（n∈N＊）?是等差數(shù)列．③通項(xiàng)公式:（為常數(shù)）?是等差數(shù)列．④前n項(xiàng)和公式：（為常數(shù)）?是等差數(shù)列．3．等比數(shù)列（1）等比數(shù)列的有關(guān)概念①定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零），那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為．②等比中項(xiàng)如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?G2＝ab．“a，G，b成等比數(shù)列"是“G是a與b的等比中項(xiàng)"的充分不必要條件．（2)等比數(shù)列的有關(guān)公式①通項(xiàng)公式：．②前項(xiàng)和公式：；(3）等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列是等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)和．(m，n，p，q，r,k∈N＊）①若，則；②數(shù)列…仍是等比數(shù)列;③數(shù)列,…仍是等比數(shù)列（此時(shí)｛an｝的公比）．（4）等比數(shù)列的三種判定方法(1）定義:?是等比數(shù)列．（2）通項(xiàng)公式:均是不為零的常數(shù)，?是等比數(shù)列．(3)等比中項(xiàng)法：?是等比數(shù)列．（5)求解等比數(shù)列的基本量常用的思想方法①方程的思想：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中聯(lián)系著五個(gè)量：，已知其中三個(gè)量,可以通過解方程(組）求出另外兩個(gè)量；其中基本量是a1與q，在解題中根據(jù)已知條件建立關(guān)于a1與q的方程或者方程組，是解題的關(guān)鍵．②分類討論思想：在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須分類求和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在判斷等比數(shù)列單調(diào)性時(shí)，也必須對(duì)與分類討論．5．?dāng)?shù)列求和的常用方法（1）公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f（na1＋an,2）＝na1＋eq\f（nn－1,2)d;等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，\f（a1－anq,1－q)＝\f（a11－qn，1－q)，q≠1.））（2）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離"的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．(3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．(4）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和．(5）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法,分別求和而后相加減．（6）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝（－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，．1．【2018天津南開中學(xué)模擬】已知數(shù)列是首項(xiàng)的等差數(shù)列,設(shè)．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）在（2）的條件下，記，若對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】(1）證明見解析;(2）;(3）11．【解析】分析:（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得公差，進(jìn)而得到，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等比數(shù)列的定義，即可得證；（2)利用裂項(xiàng)相消法求和即可；(3）根據(jù)題意，求得，設(shè),判斷其為單調(diào)遞增，求得最小值，再（3）因?yàn)?，則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意正整數(shù)使不等式恒成立．設(shè)，則．所以，故的最小值是/．由，得整數(shù)可取最大值為11．【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有用定義證明等比數(shù)列，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，裂項(xiàng)相消法求和,恒成立問題求有關(guān)參數(shù)的取值范圍和最值問題，在解題的過程中，注意對(duì)公式的正確使用以及對(duì)問題的正確理解．2．【2018天津河西區(qū)模擬】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1）（2）由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得結(jié)論．詳解：（1)解:由題意得:,當(dāng)時(shí)，，時(shí),對(duì)上式也成立，∴．（2）解：，【名師點(diǎn)睛】已知數(shù)列前項(xiàng)和與第項(xiàng)關(guān)系，求數(shù)列通項(xiàng)公式，常用公式，將所給條件化為關(guān)于前項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第項(xiàng)的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式,在利用與通項(xiàng)的關(guān)系求的過程中，一定要注意的情況．3．【2018天津部分區(qū)二模】已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)依次成公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)依次成公差為4的等差數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1)；（2）．【解析】分析：(I）設(shè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的公比為,偶數(shù)項(xiàng)的公差為．由已知，，可得，為奇數(shù)時(shí)，,為偶數(shù)時(shí)，；

（II）由（1）知．為偶數(shù)時(shí)，,為奇數(shù)時(shí)，．詳解：（1）設(shè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的公比為,偶數(shù)項(xiàng)的公差為．由已知，得．∵，∴,解得為奇數(shù)時(shí)，，．【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，分類討論思想，難度較大．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．4．【2018天津部分區(qū)二?！恳阎獢?shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，且,，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1）（2）【解析】分析:（1）設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q，數(shù)列｛bn}的公差為d，由題意得:1+d=1+q,q2=2(1+2d)﹣6，解得：d=q=2，即可．（2）證明:因?yàn)閏n===，Tn=．即可得．詳解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列的公差為．由題意得，，解得，所以（2）證明:因?yàn)?所以【名師點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：（1）；(2）;（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤．5．【2018天津河?xùn)|區(qū)二?！恳阎缺葦?shù)列滿足條件，，．(1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】分析：第一問首先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到數(shù)列的首項(xiàng)和公比所滿足的條件，從而求得相關(guān)的值，得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式;第二問利用和與項(xiàng)的關(guān)系，得到，，再將時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證，得到,，之后應(yīng)用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和即可得結(jié)果．詳解:（1)設(shè)的通項(xiàng)公式為，由已知，，由已知,,,綜上，①②由①-②得到,【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和的問題，在求解的過程中，注意對(duì)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，得到題中的數(shù)列的首項(xiàng)和公比所滿足的條件,從而求得結(jié)果;再者就是利用和與項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)的時(shí)候，需要對(duì)首項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，需要明確步驟應(yīng)該怎么寫．