應(yīng)力分析與應(yīng)變分析課件

應(yīng)力分析與應(yīng)變分析§1.1應(yīng)力與點的應(yīng)力狀態(tài)§1.2點的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示§1.4應(yīng)力平衡微分方程§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.6點的應(yīng)變狀態(tài)§1.7應(yīng)變增量§1.8應(yīng)變速度張量§1.9主應(yīng)變圖與變形程度表示應(yīng)力分析與應(yīng)變分析§1.1應(yīng)力與點的應(yīng)力狀態(tài)1§1.1

應(yīng)力與點的應(yīng)力狀態(tài)外力(load)與內(nèi)力(internalforce)

外力P：施加在變形體上的外部載荷。

內(nèi)力Q：變形體抗衡外力機械作用的體現(xiàn)。

§1.1應(yīng)力與點的應(yīng)力狀態(tài)2應(yīng)力（stress）應(yīng)力S是內(nèi)力的集度內(nèi)力和應(yīng)力均為矢量應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2

1MPa=106N/m2應(yīng)力是某點A的坐標的函數(shù)，即受力體內(nèi)不同點的應(yīng)力不同。應(yīng)力是某點A在坐標系中的方向余弦的函數(shù)，即同一點不同方位的截面上的應(yīng)力是不同的。應(yīng)力（stress）3應(yīng)力可以進行分解Sn

n、n（n—normal,法向）

某截面（外法線方向為n）上的應(yīng)力：

或者（求和約定的縮寫形式）

全應(yīng)力(stress)正應(yīng)力(normalsress)剪應(yīng)力(shearstress)應(yīng)力可以進行分解Snn、n（n—norma4一點的應(yīng)力狀態(tài)：是指通過變形體內(nèi)某點的單元體所有截面上的應(yīng)力的有無、大小、方向等情況。一點的應(yīng)力狀態(tài)的描述：數(shù)值表達：x=50MPa，xz=35MPa圖示表達：在單元體的三個正交面上標出（如圖1-2）

張量表達：(i,j=x,y,z)

（對稱張量，9個分量，6個獨立分量。）一點的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量一點的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量5

應(yīng)力分量圖示圖1-2平行于坐標面上應(yīng)力示意圖

應(yīng)力分量圖示圖1-2平行于坐標面上應(yīng)力示意圖6應(yīng)力的分量表示及正負符號的規(guī)定ij

xx、xz……（便于計算機應(yīng)用）

i——應(yīng)力作用面的外法線方向(與應(yīng)力作用面的外法線方向平行的坐標軸)j——應(yīng)力分量本身作用的方向當i=j時為正應(yīng)力i、j同號為正（拉應(yīng)力），異號為負（壓應(yīng)力）當i≠j時為剪應(yīng)力i、j同號為正，異號為負

應(yīng)力的分量表示及正負符號的規(guī)定7應(yīng)力的坐標變換（例題講解）*

實際應(yīng)用：晶體取向、織構(gòu)分析等應(yīng)力莫爾圓**：

二維應(yīng)力莫爾圓與三維應(yīng)力莫爾圓掌握如何畫、如何分析（工程力學已學，看書）應(yīng)力的坐標變換（例題講解）*8§1.2點的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力§1.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力§1.2點的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不9

§1.2.1

主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量

設(shè)想并證明主應(yīng)力平面（其上只有正應(yīng)力，剪應(yīng)力均為零）的存在，可得應(yīng)力特征方程：

§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量10應(yīng)力不變量式中應(yīng)力不變量式中11討論：

1.可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的；2.三個主平面是相互正交的；3.三個主應(yīng)力均為實根，不可能為虛根；4.應(yīng)力特征方程的解是唯一的；5.對于給定的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力不變量也具有唯一性；6.應(yīng)力第一不變量I1反映變形體體積變形的劇烈程度，與塑性變形無關(guān)；I3也與塑性變形無關(guān)；I2與塑性變形無關(guān)。7.應(yīng)力不變量不隨坐標而改變，是點的確定性的判據(jù)。

討論：

1.可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的12主應(yīng)力的求解（略，見彭大暑《金屬塑性加工力學》教材）主應(yīng)力的圖示

主應(yīng)力的求解（略，見彭大暑《金屬塑性加工力學》教材）13§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力(principalshearstress)：極值剪應(yīng)力（不為零）平面上作用的剪應(yīng)力。主應(yīng)力空間的｛110｝面族。最大剪應(yīng)力(maximunshearstress)：

通常規(guī)定：則有最大剪應(yīng)力：或者：其中：且有：§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力通常規(guī)定：則有最大剪應(yīng)力：14§1.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力

