《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)講座》課件

數(shù)學(xué)教育哲學(xué)講座

周根龍2007年7月數(shù)學(xué)教育哲學(xué)講座周根龍2007年7月1一、引言

兩千多年來(lái)，數(shù)學(xué)一直處在絕對(duì)主義范式的統(tǒng)治下，這種認(rèn)識(shí)范式視數(shù)學(xué)本體上是不可誤的、數(shù)學(xué)是客觀真理、且數(shù)學(xué)遠(yuǎn)離人類事務(wù)和價(jià)值。

當(dāng)今越來(lái)越多的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家對(duì)此提出了異議，如Laktaos(1976)、Davis與Hersh(1980)、Tymoczko(1986),他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是可誤的，像其它知識(shí)一樣，數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造的產(chǎn)物。

一、引言兩千多年來(lái)，數(shù)學(xué)一直處在絕對(duì)主義范式的統(tǒng)2這一變化的意義（放棄數(shù)學(xué)的可靠性）：

●導(dǎo)致人類根本沒(méi)有可靠的結(jié)論；

●放棄數(shù)學(xué)與生俱來(lái)的偽安全性；

●若數(shù)學(xué)是不可誤的客觀知識(shí)，則數(shù)學(xué)不必承擔(dān)任何社會(huì)責(zé)任；

●若數(shù)學(xué)是可誤的社會(huì)建構(gòu)，則數(shù)學(xué)就是一個(gè)探究和認(rèn)識(shí)的過(guò)程，是人類不斷創(chuàng)造和發(fā)明的廣闊天地，是不會(huì)終結(jié)的產(chǎn)物。

這一變化的意義（放棄數(shù)學(xué)的可靠性）：●導(dǎo)致人類根本沒(méi)有可靠3如此動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀對(duì)教育的影響舉足輕重：

●數(shù)學(xué)教學(xué)的目的應(yīng)包括使學(xué)生獲得自我創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)的能力；

●數(shù)學(xué)至少在學(xué)校要更新形式，以便所有社會(huì)群體易于接受其概念，并容易得到由它帶來(lái)的財(cái)富和權(quán)利；

●再不可理所當(dāng)然地把數(shù)學(xué)活動(dòng)及其應(yīng)用的涵義置之一邊，而對(duì)數(shù)學(xué)的潛在價(jià)值作出深入的分析。

如此動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀對(duì)教育的影響舉足輕重：●數(shù)學(xué)教學(xué)的目的應(yīng)包4在教學(xué)領(lǐng)域與數(shù)學(xué)觀相聯(lián)系的一些基本問(wèn)題：

學(xué)習(xí)的本質(zhì)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)由哪些哲學(xué)假說(shuō)或可能隱含的假說(shuō)所構(gòu)成？應(yīng)采納何種認(rèn)識(shí)論和學(xué)習(xí)論？

教育目的：數(shù)學(xué)教育的目的是什么？誰(shuí)提出的目的？為誰(shuí)提出的目的？建立在什么價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)上的目的？這個(gè)目的使誰(shuí)受益，誰(shuí)受損？數(shù)學(xué)的本質(zhì)：數(shù)學(xué)教學(xué)依據(jù)什么哲學(xué)假說(shuō)或可能的隱含假說(shuō)？這些假說(shuō)可靠嗎？為達(dá)到數(shù)學(xué)教育目的應(yīng)采取何種方法？這些方法和目的一致嗎？

在教學(xué)領(lǐng)域與數(shù)學(xué)觀相聯(lián)系的一些基本問(wèn)題：學(xué)習(xí)的本質(zhì)：數(shù)學(xué)學(xué)5事實(shí)上，無(wú)論人們的意愿如何，一切數(shù)學(xué)教學(xué)法根本上都出于某一數(shù)學(xué)哲學(xué)，即便是很不規(guī)范的教學(xué)法也如此。（Thom,1971）問(wèn)題并不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么。┄┄如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題，便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭(zhēng)議。（Hersh,1979）教師專業(yè)數(shù)學(xué)思想的形成與他們表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的典型方式存在著一致性，這有力說(shuō)明了教師的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)信仰和愛(ài)好的確影響著他們的教學(xué)活動(dòng)。

事實(shí)上，無(wú)論人們的意愿如何，一切數(shù)學(xué)教學(xué)法根6二、絕對(duì)主義觀和可誤主義觀

數(shù)學(xué)哲學(xué)是哲學(xué)的一個(gè)分支。它的任務(wù)是反思并解釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

數(shù)學(xué)知識(shí)是由具有證明的一組命題所構(gòu)成的，由于數(shù)學(xué)證明僅依據(jù)推理而不求助于經(jīng)驗(yàn)材料，因此認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)是所有知識(shí)中最為可靠的知識(shí)。

數(shù)學(xué)哲學(xué)傳統(tǒng)上把自己的任務(wù)看作為數(shù)學(xué)知識(shí)的可靠性提供基礎(chǔ)，即構(gòu)建一個(gè)系統(tǒng)。在這系統(tǒng)中能夠編排數(shù)學(xué)知識(shí)從而能系統(tǒng)地建立起數(shù)學(xué)的真理性。

二、絕對(duì)主義觀和可誤主義觀數(shù)學(xué)哲學(xué)是哲學(xué)的一個(gè)分支7這樣做取決于或明或暗地廣泛承認(rèn)的下列假設(shè)：

數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù)是為數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以說(shuō)是為了數(shù)學(xué)真理奠定一個(gè)系統(tǒng)的并且絕對(duì)可靠的基礎(chǔ)。這個(gè)假設(shè)是基礎(chǔ)主義的依據(jù)，也就是這樣一個(gè)信條：數(shù)學(xué)哲學(xué)的作用是否為數(shù)學(xué)知識(shí)奠定可靠的基礎(chǔ)?；A(chǔ)主義與數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)觀密切相關(guān)，因?yàn)榛A(chǔ)主義把驗(yàn)證數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)性這一任務(wù)視為數(shù)學(xué)哲學(xué)的中心任務(wù)。這樣做取決于或明或暗地廣泛承認(rèn)的下列假設(shè)：81.數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)

傳統(tǒng)上，數(shù)學(xué)知識(shí)一直作為可靠知識(shí)的范式。Newton的《原理》和Spinozn的《倫理學(xué)》都采用了Euclid的《幾何原本》的形式（公理化思想）。長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)一直作為人類所知的最可靠知識(shí)的源泉。知識(shí)的本質(zhì)是什么？

其哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)答案是，知識(shí)是已判定為合理的信念。

更準(zhǔn)確地說(shuō)，命題型知識(shí)由得到承認(rèn)（即得到相信）的命題所組成，并有充分根據(jù)判定這些命題。

1.數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)傳統(tǒng)上，數(shù)學(xué)知識(shí)一直作為可靠知識(shí)9知識(shí)可以按照對(duì)它進(jìn)行論證的依據(jù)進(jìn)行分類。先驗(yàn)知識(shí)由僅僅根據(jù)推理而判定的那些命題所組成，而不依賴于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的觀察。

數(shù)學(xué)知識(shí)屬于先驗(yàn)知識(shí)，因?yàn)樗挥苫谕评矶鴶喽ǖ拿}所組成。

推理包括演繹邏輯和所用的定義，連同我們所假定的數(shù)學(xué)公理或公設(shè)，構(gòu)成了推斷數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。因此數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，即確定數(shù)學(xué)命題真理性的依據(jù)，是由演繹證明所組成的。知識(shí)可以按照對(duì)它進(jìn)行論證的依據(jù)進(jìn)行分類。先驗(yàn)10

數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，即確定數(shù)學(xué)命題真理性的依據(jù)，是由演繹證明所組成的。在證明中往往用到兩種類型的假設(shè)：數(shù)學(xué)的和邏輯的。

邏輯假設(shè)即推理規(guī)則（整個(gè)證明理論的一部分）和邏輯句法，被認(rèn)為是邏輯的基本組成部分，也是推理運(yùn)用過(guò)程的組成部分。因此我們認(rèn)為，邏輯毫無(wú)疑問(wèn)是知識(shí)判定的依據(jù)。

數(shù)學(xué)假設(shè)即數(shù)學(xué)公理或公設(shè)，是數(shù)學(xué)證明依賴的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，即確定數(shù)學(xué)命題真理性的依據(jù)，11數(shù)學(xué)假設(shè)的合理性又由誰(shuí)來(lái)保證呢？

事實(shí)上，非歐幾何證明了，Euclid公理和平行公設(shè)被人們不再看作是基本的或無(wú)可爭(zhēng)辯的真理，不再認(rèn)為任何這種真理之一遭否定或拒絕時(shí)都會(huì)引起矛盾?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)包括了很多依賴于公理系假設(shè)的分支學(xué)科，而這些公理不可看作為基本的普遍真理，如群論公理或集合論公理。數(shù)學(xué)假設(shè)的合理性又由誰(shuí)來(lái)保證呢？事實(shí)上，非歐幾何證122.數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義觀

絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀：

認(rèn)為數(shù)學(xué)真理是絕對(duì)可靠的,數(shù)學(xué)是一種而且也許是唯一的一種確定的、不容置疑的客觀知識(shí)領(lǐng)域。2.數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義觀絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀：認(rèn)為數(shù)學(xué)13演繹法為數(shù)學(xué)知識(shí)的斷定提供了保證。

斷定數(shù)學(xué)（和邏輯）提供絕對(duì)可靠知識(shí)即真理的依據(jù)如下：

首先，證明中的基本陳述視其為真，數(shù)學(xué)公理假定為真，以便這樣考慮使系統(tǒng)得到發(fā)展，數(shù)學(xué)定義令其為真，邏輯公理認(rèn)其為真。

其次，邏輯推理規(guī)則保持著真理性，即只承認(rèn)由真理推導(dǎo)出來(lái)真理。演繹法為數(shù)學(xué)知識(shí)的斷定提供了保證。斷定數(shù)學(xué)（和邏輯14

這種數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義觀是建立在以下兩種假設(shè)基礎(chǔ)上：涉及公理和定義假設(shè)的數(shù)學(xué)假設(shè)，以及涉及公理假設(shè)、推理規(guī)則和形式語(yǔ)言及其句法的邏輯假設(shè)。羅素悖論

Russel通過(guò)定義“不是自身的一個(gè)元素”這一特性，提出了這個(gè)悖論。Frege規(guī)則允許這一特性的外延作為一個(gè)集合。但這樣一來(lái)，這個(gè)集合是自身的一個(gè)元素當(dāng)且僅當(dāng)它不是自身的一個(gè)元素，這就是一個(gè)矛盾。這種數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義觀是建立在以下兩種假設(shè)羅素悖論15

這些矛盾的發(fā)現(xiàn)自然對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義觀是潛在的致命威脅。