6．【2018天津河北區(qū)二?！恳阎炔顢?shù)列｛}中，=1，且,，成等比數(shù)列．(I)求數(shù)列{｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和;（II）設(shè)，求數(shù)列{｝的前2n項(xiàng)和．【答案】(Ⅰ），(Ⅱ）【解析】分析:(Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列｛｝的公差為d,由題意可求得，故可得數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．（Ⅱ）由(Ⅰ）可得,故選用分組求和的方法將數(shù)列｛}的項(xiàng)分為計(jì)數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)兩部分后再求和．詳解：(I)設(shè)等差數(shù)列{｝的公差為d，∵，且，，成等比數(shù)列，∴,即，解得或．∴數(shù)列{}的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以8為首項(xiàng)，16為公比的等比數(shù)列．∴數(shù)列｛｝的前2n項(xiàng)的和．【名師點(diǎn)睛】（1）等差、等比數(shù)列的運(yùn)算中,要注意五個(gè)量之間的關(guān)系，根據(jù)條件得到方程（或方程組）,通過解方程（方程組）達(dá)到求解的目的．（2）數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若通項(xiàng)符合等差數(shù)列或等比數(shù)列,則直接用公式求和；若通項(xiàng)不符合等差或等比數(shù)列,需要通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比或可求數(shù)列前n項(xiàng)和的數(shù)列求解．當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)中含有或的字樣時(shí)，一般要分為n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況求解．7．【2018天津十二校二模】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：,（為常數(shù),，)．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；(Ⅱ）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值；(Ⅲ）在滿足條件(Ⅱ)的情形下，．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；(2）；(3）．詳解：（1)且數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列(2）由得，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列,所以，解得．（3）由（2）知【名師點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧:(1）；（2)；（3）；（4）;此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤．8．【2018天津?yàn)I海新區(qū)七校模擬】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足（)，數(shù)列滿足（)，且(1）證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1）,；(2）;(3)【解析】試題分析:（1）兩邊同除以，得，可求得．用公式，統(tǒng)一成，可求得．(2)由（1)，代入得，由并項(xiàng)求和可得．（3）由（1）由錯(cuò)位相減法可求得，代入可求．當(dāng)時(shí),，，兩式相減得，又,所以，從而數(shù)列為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）=(3）由（1）得，，所以恒成立，記，所以,因?yàn)?，從而?shù)列為遞增數(shù)列所以當(dāng)時(shí)，取最小值,于是．【名師點(diǎn)睛】本題考查知識(shí)較多，有遞推公式求通項(xiàng)公式,及通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和關(guān)系，裂項(xiàng)求和，并項(xiàng)求和，等差數(shù)列求和，錯(cuò)位相減法，數(shù)列與不等式交匯等，需要對(duì)數(shù)列基本知識(shí)，基本方法掌握非常好．9．【2018天津十二模擬一】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,，數(shù)列滿足，，且．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為的前項(xiàng)和，求．【答案】（1），;（2）．【解析】試題分析：（1）由，可推出，，結(jié)合，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再將兩邊同除以得，可推出數(shù)列為等差數(shù)列，從而可求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，利用分組求和，裂項(xiàng)相消法及錯(cuò)位相減法即可求出．的等差數(shù)列∴，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1)知∴【名師點(diǎn)睛】（1）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型（如)，符號(hào)型（如），周期型（如）；（2）用錯(cuò)位相減法求和的注意事項(xiàng)：①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；②在寫出“"與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊"以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式;③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．10．【2018天津十二模擬二】已知正項(xiàng)等比數(shù)列，等差數(shù)列滿足，且是與的等比中項(xiàng)．（1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1）；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù),是與的等比中項(xiàng)列出關(guān)于公比、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列與的的通項(xiàng)公式；（2)由（1)可知，所以，對(duì)分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，分別利用分組求和法，錯(cuò)位相減求和法，結(jié)合等差數(shù)列求和公式與等比數(shù)列求和公式求解即可．試題解析：（1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,等差數(shù)列的公差為由是與的等比中項(xiàng)可得：又，則：，解得或因?yàn)橹懈黜?xiàng)均為正數(shù)，所以,進(jìn)而．故．（2)設(shè)則②，由①—②得：，，因此，綜上：．11．【2018天津部分區(qū)期末考】已知為等差數(shù)列,且，其前8項(xiàng)和為52，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2)【解析】試題分析：（1）結(jié)合題意可求得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，由此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2）由（1）可得利用裂項(xiàng)求和可得，因此由題中的恒成立可得對(duì)任意正整數(shù)恒成立，然后根據(jù)可得結(jié)果．試題解析:（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，解得，所以．．所以，因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，都有成立，即對(duì)任意正整數(shù)恒成立，又，所以．故實(shí)數(shù)的取值范圍為．12．【2018天津一中期中考】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，且．（Ⅰ)求、的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ)見解析．【解析】分析:（Ⅰ）分別令就可以求得，．（Ⅱ)根據(jù)（Ⅰ）猜測(cè)，利用數(shù)學(xué)歸納可證明該猜測(cè)．②當(dāng)時(shí)，有，這說明當(dāng)時(shí),猜想也成立，結(jié)合①②，由歸納原理知，對(duì)任意,．【名師點(diǎn)睛】與自然數(shù)有關(guān)的問題,可以用數(shù)學(xué)歸納法，在歸納假設(shè)中，我們一般設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立，也可以假設(shè)時(shí)，命題成立，然后再證明,也成立．13．【2018天津?yàn)I海新區(qū)模擬】已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且（I）證明數(shù)列是