即主應(yīng)力空間的｛111｝等傾面上的應(yīng)力。這組截面的方向余弦為：

正應(yīng)力剪應(yīng)力

總應(yīng)力八面體上的正應(yīng)力與塑性變形無關(guān)，剪應(yīng)力與塑性變形有關(guān)。§1.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力15八面體應(yīng)力的求解思路：因為八面體應(yīng)力的求解思路：因為16等效應(yīng)力

討論：1.等效的實質(zhì)？是（彈性）應(yīng)變能等效（相當于）。2.什么與什么等效？復雜應(yīng)力狀態(tài)（二維和三維）與簡單應(yīng)力狀態(tài)（一維）等效3.如何等效？等效公式（注意：等效應(yīng)力是標量，沒有作用面）。4.等效的意義？屈服的判別、變形能的計算、簡化問題的分析等。等效應(yīng)力17§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示

(i,j=x,y,z)其中即平均應(yīng)力，為柯氏符號。

即

§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示18討論：

分解的依據(jù)：靜水壓力實驗證實，靜水壓力不會引起變形體形狀的改變，只會引起體積改變，即對塑性條件無影響。為引起形狀改變的偏應(yīng)力張量(deviatoricstresstensor)，為引起體積改變的球張量(sphericalstresstensor)（靜水壓力）。與應(yīng)力張量類似，偏應(yīng)力張量也存在相應(yīng)的不變量：

（體現(xiàn)變形體形狀改變的程度）討論：（體現(xiàn)變形體形狀改變的程度）19§1.4應(yīng)力平衡微分方程直角坐標下的應(yīng)力平衡微分方程*

即（不計體力）

物理意義：表示變形體內(nèi)無限相鄰兩質(zhì)點的點的應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系。對彈性變形和塑性變形均適用?！?.4應(yīng)力平衡微分方程的關(guān)系。對彈性變形和塑性變形均適用20

推導原理：靜力平衡條件：

靜力矩平衡條件：泰勒級數(shù)展開：

推導原理：21圓柱坐標下的應(yīng)力平衡微分方程

球坐標下的應(yīng)力平衡微分方程？

圓柱坐標下的應(yīng)力平衡微分方程22§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.5.1幾何方程§1.5.2變形連續(xù)方程§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.5.1幾何方程23

§1.5.1

幾何方程

§1.5.1幾何方程24討論：1.物理意義：表示位移(displacement)與應(yīng)變(strain)之間的關(guān)系；2.位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點的相對位移（產(chǎn)生應(yīng)變）和變形體的剛性位移（平動和轉(zhuǎn)動）；3.工程剪應(yīng)變理論剪應(yīng)變：

討論：254.應(yīng)變符號規(guī)定：正應(yīng)變或線應(yīng)變()：伸長為正，縮短為負；剪應(yīng)變或切應(yīng)變（）：夾角減小為正，增大為負；5.推導中應(yīng)用到小變形假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)及泰勒級數(shù)展開等。4.應(yīng)變符號規(guī)定：26§1.5.2變形連續(xù)方程§1.5.2變形連續(xù)方程27討論：

1.物理意義：表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂，不堆積；2.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說明：同一平面上的三個應(yīng)變分量中有兩個確定，則第三個也就能確定；在三維空間內(nèi)三個切應(yīng)變分量如果確定，則正應(yīng)變分量也就可以確定；3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，則必須校驗其是否滿足連續(xù)性條件。討論：28§1.6

點的應(yīng)變狀態(tài)

指圍繞該點截取的無限小單元體的各棱長及棱間夾角的變化情況?？杀硎緸閺埩啃问剑?/p>

應(yīng)變張量（straintensor）也可進行與應(yīng)力張量類似的分析。(i,j=x,y,z)§1.6點的應(yīng)變狀態(tài)(i,j=x,y,z)29§1.7應(yīng)變增量

全量應(yīng)變與增量應(yīng)變的概念前面所討論的應(yīng)變是反映單元體在某一變形過程終了時的變形大小，稱作全量應(yīng)變增量應(yīng)變張量§1.7應(yīng)變增量