如果數(shù)學(xué)是可靠的，則它的所有定理都是可靠的，那么它的理論怎么會(huì)出現(xiàn)矛盾呢？

既然這虛張聲勢(shì)矛盾的出現(xiàn)并無(wú)錯(cuò)誤，那么必定在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中出現(xiàn)了問(wèn)題。

這些危機(jī)帶來(lái)的結(jié)果是，數(shù)學(xué)哲學(xué)的一些學(xué)派發(fā)展起來(lái)，其目的是解釋數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)并重建它們的可靠性。三大學(xué)派分別是邏輯主義、形式主義、構(gòu)造主義（直覺(jué)主義）。這些矛盾的發(fā)現(xiàn)自然對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義如果數(shù)16A．邏輯主義

邏輯主義是把純數(shù)學(xué)作為邏輯基本構(gòu)成成分的思想學(xué)派。主要倡導(dǎo)者有Leibniz、Frege、Russel等人。

Russel的觀點(diǎn)最為顯明。主要有兩個(gè)論點(diǎn)：（1）所有數(shù)學(xué)概念最終都可以歸結(jié)為邏輯概念；（2）所有數(shù)學(xué)真理都可以單作憑公理和邏輯推演規(guī)則得到證明。A．邏輯主義邏輯主義是把純數(shù)學(xué)作為邏輯基本構(gòu)成成分17

Russel等人（1910-1913）用一系列的定義確立了上述第一論點(diǎn)，但是在第二點(diǎn)上失敗了。數(shù)學(xué)需要非邏輯公理如無(wú)窮公理（所有自然數(shù)的集合都是無(wú)窮的）和選擇公理。

因此不是所有的數(shù)學(xué)定理（真理）都能單純從邏輯公理導(dǎo)出。許多重要的數(shù)學(xué)公理確實(shí)是獨(dú)立的，并且無(wú)論采用這些公理還是否定這些公理都不會(huì)引起矛盾。

后來(lái)邏輯主義想了許多方法來(lái)改進(jìn)，但后來(lái)都失敗了，因此把數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性歸結(jié)為邏輯的確定性這一邏輯主義綱領(lǐng)已在原則上失敗了。邏輯不能為數(shù)學(xué)知識(shí)提供可靠的基礎(chǔ)。Russel等人（1910-1913）用一系列的18B．形式主義

通俗地說(shuō)，形式主義是如下觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)是按規(guī)則在紙上用符號(hào)所做的一種無(wú)意義的形式游戲。

Hilbert的形式主義綱領(lǐng)旨在把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為不予解釋的形式系統(tǒng)。

Hilbert借助一種有限制然而有意義的元數(shù)學(xué)，通過(guò)導(dǎo)出所有數(shù)學(xué)真理的形式的對(duì)應(yīng)產(chǎn)物來(lái)說(shuō)明他的形式系統(tǒng)適合于數(shù)學(xué)，并通過(guò)相容性證明說(shuō)明該形式系統(tǒng)對(duì)數(shù)學(xué)是可靠的。B．形式主義通俗地說(shuō)，形式主義是如下觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)是按19

但Godel的不完全理論（1931）證明了這是一個(gè)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的綱領(lǐng)。

其第一個(gè)定理證明了甚至不是所有算術(shù)定理都能由Peano公理（或任意一個(gè)更大的遞歸公理系統(tǒng)）導(dǎo)出。

第二個(gè)定理證明了對(duì)所要研究的系統(tǒng)而言，證明其相容性需要比維持系統(tǒng)的“自我完善”更強(qiáng)的元數(shù)學(xué)，所以也就根本無(wú)所謂系統(tǒng)的“自我完整”可言。(形式系統(tǒng)無(wú)法保證自身的可靠性)但Godel的不完全理論（1931）證明了這是一個(gè)20C．構(gòu)造主義

構(gòu)造主義綱領(lǐng)是數(shù)學(xué)知識(shí)的一種重建（數(shù)學(xué)活動(dòng)的改革），以防止數(shù)學(xué)意義的喪失或陷入矛盾。最著名的構(gòu)造主義者是直覺(jué)主義者Brouwer.

持構(gòu)造主義觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)家的共同觀點(diǎn)是，經(jīng)典數(shù)學(xué)或許靠不住，需要用“構(gòu)造”的方法和推理重建數(shù)學(xué)。

他們主張數(shù)學(xué)真理和數(shù)學(xué)對(duì)象的存在性這兩者都必須由構(gòu)造的方法加以確定。這即是說(shuō)，證實(shí)真理性和存在性，就需要數(shù)學(xué)地加以改造。這和利用矛盾加以證明的反證法相對(duì)立（他們也不承認(rèn)邏輯上的排中律）。C．構(gòu)造主義構(gòu)造主義綱領(lǐng)是數(shù)學(xué)知識(shí)的一種重建（數(shù)學(xué)21

對(duì)于構(gòu)造主義者來(lái)說(shuō)，知識(shí)必須通過(guò)構(gòu)造主義邏輯的構(gòu)造性證明加以確立。數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)或?qū)ο蟮囊饬x應(yīng)通過(guò)這一形式過(guò)程，使得數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)或?qū)ο蟮靡詷?gòu)造出來(lái)。

直覺(jué)主義是構(gòu)造主義的代表。其不僅無(wú)法解釋非構(gòu)造性經(jīng)典數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，而且否定它的有效性。既沒(méi)有證實(shí)經(jīng)典數(shù)學(xué)所面臨的無(wú)法回避的問(wèn)題，也沒(méi)有說(shuō)明經(jīng)典數(shù)學(xué)的非協(xié)調(diào)性和非真實(shí)性。事實(shí)上，其綱領(lǐng)提出后，經(jīng)典的純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)的走勢(shì)越來(lái)越強(qiáng)，因此直覺(jué)主義遭到人們的拒絕。對(duì)于構(gòu)造主義者來(lái)說(shuō)，知識(shí)必須通過(guò)構(gòu)造主義邏輯223．可誤主義觀

可誤主義觀：數(shù)學(xué)真理是可誤的且是可以糾正的，決不能把數(shù)學(xué)知識(shí)看作是不能糾正或更改的真理。反面的表達(dá)形式：

數(shù)學(xué)知識(shí)不是絕對(duì)真理，它沒(méi)有絕對(duì)有效性。

正面的表達(dá)形式：

數(shù)學(xué)知識(shí)中可糾正的且永遠(yuǎn)要接受更正。其代表人物是Lakatos。

3．可誤主義觀可誤主義觀：數(shù)學(xué)真理是可誤的且是可以23三、數(shù)學(xué)哲學(xué)的重新認(rèn)識(shí)

上面我們是在這樣的假設(shè)下進(jìn)行思考的：數(shù)學(xué)知識(shí)是一組附有證明的命題形式的真理，而數(shù)學(xué)哲學(xué)的功能就是建立這種知識(shí)的可靠性。當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)這一假設(shè)站不住腳時(shí)，就不得不重新考慮數(shù)學(xué)哲學(xué)的本質(zhì)。什么是數(shù)學(xué)哲學(xué)的功能和范圍呢？

數(shù)學(xué)哲學(xué)不應(yīng)僅考慮其“內(nèi)在問(wèn)題”，而應(yīng)把數(shù)學(xué)放在人類思想和人類歷史的大背景中來(lái)考慮。數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)該全面考慮人類創(chuàng)造知識(shí)的環(huán)境和數(shù)學(xué)的歷史根源。

如果認(rèn)識(shí)論僅注重單一靜態(tài)的知識(shí)形式，而忽略知識(shí)發(fā)展的動(dòng)態(tài)，那么它就不能恰當(dāng)?shù)亟忉屩R(shí)。三、數(shù)學(xué)哲學(xué)的重新認(rèn)識(shí)上面我們是在這樣的假設(shè)下進(jìn)24絕對(duì)主義觀和可誤主義觀比較絕對(duì)主義觀：注重終結(jié)的或展現(xiàn)了的知識(shí)，以及知識(shí)的基礎(chǔ)和判定；把知識(shí)看作一種客觀成果的知識(shí)，常根本否定涉及知識(shí)發(fā)生的哲學(xué)合理性，并把知識(shí)發(fā)生問(wèn)題推給心理學(xué)和社會(huì)科學(xué)（構(gòu)造主義除外）?？烧`主義觀：注重知識(shí)發(fā)生和人類對(duì)創(chuàng)造知識(shí)的貢獻(xiàn)；能認(rèn)識(shí)到出錯(cuò)在數(shù)學(xué)中的作用。絕對(duì)主義觀和可誤主義觀比較絕對(duì)主義觀：注重終結(jié)的或展現(xiàn)了的知25絕對(duì)主義觀：

數(shù)學(xué)（連同邏輯）占有作為唯一可靠知識(shí)領(lǐng)域的地位，數(shù)學(xué)只依賴嚴(yán)格的證明，同時(shí)還否認(rèn)數(shù)學(xué)與歷史、知識(shí)發(fā)生以及人類環(huán)境條件相關(guān)的內(nèi)在聯(lián)系，這一切助長(zhǎng)了把數(shù)學(xué)當(dāng)作單獨(dú)的分離學(xué)科的觀點(diǎn)?？烧`主義觀：

可誤主義把更多的內(nèi)容納入了數(shù)學(xué)哲學(xué)的范圍。由于數(shù)學(xué)是可誤的，因此認(rèn)為數(shù)學(xué)絕不能與物理學(xué)及其他科學(xué)的經(jīng)驗(yàn)（因而是可誤的）知識(shí)相分離?？烧`主義注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生及結(jié)果，從而把數(shù)學(xué)看作是歷史及人類實(shí)踐的組成部分。數(shù)學(xué)不能脫離人類學(xué)和社會(huì)科學(xué)，或者一般地看作人類文化的一部分。數(shù)學(xué)與人類的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)相關(guān)，是其不可分割的一部分。絕對(duì)主義觀：數(shù)學(xué)（連同邏輯）占有作為唯一可靠知識(shí)領(lǐng)26絕對(duì)主義觀：數(shù)學(xué)是客觀存在，無(wú)所謂價(jià)值，僅涉及數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在邏輯。僅從數(shù)學(xué)內(nèi)部考慮問(wèn)題，因此把數(shù)學(xué)當(dāng)作是客觀的、絕對(duì)超道德的人性價(jià)值的知識(shí)。