全量應(yīng)變與增量應(yīng)變的概念30§1.8應(yīng)變速度張量設(shè)某一瞬間起dt時間內(nèi)，產(chǎn)生位移增量dUi，則應(yīng)有dUi=Vidt。其中Vi為相應(yīng)位移速度。代入增量應(yīng)變張量，有：令即為應(yīng)變速率張量§1.8應(yīng)變速度張量設(shè)某一瞬間起dt時間內(nèi)，產(chǎn)生位移31§1.9主應(yīng)變圖與變形程度表示主變形圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主變形圖只可能有三種形式§1.9主應(yīng)變圖與變形程度表示主變形圖是定性判斷塑性變形類32主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示：主應(yīng)力—9種；主應(yīng)變—3種[但只有23種可能的應(yīng)力應(yīng)變組合（塑性變形力學圖），為什么？]主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示：33變形程度表示絕對變形量——指工件變形前后主軸方向上尺寸的變化量相對變形——指絕對變形量與原始尺寸的比值，常稱為形變率真實變形量——即變形前后尺寸比值的自然對數(shù)變形程度表示絕對變形量34應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似

應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性35

差異性：概念：應(yīng)力研究面元ds上力的集度應(yīng)變研究線元dl的變化情況內(nèi)部關(guān)系：應(yīng)力—應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)變—應(yīng)變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程彈性變形：相容方程塑性變形：體積不變條件

差異性：36等效關(guān)系：等效應(yīng)力—彈性變形和塑性變形表達式相同等效應(yīng)變—彈性變形和塑性變形表達式不相同對于彈性變形：（——泊松比）對于塑性變形：等效關(guān)系：37應(yīng)力分析與應(yīng)變分析§1.1應(yīng)力與點的應(yīng)力狀態(tài)§1.2點的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示§1.4應(yīng)力平衡微分方程§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.6點的應(yīng)變狀態(tài)§1.7應(yīng)變增量§1.8應(yīng)變速度張量§1.9主應(yīng)變圖與變形程度表示應(yīng)力分析與應(yīng)變分析§1.1應(yīng)力與點的應(yīng)力狀態(tài)38§1.1

應(yīng)力與點的應(yīng)力狀態(tài)外力(load)與內(nèi)力(internalforce)

外力P：施加在變形體上的外部載荷。

內(nèi)力Q：變形體抗衡外力機械作用的體現(xiàn)。

§1.1應(yīng)力與點的應(yīng)力狀態(tài)39應(yīng)力（stress）應(yīng)力S是內(nèi)力的集度內(nèi)力和應(yīng)力均為矢量應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2

1MPa=106N/m2應(yīng)力是某點A的坐標的函數(shù)，即受力體內(nèi)不同點的應(yīng)力不同。應(yīng)力是某點A在坐標系中的方向余弦的函數(shù)，即同一點不同方位的截面上的應(yīng)力是不同的。應(yīng)力（stress）40應(yīng)力可以進行分解Sn

n、n（n—normal,法向）

某截面（外法線方向為n）上的應(yīng)力：

或者（求和約定的縮寫形式）

全應(yīng)力(stress)正應(yīng)力(normalsress)剪應(yīng)力(shearstress)應(yīng)力可以進行分解Snn、n（n—norma41一點的應(yīng)力狀態(tài)：是指通過變形體內(nèi)某點的單元體所有截面上的應(yīng)力的有無、大小、方向等情況。一點的應(yīng)力狀態(tài)的描述：數(shù)值表達：x=50MPa，xz=35MPa圖示表達：在單元體的三個正交面上標出（如圖1-2）

張量表達：(i,j=x,y,z)

（對稱張量，9個分量，6個獨立分量。）一點的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量一點的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量42

應(yīng)力分量圖示圖1-2平行于坐標面上應(yīng)力示意圖

應(yīng)力分量圖示圖1-2平行于坐標面上應(yīng)力示意圖43應(yīng)力的分量表示及正負符號的規(guī)定ij

xx、xz……（便于計算機應(yīng)用）

i——應(yīng)力作用面的外法線方向(與應(yīng)力作用面的外法線方向平行的坐標軸)j——應(yīng)力分量本身作用的方向當i=j時為正應(yīng)力i、j同號為正（拉應(yīng)力），異號為負（壓應(yīng)力）當i≠j時為剪應(yīng)力i、j同號為正，異號為負

應(yīng)力的分量表示及正負符號的規(guī)定44應(yīng)力的坐標變換（例題講解）*

實際應(yīng)用：晶體取向、織構(gòu)分析等應(yīng)力莫爾圓**：

二維應(yīng)力莫爾圓與三維應(yīng)力莫爾圓掌握如何畫、如何分析（工程力學已學，看書）應(yīng)力的坐標變換（例題講解）*45§1.2點的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力§1.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力§1.2點的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不46

§1.2.1

主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量

設(shè)想并證明主應(yīng)力平面（其上只有正應(yīng)力，剪應(yīng)力均為零）的存在，可得應(yīng)力特征方程：

§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量47應(yīng)力不變量式中應(yīng)力不變量式中48討論：