可誤主義觀：

數(shù)學(xué)充滿著像其他知識(shí)領(lǐng)域或人類奮斗一樣的人性價(jià)值。通過(guò)數(shù)學(xué)歷史和社會(huì)淵源，把數(shù)學(xué)與其他人類聯(lián)系在一起，認(rèn)為數(shù)學(xué)賦有價(jià)值，充滿道德價(jià)值和社會(huì)價(jià)值，這些價(jià)值在數(shù)學(xué)應(yīng)用和發(fā)展中發(fā)揮著重要作用。絕對(duì)主義觀：數(shù)學(xué)是客觀存在，無(wú)所謂價(jià)值，僅27數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)解釋（1）數(shù)學(xué)知識(shí)（它的本質(zhì)、判定和生成）；一種合適的數(shù)學(xué)哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)：過(guò)去對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)是研究數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯基礎(chǔ)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)掩蓋了數(shù)學(xué)哲學(xué)的上述任務(wù)。（2）數(shù)學(xué)對(duì)象（它們的本質(zhì)和根源）；（3）數(shù)學(xué)應(yīng)用（在科學(xué)、技術(shù)和其他領(lǐng)域中數(shù)學(xué)的有效性）；（4）數(shù)學(xué)實(shí)踐（數(shù)學(xué)家的活動(dòng)：現(xiàn)在的和過(guò)去的）。數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)解釋一種合適的數(shù)學(xué)哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)：過(guò)去對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)28運(yùn)用新標(biāo)準(zhǔn)對(duì)各哲學(xué)學(xué)派作進(jìn)一步分析：A絕對(duì)主義學(xué)派

他們的任務(wù)本應(yīng)解釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)，包括解釋諸如數(shù)學(xué)運(yùn)用和數(shù)學(xué)生成等外在的社會(huì)及歷史因素。由于三大學(xué)派狹隘、排他的固有偏見(jiàn)，因而他們不可能以寬廣的思路去構(gòu)想并表達(dá)數(shù)學(xué)（直覺(jué)主義可能除外）。他們不僅不能達(dá)到自己選擇的基礎(chǔ)主義的目標(biāo)，而且即使達(dá)到了，其數(shù)學(xué)哲學(xué)對(duì)于新標(biāo)準(zhǔn)來(lái)說(shuō)仍是不夠恰當(dāng)?shù)摹?/p>

運(yùn)用新標(biāo)準(zhǔn)對(duì)各哲學(xué)學(xué)派作進(jìn)一步分析：A絕對(duì)主義學(xué)派29B進(jìn)步絕對(duì)主義（相對(duì)形式絕對(duì)主義而言）

不同的絕對(duì)主義概念的關(guān)鍵在于它們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和理論采取靜態(tài)還是動(dòng)態(tài)觀。形式主義和邏輯主義是形式絕對(duì)主義，他們承認(rèn)在數(shù)學(xué)公理基礎(chǔ)上能夠發(fā)現(xiàn)和證明數(shù)學(xué)理論的新定理。而他們既不觸及數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)造或變化，也不觸及非形式數(shù)學(xué)，更不用說(shuō)觸及人類的作用。根據(jù)他們的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)不過(guò)由固定、形式的理論所組成。B進(jìn)步絕對(duì)主義（相對(duì)形式絕對(duì)主義而言）不同的絕對(duì)30進(jìn)步絕對(duì)主義哲學(xué)：（1）接受公理理論的創(chuàng)造和變化；（2）由于需要數(shù)學(xué)直覺(jué)作為理論創(chuàng)造的基礎(chǔ)，因而承認(rèn)純形式數(shù)學(xué)之外還有其他類型的數(shù)學(xué)存在；（3）承認(rèn)新知識(shí)和理論創(chuàng)造中人類活動(dòng)和活動(dòng)的結(jié)果。進(jìn)步絕對(duì)主義哲學(xué)：（1）接受公理理論的創(chuàng)造和變化；（2）由于31C柏拉圖主義

柏拉圖主義觀把數(shù)學(xué)對(duì)象當(dāng)作某個(gè)理念領(lǐng)域里的真實(shí)、客觀存在。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和對(duì)象不依賴于人類而真實(shí)存在，做數(shù)學(xué)即是發(fā)現(xiàn)這些結(jié)構(gòu)和對(duì)象的先驗(yàn)存在關(guān)系的過(guò)程。數(shù)學(xué)知識(shí)是由這些對(duì)象以及對(duì)其關(guān)系和結(jié)構(gòu)的描述所組成。缺陷：（1）沒(méi)有恰當(dāng)?shù)亟忉寯?shù)學(xué)家們?nèi)绾潍@得柏拉圖王國(guó)中的知識(shí)；（2）既不內(nèi)在也不可外在地恰當(dāng)?shù)亟忉寯?shù)學(xué)。真實(shí)性、客觀存在性、似自主性——即數(shù)學(xué)服從于自身的內(nèi)在規(guī)律和邏輯）C柏拉圖主義柏拉圖主義觀把數(shù)學(xué)對(duì)象當(dāng)作某個(gè)32D約定主義

數(shù)學(xué)約定主義觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)和真理基于語(yǔ)言約定。特別認(rèn)為邏輯和數(shù)學(xué)的真理性，可根據(jù)所涉及的術(shù)語(yǔ)的意義加以分析。把語(yǔ)言約定作為基本數(shù)學(xué)定理的根基，數(shù)學(xué)大廈建構(gòu)在這一根基上。它指明了數(shù)學(xué)的基本社會(huì)性質(zhì)。D約定主義數(shù)學(xué)約定主義觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)和真理33E經(jīng)驗(yàn)主義

數(shù)學(xué)真理是經(jīng)驗(yàn)的概括。數(shù)學(xué)概念起源于經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)真理可用經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷，即數(shù)學(xué)真理來(lái)自于對(duì)物理世界的觀察。E經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)真理是經(jīng)驗(yàn)的概括。數(shù)學(xué)概念起源于經(jīng)驗(yàn)。34F擬經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家做的或曾經(jīng)做過(guò)的事情，它具有任何人類活動(dòng)或創(chuàng)造所固有的不完善性。擬經(jīng)驗(yàn)主義把數(shù)學(xué)實(shí)踐放在首位。

擬經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)觀要點(diǎn)：數(shù)學(xué)是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)人與人之間的對(duì)話。數(shù)學(xué)是可誤的，決不可認(rèn)為數(shù)學(xué)結(jié)果（包括概念和證明）是最終的或完善的，它們可以嚴(yán)密性的標(biāo)準(zhǔn)的變化，或隨著新的挑戰(zhàn)、新意義的產(chǎn)生，而需要重新商榷。由于數(shù)學(xué)是人類的活動(dòng)，因此我們就不能把它與它的歷史以及在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用割裂開(kāi)來(lái)。擬經(jīng)驗(yàn)主義代表著“近代數(shù)學(xué)哲學(xué)中經(jīng)驗(yàn)主義的復(fù)興”。F擬經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家做的或曾經(jīng)做過(guò)的事情，35擬經(jīng)驗(yàn)主義的五個(gè)觀點(diǎn)：

（1）數(shù)學(xué)是可誤的；（2）數(shù)學(xué)是假設(shè)-演繹的；（3）歷史是核心；（4）斷定非形式數(shù)學(xué)的首要性；（5）知識(shí)創(chuàng)造理論。

擬經(jīng)驗(yàn)主義的五個(gè)觀點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)是可誤的；（2）數(shù)學(xué)是假設(shè)36數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)或非形式化數(shù)學(xué)理論的發(fā)展有一個(gè)簡(jiǎn)單模式，它包括下列步驟：

（1）最初設(shè)想；（2）證明；（3）產(chǎn)生“總體”反例（最初設(shè)想的反例）；（4）重新檢驗(yàn)證明；（5）檢查其他定理的證明，以便觀察在這些證明中是否出現(xiàn)那個(gè)新發(fā)現(xiàn)的引理或那個(gè)新的產(chǎn)生于證明的概念；或許發(fā)現(xiàn)這個(gè)概念處于不同證明的交合處，出現(xiàn)這種情況帶有基本重要的意義；（6）檢驗(yàn)?zāi)切┦芘g的最初設(shè)想的而迄今仍被承認(rèn)的結(jié)果；（7）反例變成新例子——開(kāi)辟新的研究領(lǐng)域。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)或非形式化數(shù)學(xué)理論的發(fā)展有一個(gè)簡(jiǎn)單（1）最初37

Lakatos的數(shù)學(xué)哲學(xué)的實(shí)質(zhì)在于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生論，這是數(shù)學(xué)實(shí)踐的理論，所以也是數(shù)學(xué)歷史的理論。Lakatos未指出數(shù)學(xué)創(chuàng)造或發(fā)現(xiàn)的心理學(xué)理論，因?yàn)樗麤](méi)有研究個(gè)體頭腦中的公理、定義和猜想的起因，而注重于將個(gè)人的創(chuàng)造轉(zhuǎn)換成大家承認(rèn)的公開(kāi)的數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)過(guò)程——一個(gè)主要包括批判和再形成的過(guò)程。擬經(jīng)驗(yàn)主義部分地論述了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、它的發(fā)生和判定。

Lakatos把數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)解釋成假設(shè)——演繹式的、擬經(jīng)驗(yàn)的，形成了與波普爾的科學(xué)哲學(xué)極其想像的結(jié)果。

Lakatos的數(shù)學(xué)哲學(xué)的實(shí)質(zhì)在于數(shù)學(xué)知識(shí)的38Lakatos哲學(xué)一個(gè)關(guān)鍵長(zhǎng)處在于它不是規(guī)定性的而是表述性的，他努力表述數(shù)學(xué)的本來(lái)面目，而不是表述它應(yīng)該如何加以實(shí)踐數(shù)學(xué)。缺陷：沒(méi)有解釋數(shù)學(xué)的可靠性，沒(méi)有論述數(shù)學(xué)對(duì)象或其發(fā)生的本質(zhì)，沒(méi)有解釋應(yīng)用數(shù)學(xué)的本質(zhì)，沒(méi)有證實(shí)把數(shù)學(xué)史作為其數(shù)學(xué)哲學(xué)的實(shí)質(zhì)點(diǎn)的這種做法的合理性。Lakatos哲學(xué)一個(gè)關(guān)鍵長(zhǎng)處在于它不是規(guī)定性的39四、作為數(shù)學(xué)哲學(xué)的社會(huì)建構(gòu)主義

社會(huì)建構(gòu)主義將數(shù)學(xué)視為社會(huì)的建構(gòu)，它吸取了約定主義的思想，承認(rèn)人類知識(shí)、規(guī)則和約定對(duì)數(shù)學(xué)真理的確定和判定起著關(guān)鍵作用。它汲取擬經(jīng)驗(yàn)主義的可誤主義認(rèn)識(shí)論，其中包括數(shù)學(xué)知識(shí)和概念是發(fā)展和變化的思想。它還采納Lakatos的哲學(xué)論點(diǎn)，即按照一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯，數(shù)學(xué)知識(shí)在猜想和反駁中得到發(fā)展。社會(huì)建構(gòu)主義相對(duì)規(guī)定性哲學(xué)來(lái)說(shuō)是一種描述性數(shù)學(xué)哲學(xué)，旨在合適的標(biāo)準(zhǔn)下解釋普遍所理解的數(shù)學(xué)的本質(zhì)。四、作為數(shù)學(xué)哲學(xué)的社會(huì)建構(gòu)主義社會(huì)建構(gòu)主義將數(shù)學(xué)視40之所以采用社會(huì)建構(gòu)的說(shuō)法，其依據(jù)是：（1）數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)是語(yǔ)言知識(shí)、約定和規(guī)則，而語(yǔ)言是一種社會(huì)建構(gòu)。（2）個(gè)人的主觀數(shù)學(xué)知識(shí)公布后轉(zhuǎn)化為使人接受的客觀數(shù)學(xué)知識(shí)，這需要人際交往的社會(huì)過(guò)程。（3）客觀性本身應(yīng)理解為社會(huì)的。之所以采用社會(huì)建構(gòu)的說(shuō)法，其依據(jù)是：（1）數(shù)學(xué)知識(shí)的基41像擬經(jīng)驗(yàn)主義一樣，社會(huì)建構(gòu)主義的核心是數(shù)學(xué)知識(shí)的生成，而不是數(shù)學(xué)知識(shí)的判定。新知識(shí)可以是主觀知識(shí)或客觀知識(shí)，其獨(dú)到之處在于同時(shí)考慮這兩種知識(shí)形式，并將主觀知識(shí)和客觀知識(shí)循環(huán)聯(lián)系起來(lái)，其中每一個(gè)促進(jìn)另一個(gè)的更新。在這個(gè)循環(huán)中，新的主觀知識(shí)從主觀知識(shí)（個(gè)體的個(gè)人創(chuàng)造）開(kāi)始，經(jīng)發(fā)表而形成客觀知識(shí)（通過(guò)主體間的審視、再形成和接受）。像擬經(jīng)驗(yàn)主義一樣，社會(huì)建構(gòu)主義的核心是數(shù)學(xué)知識(shí)42在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中客觀知識(shí)被個(gè)體內(nèi)化和再建構(gòu)，成為個(gè)體的主觀知識(shí)。根據(jù)這個(gè)知識(shí)，個(gè)體創(chuàng)造并發(fā)表新的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而形成循環(huán)。因此數(shù)學(xué)主觀知識(shí)和客觀知識(shí)彼此促成對(duì)方的產(chǎn)生和再產(chǎn)生。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中客觀知識(shí)被個(gè)體內(nèi)化和再建構(gòu)，成為43知識(shí)產(chǎn)生的社會(huì)建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)的基本假說(shuō)：

（1）個(gè)體具有主觀數(shù)學(xué)知識(shí)（再建構(gòu)的客觀知識(shí)和新創(chuàng)造的主觀數(shù)學(xué)知識(shí)）。（2）發(fā)表是主觀數(shù)學(xué)知識(shí)變成客觀知識(shí)所必要的。

（3）發(fā)表的數(shù)學(xué)知識(shí)歷經(jīng)Lakatos所說(shuō)的啟發(fā)式過(guò)程變?yōu)榭陀^的知識(shí)（社會(huì)性的接受）。（4）啟發(fā)式過(guò)程取決于客觀標(biāo)準(zhǔn)（即審視、評(píng)判數(shù)學(xué)知識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)）。

知識(shí)產(chǎn)生的社會(huì)建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)的基本假說(shuō)：（1）個(gè)體具44（5）評(píng)判發(fā)表了的數(shù)學(xué)知識(shí)，其客觀標(biāo)準(zhǔn)是建立在客觀語(yǔ)言知識(shí)及數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上。（6）數(shù)學(xué)主觀知識(shí)根本上是內(nèi)化了的，再建構(gòu)了的客觀知識(shí)。

（7）在數(shù)學(xué)知識(shí)的增添、再建或再現(xiàn)方面，個(gè)人能夠發(fā)揮作用。

（5）評(píng)判發(fā)表了的數(shù)學(xué)知識(shí)，其客觀標(biāo)準(zhǔn)是建（6）451.客觀知識(shí)和主觀知識(shí)

我們稱物質(zhì)世界為“第一世界”，我們的意識(shí)經(jīng)驗(yàn)世界為“第二世界”，書(shū)本、圖書(shū)館、電腦以及類似東西中的邏輯內(nèi)容為“第三世界”。

主觀知識(shí)是第二世界的知識(shí)，客觀知識(shí)是第三世界的知識(shí)，它包括人類思想的產(chǎn)物，如發(fā)表的定理、對(duì)這些定理中有關(guān)問(wèn)題的討論以及定理證明；客觀知識(shí)是由人創(chuàng)造的、是變化的。對(duì)于客觀知識(shí)是指共有的、主體間的知識(shí)，即使是隱含、未充分表達(dá)清楚的也算在其中。

1.客觀知識(shí)和主觀知識(shí)我們稱物質(zhì)世界為“第一世界”46客觀數(shù)學(xué)知識(shí)的作用：

根據(jù)社會(huì)建構(gòu)主義的看法，公開(kāi)了的數(shù)學(xué)，即在公開(kāi)領(lǐng)域中用符號(hào)表現(xiàn)的數(shù)學(xué)有可能成為客觀知識(shí)。把Lakatos的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)邏輯用于公開(kāi)了的數(shù)學(xué)，這是一個(gè)獲得社會(huì)承認(rèn)進(jìn)而獲得客觀性的過(guò)程。數(shù)學(xué)公理、定理、猜想以及證明一旦形成并公開(kāi)（即使是口頭上），自動(dòng)的（即社會(huì)承認(rèn)的）啟發(fā)即開(kāi)始進(jìn)行?？陀^數(shù)學(xué)知識(shí)的作用：根據(jù)社會(huì)建構(gòu)主義的看法，公開(kāi)了47無(wú)論這個(gè)過(guò)程還是它的結(jié)果都是為社會(huì)所接受的，因而是客觀的。同樣獲得社會(huì)性承認(rèn)的語(yǔ)言、邏輯約定和規(guī)則（隱含的或明確的）也是客觀的，這些約定和規(guī)則是啟發(fā)式過(guò)程的依據(jù)。根據(jù)約定主義觀，我們斷言，正是這些約定和規(guī)則構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)（包括邏輯）的基礎(chǔ)，因?yàn)樗鼈兲峁┝诉壿嫼蛿?shù)學(xué)定義的根據(jù)，同樣也提供了邏輯和數(shù)學(xué)公理及規(guī)則的依據(jù)。無(wú)論這個(gè)過(guò)程還是它的結(jié)果都是為社會(huì)所接受的，因48數(shù)學(xué)主觀知識(shí)的作用：主觀知識(shí)維持并更新著客觀知識(shí)，不管是數(shù)學(xué)、邏輯或語(yǔ)言的知識(shí)。主觀知識(shí)在社會(huì)建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)中居于核心地位。數(shù)學(xué)主觀知識(shí)的作用：主觀知識(shí)維持并更新著客觀知識(shí)，492.社會(huì)建構(gòu)學(xué)說(shuō)對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)解釋：

A數(shù)學(xué)的客觀性

通過(guò)對(duì)絕對(duì)主義的有力批判，我們接受了數(shù)學(xué)知識(shí)的可誤性。數(shù)學(xué)知識(shí)的可誤性是社會(huì)建構(gòu)主義的核心假說(shuō)，然而，人們?nèi)匀黄毡榘褦?shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)對(duì)象的客觀性作為數(shù)學(xué)的特性，所以任何一個(gè)數(shù)學(xué)哲學(xué)都必須對(duì)此作出解釋。我們已經(jīng)明確，客觀性應(yīng)理解為在于公眾，在于主體之間的約定，即客觀性是社會(huì)的。因此數(shù)學(xué)的客觀性即是說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)和對(duì)象是自主存在的，對(duì)于這個(gè)存在，主體間是有約定的，而與任何個(gè)體的主觀知識(shí)無(wú)關(guān)。為數(shù)學(xué)客觀性提供基礎(chǔ)的基質(zhì)是語(yǔ)言。2.社會(huì)建構(gòu)學(xué)說(shuō)對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)解釋：A數(shù)學(xué)的客觀性50B數(shù)學(xué)對(duì)象

數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性是社會(huì)性的，它建立在人們對(duì)語(yǔ)言規(guī)則的接受上，而語(yǔ)言規(guī)則是人們交流所必須的。社會(huì)性接受也是數(shù)學(xué)對(duì)象獨(dú)立存在的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)對(duì)象具有客觀實(shí)在性?？陀^的數(shù)學(xué)定義和真理明確決定數(shù)學(xué)對(duì)象的規(guī)則和性質(zhì)。這就使它們具有同其他社會(huì)概念一樣多的客觀存在意義。正如普通語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)具有社會(huì)存在意義一樣，數(shù)學(xué)對(duì)象通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性而獲得了穩(wěn)定性（即定義的穩(wěn)定性），接著又使自己得到了永久性和客觀存在性。數(shù)學(xué)對(duì)象的客觀性是不可避免地伴隨著對(duì)某些論題形式的承認(rèn)而來(lái)的本體論的承諾。

B數(shù)學(xué)對(duì)象數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性是社會(huì)性的，它建立51數(shù)學(xué)對(duì)象也有不同，從描述感知世界的自然語(yǔ)言中相對(duì)具體的事物，到抽象的數(shù)學(xué)理論實(shí)體，許多東西離其基礎(chǔ)都相當(dāng)遠(yuǎn)了。

許多初等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和概念都是在現(xiàn)實(shí)世界中有實(shí)例和具體的應(yīng)用，因?yàn)樗鼈兪怯靡悦枋鲎匀唬ㄉ鐣?huì)）世界的語(yǔ)言的一部分。用說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)是客觀知識(shí)的同樣方式可以說(shuō)明數(shù)學(xué)對(duì)象是客觀的，它們是普通的語(yǔ)言對(duì)象，其中有些是具體的，但多數(shù)是抽象的。

數(shù)學(xué)對(duì)象也有不同，從描述感知世界的自然語(yǔ)言中相52C數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生

承認(rèn)數(shù)學(xué)是社會(huì)建構(gòu)的，就是承認(rèn)客觀數(shù)學(xué)知識(shí)是人類的產(chǎn)物。個(gè)體的數(shù)學(xué)思想是主觀思想，書(shū)寫是典型的表現(xiàn)形式。經(jīng)過(guò)公開(kāi)的批判審視，一經(jīng)公布的主觀思想變成了客觀思想，其關(guān)鍵在于社會(huì)的接受。數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的決定性特征是從公開(kāi)表示的（主觀）數(shù)學(xué)知識(shí)向客觀知識(shí)的轉(zhuǎn)換，即變成社會(huì)接受的數(shù)學(xué)知識(shí)。這一轉(zhuǎn)換取決于能否經(jīng)受公開(kāi)審視和批判的過(guò)程。C數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生承認(rèn)數(shù)學(xué)是社會(huì)建構(gòu)的，就是承53D數(shù)學(xué)創(chuàng)造的多樣性