1.可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的；2.三個主平面是相互正交的；3.三個主應(yīng)力均為實根，不可能為虛根；4.應(yīng)力特征方程的解是唯一的；5.對于給定的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力不變量也具有唯一性；6.應(yīng)力第一不變量I1反映變形體體積變形的劇烈程度，與塑性變形無關(guān)；I3也與塑性變形無關(guān)；I2與塑性變形無關(guān)。7.應(yīng)力不變量不隨坐標而改變，是點的確定性的判據(jù)。

討論：

1.可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的49主應(yīng)力的求解（略，見彭大暑《金屬塑性加工力學》教材）主應(yīng)力的圖示

主應(yīng)力的求解（略，見彭大暑《金屬塑性加工力學》教材）50§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力(principalshearstress)：極值剪應(yīng)力（不為零）平面上作用的剪應(yīng)力。主應(yīng)力空間的｛110｝面族。最大剪應(yīng)力(maximunshearstress)：

通常規(guī)定：則有最大剪應(yīng)力：或者：其中：且有：§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力通常規(guī)定：則有最大剪應(yīng)力：51§1.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力

即主應(yīng)力空間的｛111｝等傾面上的應(yīng)力。這組截面的方向余弦為：

正應(yīng)力剪應(yīng)力

總應(yīng)力八面體上的正應(yīng)力與塑性變形無關(guān)，剪應(yīng)力與塑性變形有關(guān)?！?.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力52八面體應(yīng)力的求解思路：因為八面體應(yīng)力的求解思路：因為53等效應(yīng)力

討論：1.等效的實質(zhì)？是（彈性）應(yīng)變能等效（相當于）。2.什么與什么等效？復雜應(yīng)力狀態(tài)（二維和三維）與簡單應(yīng)力狀態(tài)（一維）等效3.如何等效？等效公式（注意：等效應(yīng)力是標量，沒有作用面）。4.等效的意義？屈服的判別、變形能的計算、簡化問題的分析等。等效應(yīng)力54§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示

(i,j=x,y,z)其中即平均應(yīng)力，為柯氏符號。

即

§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示55討論：

分解的依據(jù)：靜水壓力實驗證實，靜水壓力不會引起變形體形狀的改變，只會引起體積改變，即對塑性條件無影響。為引起形狀改變的偏應(yīng)力張量(deviatoricstresstensor)，為引起體積改變的球張量(sphericalstresstensor)（靜水壓力）。與應(yīng)力張量類似，偏應(yīng)力張量也存在相應(yīng)的不變量：

（體現(xiàn)變形體形狀改變的程度）討論：（體現(xiàn)變形體形狀改變的程度）56§1.4應(yīng)力平衡微分方程直角坐標下的應(yīng)力平衡微分方程*

即（不計體力）

物理意義：表示變形體內(nèi)無限相鄰兩質(zhì)點的點的應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系。對彈性變形和塑性變形均適用?！?.4應(yīng)力平衡微分方程的關(guān)系。對彈性變形和塑性變形均適用57

推導原理：靜力平衡條件：

靜力矩平衡條件：泰勒級數(shù)展開：

推導原理：58圓柱坐標下的應(yīng)力平衡微分方程

球坐標下的應(yīng)力平衡微分方程？

圓柱坐標下的應(yīng)力平衡微分方程59§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.5.1幾何方程§1.5.2變形連續(xù)方程§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.5.1幾何方程60

§1.5.1

幾何方程

§1.5.1幾何方程61討論：1.物理意義：表示位移(displacement)與應(yīng)變(strain)之間的關(guān)系；2.位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點的相對位移（產(chǎn)生應(yīng)變）和變形體的剛性位移（平動和轉(zhuǎn)動）；3.工程剪應(yīng)變理論剪應(yīng)變：

討論：624.應(yīng)變符號規(guī)定：正應(yīng)變或線應(yīng)變()：伸長為正，縮短為負；剪應(yīng)變或切應(yīng)變（）：夾角減小為正，增大為負；5.推導中應(yīng)用到小變形假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)及泰勒級數(shù)展開等。4.應(yīng)變符號規(guī)定：63§1.5.2變形連續(xù)方程§1.5.2變形連續(xù)方程64討論：

1.物理意義：表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂，不堆積；2.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說明：同一平面上的三個應(yīng)變分量中有兩個確定，則第三個也就能確定；在三維空間內(nèi)三個切應(yīng)變分量如果確定，則正應(yīng)變分量也就可以確定；3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，則必須校驗其是否滿足連續(xù)性條件。討論：65§1.6