某些知識(shí)的增加形成了內(nèi)容上的增加，而另外一些知識(shí)卻是現(xiàn)有知識(shí)的再構(gòu)造或再闡述。數(shù)學(xué)家是在已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)理論下從事工作，許多工作是在理論的現(xiàn)有方面發(fā)展新結(jié)果，或把理論中的現(xiàn)有方法用于一些問(wèn)題。如果這些工作富有成果，那么就會(huì)使數(shù)學(xué)知識(shí)在整體上有所增加。D數(shù)學(xué)創(chuàng)造的多樣性某些知識(shí)的增加形成了內(nèi)容上的54數(shù)學(xué)家還把一個(gè)理論中的概念和方法用于另一個(gè)理論，或設(shè)法使以前分隔開(kāi)存在的理論有所聯(lián)系。這些工作使分隔的數(shù)學(xué)間形成了新的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，這就形成了新的數(shù)學(xué)再構(gòu)造。如果在新的聯(lián)系作用下，兩個(gè)理論被重新構(gòu)造、重獲闡述并緊密地結(jié)合起來(lái)，那么這個(gè)工作就值得考慮了。最后在某些往往是為了解決某個(gè)問(wèn)題的理論研究中，會(huì)產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)理論，這些可能是額外的新理論，也可能把先前的理論納入更大的、更一般的（普遍）的理論中去，像這樣逐步走向更抽象和更一般化，是數(shù)學(xué)知識(shí)再建構(gòu)的主要因素。因?yàn)樵揭话慊睦碚撈溥\(yùn)用范圍越廣，一些專門的前期理論可以歸入更一般的結(jié)構(gòu)中去（如集合論）。數(shù)學(xué)家還把一個(gè)理論中的概念和方法用于另一個(gè)理論，55E數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性社會(huì)建構(gòu)主義要成為恰當(dāng)?shù)睦碚?，就必須解釋“?shù)學(xué)在科學(xué)中不可思議的有效性”（Wigner,1960）。社會(huì)建構(gòu)主義可以從以下兩個(gè)方面解釋數(shù)學(xué)的（實(shí)際）可應(yīng)用性：（1）數(shù)學(xué)建立在我們經(jīng)驗(yàn)的自然語(yǔ)言基礎(chǔ)上；（2）擬經(jīng)驗(yàn)主義的數(shù)學(xué)觀說(shuō)明了數(shù)學(xué)與經(jīng)驗(yàn)科學(xué)無(wú)論如何沒(méi)什么多大差別。

E數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性社會(huì)建構(gòu)主義要成為恰當(dāng)?shù)睦碚摚?6人們?nèi)绾潍@取主觀知識(shí)包括語(yǔ)言知識(shí)？?jī)纱笠c(diǎn)：第一，在經(jīng)驗(yàn)以往知識(shí)的基礎(chǔ)上，存在著知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，典型的有概念和假設(shè)，它們?yōu)槔斫獯蛳禄A(chǔ)，并指導(dǎo)未來(lái)的行為。第二，在實(shí)際行動(dòng)和講話模式中，人的經(jīng)驗(yàn)以及物質(zhì)世界的相互作用發(fā)揮了必不缺少的作用。3.主觀知識(shí)的獲取人們?nèi)绾潍@取主觀知識(shí)包括語(yǔ)言知識(shí)？?jī)纱笠c(diǎn)：第二，在57主要結(jié)論：（1）主觀知識(shí)不是被動(dòng)接受的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的。認(rèn)知的功能是適應(yīng)并應(yīng)用于個(gè)人經(jīng)驗(yàn)世界的組構(gòu)；（Glasersfeld,1989）（2）這個(gè)過(guò)程解釋了世界和語(yǔ)言（包括數(shù)學(xué)）的主觀知識(shí)。（3）物質(zhì)和社會(huì)的客觀制約對(duì)主觀知識(shí)具有塑造作用，這種作用使得主觀知識(shí)與客觀知識(shí)之間相一致；（4）意義只能由個(gè)體賦予，而不是由任何符號(hào)體系固有的。主要結(jié)論：（1）主觀知識(shí)不是被動(dòng)接受的，而是由認(rèn)知主體584.數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)語(yǔ)言知識(shí)為客觀數(shù)學(xué)知識(shí)提供了基礎(chǔ)（發(fā)生的和判定的）。獲取數(shù)學(xué)知識(shí)要從獲得語(yǔ)言知識(shí)開(kāi)始。從基本數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的自然語(yǔ)言記載、這些術(shù)語(yǔ)的日常使用知識(shí)以及術(shù)語(yǔ)間的聯(lián)系知識(shí)，并從提供邏輯和邏輯真理基礎(chǔ)的規(guī)則和約定中，我們看到自然語(yǔ)言包含數(shù)學(xué)之基礎(chǔ)。因?yàn)閿?shù)學(xué)的發(fā)生的判定基礎(chǔ)都是通過(guò)語(yǔ)言獲得的，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念和命題發(fā)生的基礎(chǔ)都是通過(guò)語(yǔ)言獲得的，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念和命題發(fā)生的基礎(chǔ)以及命題型數(shù)學(xué)知識(shí)的判定基礎(chǔ)都是建立在語(yǔ)言知識(shí)上。另外，主觀數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，特別是它的概念結(jié)構(gòu)亦是通過(guò)語(yǔ)言獲得而建立的。4.數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)語(yǔ)言知識(shí)為客觀數(shù)學(xué)知識(shí)提供了基礎(chǔ)（59數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)之一是它具有等級(jí)性和層次性，在術(shù)語(yǔ)和概念中尤其如此，這就是數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性質(zhì)，它既顯現(xiàn)在公開(kāi)展現(xiàn)的客觀數(shù)學(xué)知識(shí)中，又顯現(xiàn)在主觀數(shù)學(xué)知識(shí)中。

客觀數(shù)學(xué)知識(shí)的層次性：無(wú)論科學(xué)還是數(shù)學(xué)中的概念和術(shù)語(yǔ)，在任何理論中都可以分為加以定義的和當(dāng)作初始的、不加定義的兩部分。加以定義的術(shù)語(yǔ)是其他術(shù)語(yǔ)來(lái)定義的，經(jīng)過(guò)有限次定義環(huán)節(jié)后，從一連串定義最終可以尋蹤到初始的術(shù)語(yǔ)，不然定義就會(huì)基于或造成無(wú)限回歸狀態(tài)。數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)之一是它具有等級(jí)性和層次性，在術(shù)60根據(jù)術(shù)語(yǔ)分為初始的和加以定義的兩類，我們可作出一個(gè)簡(jiǎn)單的歸納法定義，來(lái)規(guī)定層次結(jié)構(gòu)中每個(gè)術(shù)語(yǔ)的水平。在主觀知識(shí)領(lǐng)域，至少?gòu)睦碚撋衔覀兡軌虬迅拍铑愃频胤譃槌跏嫉挠^察得到的概念和用其他概念的抽象概念。這樣或以賦予主觀數(shù)學(xué)理論的術(shù)語(yǔ)和概念以層次結(jié)構(gòu)。較高層次的術(shù)語(yǔ)是用較低層次的術(shù)語(yǔ)定義的。個(gè)人數(shù)學(xué)上的主觀概念知識(shí)是按層次排序的。主觀知識(shí)的縱向過(guò)程包括概括、抽象、具體化以及概念的形成。根據(jù)術(shù)語(yǔ)分為初始的和加以定義的兩類，我們可作出61主觀數(shù)學(xué)知識(shí)的逐漸增加的復(fù)雜性可歸因于對(duì)概念和性質(zhì)作詳盡解釋和澄清的橫向過(guò)程。這兩種過(guò)程的方向與歸納、演繹過(guò)程所涉及的方向分別類似。

主觀數(shù)學(xué)知識(shí)的概念和命題的發(fā)生有如下四個(gè)結(jié)論：

（1）數(shù)學(xué)概念和命題來(lái)源并植根于自然語(yǔ)言的概念和命題中，它伴隨語(yǔ)言能力而被人獲取（被構(gòu)造）。主觀數(shù)學(xué)知識(shí)的逐漸增加的復(fù)雜性可歸因于對(duì)概念主觀數(shù)學(xué)62（2）它們可分為初始的和導(dǎo)出的概念和命題。概念可分為基于觀察、直接感知經(jīng)驗(yàn)的概念和用其他術(shù)語(yǔ)和概念語(yǔ)言定義的或從中抽象出來(lái)的概念。同樣，命題也包括由語(yǔ)言獲得的命題和從原有數(shù)學(xué)命題中推導(dǎo)出來(lái)的命題。（3）概念的區(qū)分以及這些概念定義的排序?qū)е滦纬闪烁拍畹闹饔^（或個(gè)人的）層次結(jié)構(gòu)（命題按其構(gòu)成的概念與該層次結(jié)構(gòu)發(fā)生聯(lián)系）。（4）主觀數(shù)學(xué)概念和命題的發(fā)生利用導(dǎo)出概念和命題的縱向和橫向過(guò)程。這些過(guò)程采取歸納和演繹推理的形式。（2）它們可分為初始的和導(dǎo)出的概念和命題。概念可635.主觀知識(shí)與客觀知識(shí)間的關(guān)系

數(shù)學(xué)客觀知識(shí)和主觀知識(shí)的關(guān)系是社會(huì)建構(gòu)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的核心。根據(jù)這一哲學(xué)認(rèn)識(shí)，兩種知識(shí)相互依存并有助于彼此再創(chuàng)造。首先，在教師和他人的相互作用下，并通過(guò)解釋課文及其他無(wú)生命的資料，個(gè)人把客觀數(shù)學(xué)知識(shí)再建構(gòu)為主觀知識(shí)。正如強(qiáng)調(diào)的那樣，與他人的相互作用（特別是通過(guò)負(fù)面反饋）提供了促進(jìn)個(gè)人主觀數(shù)學(xué)知識(shí)與社會(huì)接受的客觀數(shù)學(xué)相適應(yīng)的方式。“再建構(gòu)”這一用于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的主觀表現(xiàn)的術(shù)語(yǔ)，決不能認(rèn)為它意味著這一主觀表現(xiàn)能與客觀數(shù)學(xué)知識(shí)相匹配。再建構(gòu)更應(yīng)看成是主觀知識(shí)或多或少地適合于社會(huì)接受的數(shù)學(xué)知識(shí)（以一種或多種表示形式）。5.主觀知識(shí)與客觀知識(shí)間的關(guān)系數(shù)學(xué)客觀知識(shí)和主觀知64其次，主觀數(shù)學(xué)知識(shí)以兩種途徑對(duì)客觀知識(shí)產(chǎn)生影響。其中一個(gè)途徑是個(gè)人的數(shù)學(xué)創(chuàng)造經(jīng)過(guò)評(píng)判而成為客觀數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分。這一途徑代表著新的創(chuàng)造（包括原有數(shù)學(xué)的再建構(gòu)）加入客觀數(shù)學(xué)知識(shí)體中的途徑。它還表示現(xiàn)有數(shù)學(xué)理論的再形成、相互聯(lián)系或得到統(tǒng)一的方法。因此它不僅包括處于數(shù)學(xué)知識(shí)邊緣的創(chuàng)造，而且還包括貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體的創(chuàng)造。這是主觀數(shù)學(xué)知識(shí)明顯有助于客觀數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造的方式。然而主觀數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)客觀知識(shí)的貢獻(xiàn)還有一個(gè)影響更深遠(yuǎn)但卻是隱含的方式。其次，主觀數(shù)學(xué)知識(shí)以兩種途徑對(duì)客觀知識(shí)產(chǎn)生影響。65社會(huì)建構(gòu)主義認(rèn)為，客觀數(shù)學(xué)知識(shí)是社會(huì)的，不包括在課本或其他記載材料中，也不包括在某種理念領(lǐng)域中。客觀數(shù)學(xué)知識(shí)存在于社會(huì)個(gè)體成員共有的規(guī)則、約定、理解和取義中，同時(shí)亦存在于它們（必然還有其社會(huì)途徑）的相互作用中。因此，隨著主觀知識(shí)的增長(zhǎng)，客觀數(shù)學(xué)知識(shí)在無(wú)數(shù)個(gè)人頭腦中不斷得到再創(chuàng)造和再更新。這就奠定了客觀知識(shí)的基礎(chǔ)，國(guó)為正是通過(guò)主觀表現(xiàn)，社會(huì)、語(yǔ)言規(guī)則和約定以及人類相互作用才得以維持。社會(huì)建構(gòu)主義認(rèn)為，客觀數(shù)學(xué)知識(shí)是社會(huì)的，不包括在66反之，這些彼此遵守的規(guī)則使某些已形成的數(shù)學(xué)合理地成為人們可接受的客觀數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，客觀數(shù)學(xué)知識(shí)通過(guò)社會(huì)群體自身的延續(xù)和繁衍面保留下來(lái)，客觀數(shù)學(xué)知識(shí)通過(guò)主觀數(shù)學(xué)知識(shí)（包括關(guān)于出版的數(shù)學(xué)文本中符號(hào)意義的知識(shí)）的傳遞而代代相傳?？陀^數(shù)學(xué)知識(shí)的生存依賴于社會(huì)成員的主觀知識(shí)。主觀知識(shí)的總和并不等于客觀知識(shí)。主觀知識(shí)本質(zhì)上是個(gè)人所有的，而客觀知識(shí)是公開(kāi)的和社會(huì)的，所以雖然數(shù)學(xué)客觀知識(shí)建立在對(duì)其不斷地進(jìn)行再創(chuàng)造的主觀知識(shí)基礎(chǔ)上，但它不能歸約為主觀知識(shí)。

反之，這些彼此遵守的規(guī)則使某些已形成的數(shù)學(xué)合理客觀數(shù)67數(shù)學(xué)客觀知識(shí)存在并貫穿于人類的活動(dòng)、相互作用和規(guī)則的社會(huì)世界中；客觀知識(shí)由個(gè)人的主觀數(shù)學(xué)（以及語(yǔ)言和社會(huì)生活）知識(shí)來(lái)維系，這些知識(shí)需要不斷的再創(chuàng)造。主觀數(shù)學(xué)知識(shí)再創(chuàng)造客觀知識(shí)而后者不能歸約為前者。通過(guò)社會(huì)作用和社會(huì)承認(rèn)的媒介，主觀知識(shí)導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生，同時(shí)它還維持并再創(chuàng)造建立在個(gè)人主觀知識(shí)基礎(chǔ)上的客觀知識(shí)?？陀^知識(shí)所體現(xiàn)的，正是主觀知識(shí)生成和再創(chuàng)造得到允許的那些東西。于是得到一個(gè)循環(huán)關(guān)系：主觀知識(shí)創(chuàng)造客觀知識(shí)，反過(guò)來(lái)客觀知識(shí)又導(dǎo)致主觀知識(shí)的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)客觀知識(shí)存在并貫穿于人類的活動(dòng)、相互作用和68對(duì)社會(huì)建構(gòu)主義的批評(píng)：（1）數(shù)學(xué)是隨意和相對(duì)的。（數(shù)學(xué)的隨意性來(lái)自數(shù)學(xué)知識(shí)建立在語(yǔ)言約定和規(guī)則之上這一事實(shí)。客觀知識(shí)是特定人群在特定時(shí)期的知識(shí)。）（2）社會(huì)建構(gòu)主義的社會(huì)群體不明。對(duì)社會(huì)建構(gòu)主義的批評(píng)：（1）數(shù)學(xué)是隨意和相對(duì)的。（數(shù)學(xué)的隨意69數(shù)學(xué)教育哲學(xué)講座

周根龍2007年7月數(shù)學(xué)教育哲學(xué)講座周根龍2007年7月70一、引言

兩千多年來(lái)，數(shù)學(xué)一直處在絕對(duì)主義范式的統(tǒng)治下，這種認(rèn)識(shí)范式視數(shù)學(xué)本體上是不可誤的、數(shù)學(xué)是客觀真理、且數(shù)學(xué)遠(yuǎn)離人類事務(wù)和價(jià)值。

當(dāng)今越來(lái)越多的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家對(duì)此提出了異議，如Laktaos(1976)、Davis與Hersh(1980)、Tymoczko(1986),他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是可誤的，像其它知識(shí)一樣，數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造的產(chǎn)物。

一、引言兩千多年來(lái)，數(shù)學(xué)一直處在絕對(duì)主義范式的統(tǒng)71這一變化的意義（放棄數(shù)學(xué)的可靠性）：

●導(dǎo)致人類根本沒(méi)有可靠的結(jié)論；

●放棄數(shù)學(xué)與生俱來(lái)的偽安全性；

●若數(shù)學(xué)是不可誤的客觀知識(shí)，則數(shù)學(xué)不必承擔(dān)任何社會(huì)責(zé)任；

●若數(shù)學(xué)是可誤的社會(huì)建構(gòu)，則數(shù)學(xué)就是一個(gè)探究和認(rèn)識(shí)的過(guò)程，是人類不斷創(chuàng)造和發(fā)明的廣闊天地，是不會(huì)終結(jié)的產(chǎn)物。

這一變化的意義（放棄數(shù)學(xué)的可靠性）：●導(dǎo)致人類根本沒(méi)有可靠72如此動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀對(duì)教育的影響舉足輕重：

●數(shù)學(xué)教學(xué)的目的應(yīng)包括使學(xué)生獲得自我創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)的能力；

●數(shù)學(xué)至少在學(xué)校要更新形式，以便所有社會(huì)群體易于接受其概念，并容易得到由它帶來(lái)的財(cái)富和權(quán)利；

●再不可理所當(dāng)然地把數(shù)學(xué)活動(dòng)及其應(yīng)用的涵義置之一邊，而對(duì)數(shù)學(xué)的潛在價(jià)值作出深入的分析。

如此動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀對(duì)教育的影響舉足輕重：●數(shù)學(xué)教學(xué)的目的應(yīng)包73在教學(xué)領(lǐng)域與數(shù)學(xué)觀相聯(lián)系的一些基本問(wèn)題：

學(xué)習(xí)的本質(zhì)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)由哪些哲學(xué)假說(shuō)或可能隱含的假說(shuō)所構(gòu)成？應(yīng)采納何種認(rèn)識(shí)論和學(xué)習(xí)論？

教育目的：數(shù)學(xué)教育的目的是什么？誰(shuí)提出的目的？為誰(shuí)提出的目的？建立在什么價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)上的目的？這個(gè)目的使誰(shuí)受益，誰(shuí)受損？數(shù)學(xué)的本質(zhì)：數(shù)學(xué)教學(xué)依據(jù)什么哲學(xué)假說(shuō)或可能的隱含假說(shuō)？這些假說(shuō)可靠嗎？為達(dá)到數(shù)學(xué)教育目的應(yīng)采取何種方法？這些方法和目的一致嗎？

在教學(xué)領(lǐng)域與數(shù)學(xué)觀相聯(lián)系的一些基本問(wèn)題：學(xué)習(xí)的本質(zhì)：數(shù)學(xué)學(xué)74事實(shí)上，無(wú)論人們的意愿如何，一切數(shù)學(xué)教學(xué)法根本上都出于某一數(shù)學(xué)哲學(xué)，即便是很不規(guī)范的教學(xué)法也如此。（Thom,1971）問(wèn)題并不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么。┄┄如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題，便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭(zhēng)議。（Hersh,1979）教師專業(yè)數(shù)學(xué)思想的形成與他們表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的典型方式存在著一致性，這有力說(shuō)明了教師的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)信仰和愛(ài)好的確影響著他們的教學(xué)活動(dòng)。

事實(shí)上，無(wú)論人們的意愿如何，一切數(shù)學(xué)教學(xué)法根75二、絕對(duì)主義觀和可誤主義觀

數(shù)學(xué)哲學(xué)是哲學(xué)的一個(gè)分支。它的任務(wù)是反思并解釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

數(shù)學(xué)知識(shí)是由具有證明的一組命題所構(gòu)成的，由于數(shù)學(xué)證明僅依據(jù)推理而不求助于經(jīng)驗(yàn)材料，因此認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)是所有知識(shí)中最為可靠的知識(shí)。

數(shù)學(xué)哲學(xué)傳統(tǒng)上把自己的任務(wù)看作為數(shù)學(xué)知識(shí)的可靠性提供基礎(chǔ)，即構(gòu)建一個(gè)系統(tǒng)。在這系統(tǒng)中能夠編排數(shù)學(xué)知識(shí)從而能系統(tǒng)地建立起數(shù)學(xué)的真理性。

二、絕對(duì)主義觀和可誤主義觀數(shù)學(xué)哲學(xué)是哲學(xué)的一個(gè)分支76這樣做取決于或明或暗地廣泛承認(rèn)的下列假設(shè)：

數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù)是為數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以說(shuō)是為了數(shù)學(xué)真理奠定一個(gè)系統(tǒng)的并且絕對(duì)可靠的基礎(chǔ)。這個(gè)假設(shè)是基礎(chǔ)主義的依據(jù)，也就是這樣一個(gè)信條：數(shù)學(xué)哲學(xué)的作用是否為數(shù)學(xué)知識(shí)奠定可靠的基礎(chǔ)?；A(chǔ)主義與數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)觀密切相關(guān)，因?yàn)榛A(chǔ)主義把驗(yàn)證數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)性這一任務(wù)視為數(shù)學(xué)哲學(xué)的中心任務(wù)。這樣做取決于或明或暗地廣泛承認(rèn)的下列假設(shè)：771.數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)

傳統(tǒng)上，數(shù)學(xué)知識(shí)一直作為可靠知識(shí)的范式。Newton的《原理》和Spinozn的《倫理學(xué)》都采用了Euclid的《幾何原本》的形式（公理化思想）。長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)一直作為人類所知的最可靠知識(shí)的源泉。知識(shí)的本質(zhì)是什么？

其哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)答案是，知識(shí)是已判定為合理的信念。

更準(zhǔn)確地說(shuō)，命題型知識(shí)由得到承認(rèn)（即得到相信）的命題所組成，并有充分根據(jù)判定這些命題。

1.數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)傳統(tǒng)上，數(shù)學(xué)知識(shí)一直作為可靠知識(shí)78知識(shí)可以按照對(duì)它進(jìn)行論證的依據(jù)進(jìn)行分類。先驗(yàn)知識(shí)由僅僅根據(jù)推理而判定的那些命題所組成，而不依賴于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的觀察。

數(shù)學(xué)知識(shí)屬于先驗(yàn)知識(shí)，因?yàn)樗挥苫谕评矶鴶喽ǖ拿}所組成。

推理包括演繹邏輯和所用的定義，連同我們所假定的數(shù)學(xué)公理或公設(shè)，構(gòu)成了推斷數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。因此數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，即確定數(shù)學(xué)命題真理性的依據(jù)，是由演繹證明所組成的。知識(shí)可以按照對(duì)它進(jìn)行論證的依據(jù)進(jìn)行分類。先驗(yàn)79

數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，即確定數(shù)學(xué)命題真理性的依據(jù)，是由演繹證明所組成的。在證明中往往用到兩種類型的假設(shè)：數(shù)學(xué)的和邏輯的。

邏輯假設(shè)即推理規(guī)則（整個(gè)證明理論的一部分）和邏輯句法，被認(rèn)為是邏輯的基本組成部分，也是推理運(yùn)用過(guò)程的組成部分。因此我們認(rèn)為，邏輯毫無(wú)疑問(wèn)是知識(shí)判定的依據(jù)。

數(shù)學(xué)假設(shè)即數(shù)學(xué)公理或公設(shè)，是數(shù)學(xué)證明依賴的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，即確定數(shù)學(xué)命題真理性的依據(jù)，80數(shù)學(xué)假設(shè)的合理性又由誰(shuí)來(lái)保證呢？

事實(shí)上，非歐幾何證明了，Euclid公理和平行公設(shè)被人們不再看作是基本的或無(wú)可爭(zhēng)辯的真理，不再認(rèn)為任何這種真理之一遭否定或拒絕時(shí)都會(huì)引起矛盾?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)包括了很多依賴于公理系假設(shè)的分支學(xué)科，而這些公理不可看作為基本的普遍真理，如群論公理或集合論公理。數(shù)學(xué)假設(shè)的合理性又由誰(shuí)來(lái)保證呢？事實(shí)上，非歐幾何證812.數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義觀

絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀：

認(rèn)為數(shù)學(xué)真理是絕對(duì)可靠的,數(shù)學(xué)是一種而且也許是唯一的一種確定的、不容置疑的客觀知識(shí)領(lǐng)域。2.數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義觀絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀：認(rèn)為數(shù)學(xué)82演繹法為數(shù)學(xué)知識(shí)的斷定提供了保證。

斷定數(shù)學(xué)（和邏輯）提供絕對(duì)可靠知識(shí)即真理的依據(jù)如下：

首先，證明中的基本陳述視其為真，數(shù)學(xué)公理假定為真，以便這樣考慮使系統(tǒng)得到發(fā)展，數(shù)學(xué)定義令其為真，邏輯公理認(rèn)其為真。

其次，邏輯推理規(guī)則保持著真理性，即只承認(rèn)由真理推導(dǎo)出來(lái)真理。演繹法為數(shù)學(xué)知識(shí)的斷定提供了保證。斷定數(shù)學(xué)（和邏輯83

這種數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義觀是建立在以下兩種假設(shè)基礎(chǔ)上：涉及公理和定義假設(shè)的數(shù)學(xué)假設(shè)，以及涉及公理假設(shè)、推理規(guī)則和形式語(yǔ)言及其句法的邏輯假設(shè)。羅素悖論

Russel通過(guò)定義“不是自身的一個(gè)元素”這一特性，提出了這個(gè)悖論。Frege規(guī)則允許這一特性的外延作為一個(gè)集合。但這樣一來(lái)，這個(gè)集合是自身的一個(gè)元素當(dāng)且僅當(dāng)它不是自身的一個(gè)元素，這就是一個(gè)矛盾。這種數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義觀是建立在以下兩種假設(shè)羅素悖論84

這些矛盾的發(fā)現(xiàn)自然對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義觀是潛在的致命威脅。

如果數(shù)學(xué)是可靠的，則它的所有定理都是可靠的，那么它的理論怎么會(huì)出現(xiàn)矛盾呢？

既然這虛張聲勢(shì)矛盾的出現(xiàn)并無(wú)錯(cuò)誤，那么必定在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中出現(xiàn)了問(wèn)題。

這些危機(jī)帶來(lái)的結(jié)果是，數(shù)學(xué)哲學(xué)的一些學(xué)派發(fā)展起來(lái)，其目的是解釋數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)并重建它們的可靠性。三大學(xué)派分別是邏輯主義、形式主義、構(gòu)造主義（直覺(jué)主義）。這些矛盾的發(fā)現(xiàn)自然對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的絕對(duì)主義如果數(shù)85A．邏輯主義

邏輯主義是把純數(shù)學(xué)作為邏輯基本構(gòu)成成分的思想學(xué)派。主要倡導(dǎo)者有Leibniz、Frege、Russel等人。

Russel的觀點(diǎn)最為顯明。主要有兩個(gè)論點(diǎn)：（1）所有數(shù)學(xué)概念最終都可以歸結(jié)為邏輯概念；（2）所有數(shù)學(xué)真理都可以單作憑公理和邏輯推演規(guī)則得到證明。A．邏輯主義邏輯主義是把純數(shù)學(xué)作為邏輯基本構(gòu)成成分86

Russel等人（1910-1913）用一系列的定義確立了上述第一論點(diǎn)，但是在第二點(diǎn)上失敗了。數(shù)學(xué)需要非邏輯公理如無(wú)窮公理（所有自然數(shù)的集合都是無(wú)窮的）和選擇公理。

因此不是所有的數(shù)學(xué)定理（真理）都能單純從邏輯公理導(dǎo)出。許多重要的數(shù)學(xué)公理確實(shí)是獨(dú)立的，并且無(wú)論采用這些公理還是否定這些公理都不會(huì)引起矛盾。

后來(lái)邏輯主義想了許多方法來(lái)改進(jìn)，但后來(lái)都失敗了，因此把數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性歸結(jié)為邏輯的確定性這一邏輯主義綱領(lǐng)已在原則上失敗了。邏輯不能為數(shù)學(xué)知識(shí)提供可靠的基礎(chǔ)。Russel等人（1910-1913）用一系列的87B．形式主義

通俗地說(shuō)，形式主義是如下觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)是按規(guī)則在紙上用符號(hào)所做的一種無(wú)意義的形式游戲。

Hilbert的形式主義綱領(lǐng)旨在把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為不予解釋的形式系統(tǒng)。

Hilbert借助一種有限制然而有意義的元數(shù)學(xué)，通過(guò)導(dǎo)出所有數(shù)學(xué)真理的形式的對(duì)應(yīng)產(chǎn)物來(lái)說(shuō)明他的形式系統(tǒng)適合于數(shù)學(xué)，并通過(guò)相容性證明說(shuō)明該形式系統(tǒng)對(duì)數(shù)學(xué)是可靠的。B．形式主義通俗地說(shuō)，形式主義是如下觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)是按88

但Godel的不完全理論（1931）證明了這是一個(gè)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的綱領(lǐng)。

其第一個(gè)定理證明了甚至不是所有算術(shù)定理都能由Peano公理（或任意一個(gè)更大的遞歸公理系統(tǒng)）導(dǎo)出。

第二個(gè)定理證明了對(duì)所要研究的系統(tǒng)而言，證明其相容性需要比維持系統(tǒng)的“自我完善”更強(qiáng)的元數(shù)學(xué)，所以也就根本無(wú)所謂系統(tǒng)的“自我完整”可言。(形式系統(tǒng)無(wú)法保證自身的可靠性)但Godel的不完全理論（1931）證明了這是一個(gè)89C．構(gòu)造主義

構(gòu)造主義綱領(lǐng)是數(shù)學(xué)知識(shí)的一種重建（數(shù)學(xué)活動(dòng)的改革），以防止數(shù)學(xué)意義的喪失或陷入矛盾。最著名的構(gòu)造主義者是直覺(jué)主義者Brouwer.

持構(gòu)造主義觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)家的共同觀點(diǎn)是，經(jīng)典數(shù)學(xué)或許靠不住，需要用“構(gòu)造”的方法和推理重建數(shù)學(xué)。

他們主張數(shù)學(xué)真理和數(shù)學(xué)對(duì)象的存在性這兩者都必須由構(gòu)造的方法加以確定。這即是說(shuō)，證實(shí)真理性和存在性，就需要數(shù)學(xué)地加以改造。這和利用矛盾加以證明的反證法相對(duì)立（他們也不承認(rèn)邏輯上的排中律）。C．構(gòu)造主義構(gòu)造主義綱領(lǐng)是數(shù)學(xué)知識(shí)的一種重建（數(shù)學(xué)90

對(duì)于構(gòu)造主義者來(lái)說(shuō)，知識(shí)必須通過(guò)構(gòu)造主義邏輯的構(gòu)造性證明加以確立。數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)或?qū)ο蟮囊饬x應(yīng)通過(guò)這一形式過(guò)程，使得數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)或?qū)ο蟮靡詷?gòu)造出來(lái)。

直覺(jué)主義是構(gòu)造主義的代表。其不僅無(wú)法解釋非構(gòu)造性經(jīng)典數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，而且否定它的有效性。既沒(méi)有證實(shí)經(jīng)典數(shù)學(xué)所面臨的無(wú)法回避的問(wèn)題，也沒(méi)有說(shuō)明經(jīng)典數(shù)學(xué)的非協(xié)調(diào)性和非真實(shí)性。事實(shí)上，其綱領(lǐng)提出后，經(jīng)典的純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)的走勢(shì)越來(lái)越強(qiáng)，因此直覺(jué)主義遭到人們的拒絕。對(duì)于構(gòu)造主義者來(lái)說(shuō)，知識(shí)必須通過(guò)構(gòu)造主義邏輯913．可誤主義觀

可誤主義觀：數(shù)學(xué)真理是可誤的且是可以糾正的，決不能把數(shù)學(xué)知識(shí)看作是不能糾正或更改的真理。反面的表達(dá)形式：

數(shù)學(xué)知識(shí)不是絕對(duì)真理，它沒(méi)有絕對(duì)有效性。

正面的表達(dá)形式：

數(shù)學(xué)知識(shí)中可糾正的且永遠(yuǎn)要接受更正。其代表人物是Lakatos。

3．可誤主義觀可誤主義觀：數(shù)學(xué)真理是可誤的且是可以92三、數(shù)學(xué)哲學(xué)的重新認(rèn)識(shí)

上面我們是在這樣的假設(shè)下進(jìn)行思考的：數(shù)學(xué)知識(shí)是一組附有證明的命題形式的真理，而數(shù)學(xué)哲學(xué)的功能就是建立這種知識(shí)的可靠性。當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)這一假設(shè)站不住腳時(shí)，就不得不重新考慮數(shù)學(xué)哲學(xué)的本質(zhì)。什么是數(shù)學(xué)哲學(xué)的功能和范圍呢？

數(shù)學(xué)哲學(xué)不應(yīng)僅考慮其“內(nèi)在問(wèn)題”，而應(yīng)把數(shù)學(xué)放在人類思想和人類歷史的大背景中來(lái)考慮。數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)該全面考慮人類創(chuàng)造知識(shí)的環(huán)境和數(shù)學(xué)的歷史根源。

如果認(rèn)識(shí)論僅注重單一靜態(tài)的知識(shí)形式，而忽略知識(shí)發(fā)展的動(dòng)態(tài)，那么它就不能恰當(dāng)?shù)亟忉屩R(shí)。三、數(shù)學(xué)哲學(xué)的重新認(rèn)識(shí)上面我們是在這樣的假設(shè)下進(jìn)93絕對(duì)主義觀和可誤主義觀比較絕對(duì)主義觀：注重終結(jié)的或展現(xiàn)了的知識(shí)，以及知識(shí)的基礎(chǔ)和判定；把知識(shí)看作一種客觀成果的知識(shí)，常根本否定涉及知識(shí)發(fā)生的哲學(xué)合理性，并把知識(shí)發(fā)生問(wèn)題推給心理學(xué)和社會(huì)科學(xué)（構(gòu)造主義除外）。可誤主義觀：注重知識(shí)發(fā)生和人類對(duì)創(chuàng)造知識(shí)的貢獻(xiàn)；能認(rèn)識(shí)到出錯(cuò)在數(shù)學(xué)中的作用。絕對(duì)主義觀和可誤主義觀比較絕對(duì)主義觀：注重終結(jié)的或展現(xiàn)了的知94絕對(duì)主義觀：

數(shù)學(xué)（連同邏輯）占有作為唯一可靠知識(shí)領(lǐng)域的地位，數(shù)學(xué)只依賴嚴(yán)格的證明，同時(shí)還否認(rèn)數(shù)學(xué)與歷史、知識(shí)發(fā)生以及人類環(huán)境條件相關(guān)的內(nèi)在聯(lián)系，這一切助長(zhǎng)了把數(shù)學(xué)當(dāng)作單獨(dú)的分離學(xué)科的觀點(diǎn)。可誤主義觀：

可誤主義把更多的內(nèi)容納入了數(shù)學(xué)哲學(xué)的范圍。由于數(shù)學(xué)是可誤的，因此認(rèn)為數(shù)學(xué)絕不能與物理學(xué)及其他科學(xué)的經(jīng)驗(yàn)（因而是可誤的）知識(shí)相分離?？烧`主義注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生及結(jié)果，從而把數(shù)學(xué)看作是歷史及人類實(shí)踐的組成部分。數(shù)學(xué)不能脫離人類學(xué)和社會(huì)科學(xué)，或者一般地看作人類文化的一部分。數(shù)學(xué)與人類的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)相關(guān)，是其不可分割的一部分。絕對(duì)主義觀：數(shù)學(xué)（連同邏輯）占有作為唯一可靠知識(shí)領(lǐng)95絕對(duì)主義觀：數(shù)學(xué)是客觀存在，無(wú)所謂價(jià)值，僅涉及數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在邏輯。僅從數(shù)學(xué)內(nèi)部考慮問(wèn)題，因此把數(shù)學(xué)當(dāng)作是客觀的、絕對(duì)超道德的人性價(jià)值的知識(shí)。

可誤主義觀：

數(shù)學(xué)充滿著像其他知識(shí)領(lǐng)域或人類奮斗一樣的人性價(jià)值。通過(guò)數(shù)學(xué)歷史和社會(huì)淵源，把數(shù)學(xué)與其他人類聯(lián)系在一起，認(rèn)為數(shù)學(xué)賦有價(jià)值，充滿道德價(jià)值和社會(huì)價(jià)值，這些價(jià)值在數(shù)學(xué)應(yīng)用和發(fā)展中發(fā)揮著重要作用。絕對(duì)主義觀：數(shù)學(xué)是客觀存在，無(wú)所謂價(jià)值，僅96數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)解釋（1）數(shù)學(xué)知識(shí)（它的本質(zhì)、判定和生成）；一種合適的數(shù)學(xué)哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)：過(guò)去對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)是研究數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯基礎(chǔ)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)掩蓋了數(shù)學(xué)哲學(xué)的上述任務(wù)。（2）數(shù)學(xué)對(duì)象（它們的本質(zhì)和根源）；（3）數(shù)學(xué)應(yīng)用（在科學(xué)、技術(shù)和其他領(lǐng)域中數(shù)學(xué)的有效性）；（4）數(shù)學(xué)實(shí)踐（數(shù)學(xué)家的活動(dòng)：現(xiàn)在的和過(guò)去的）。數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)解釋一種合適的數(shù)學(xué)哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)：過(guò)去對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)97運(yùn)用新標(biāo)準(zhǔn)對(duì)各哲學(xué)學(xué)派作進(jìn)一步分析：A絕對(duì)主義學(xué)派

他們的任務(wù)本應(yīng)解釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)，包括解釋諸如數(shù)學(xué)運(yùn)用和數(shù)學(xué)生成等外在的社會(huì)及歷史因素。由于三大學(xué)派狹隘、排他的固有偏見(jiàn)，因而他們不可能以寬廣的思路去構(gòu)想并表達(dá)數(shù)學(xué)（直覺(jué)主義可能除外）。他們不僅不能達(dá)到自己選擇的基礎(chǔ)主義的目標(biāo)，而且即使達(dá)到了，其數(shù)學(xué)哲學(xué)對(duì)于新標(biāo)準(zhǔn)來(lái)說(shuō)仍是不夠恰當(dāng)?shù)摹?/p>

運(yùn)用新標(biāo)準(zhǔn)對(duì)各哲學(xué)學(xué)派作進(jìn)一步分析：A絕對(duì)主義學(xué)派98B進(jìn)步絕對(duì)主義（相對(duì)形式絕對(duì)主義而言）

不同的絕對(duì)主義概念的關(guān)鍵在于它們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和理論采取靜態(tài)還是動(dòng)態(tài)觀。形式主義和邏輯主義是形式絕對(duì)主義，他們承認(rèn)在數(shù)學(xué)公理基礎(chǔ)上能夠發(fā)現(xiàn)和證明數(shù)學(xué)理論的新定理。而他們既不觸及數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)造或變化，也不觸及非形式數(shù)學(xué)，更不用說(shuō)觸及人類的作用。根據(jù)他們的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)不過(guò)由固定、形式的理論所組成。B進(jìn)步絕對(duì)主義（相對(duì)形式絕對(duì)主義而言）不同的絕對(duì)99進(jìn)步絕對(duì)主義哲學(xué)：（1）接受公理理論的創(chuàng)造和變化；（2）由于需要數(shù)學(xué)直覺(jué)作為理論創(chuàng)造的基礎(chǔ)，因而承認(rèn)純形式數(shù)學(xué)之外還有其他類型的數(shù)學(xué)存在；（3）承認(rèn)新知識(shí)和理論創(chuàng)造中人類活動(dòng)和活動(dòng)的結(jié)果。進(jìn)步絕對(duì)主義哲學(xué)：（1）接受公理理論的創(chuàng)造和變化；（2）由于100C柏拉圖主義

柏拉圖主義觀把數(shù)學(xué)對(duì)象當(dāng)作某個(gè)理念領(lǐng)域里的真實(shí)、客觀存在。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和對(duì)象不依賴于人類而真實(shí)存在，做數(shù)學(xué)即是發(fā)現(xiàn)這些結(jié)構(gòu)和對(duì)象的先驗(yàn)存在關(guān)系的過(guò)程。數(shù)學(xué)知識(shí)是由這些對(duì)象以及對(duì)其關(guān)系和結(jié)構(gòu)的描述所組成。缺陷：（1）沒(méi)有恰當(dāng)?shù)亟忉寯?shù)學(xué)家們?nèi)绾潍@得柏拉圖王國(guó)中的知識(shí)；（2）既不內(nèi)在也不可外在地恰當(dāng)?shù)亟忉寯?shù)學(xué)。真實(shí)性、客觀存在性、似自主性——即數(shù)學(xué)服從于自身的內(nèi)在規(guī)律和邏輯）C柏拉圖主義柏拉圖主義觀把數(shù)學(xué)對(duì)象當(dāng)作某個(gè)101D約定主義

數(shù)學(xué)約定主義觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)和真理基于語(yǔ)言約定。特別認(rèn)為邏輯和數(shù)學(xué)的真理性，可根據(jù)所涉及的術(shù)語(yǔ)的意義加以分析。把語(yǔ)言約定作為基本數(shù)學(xué)定理的根基，數(shù)學(xué)大廈建構(gòu)在這一根基上。它指明了數(shù)學(xué)的基本社會(huì)性質(zhì)。D約定主義數(shù)學(xué)約定主義觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)和真理102E經(jīng)驗(yàn)主義

數(shù)學(xué)真理是經(jīng)驗(yàn)的概括。數(shù)學(xué)概念起源于經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)真理可用經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷，即數(shù)學(xué)真理來(lái)自于對(duì)物理世界的觀察。E經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)真理是經(jīng)驗(yàn)的概括。數(shù)學(xué)概念起源于經(jīng)驗(yàn)。103F擬經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家做的或曾經(jīng)做過(guò)的事情，它具有任何人類活動(dòng)或創(chuàng)造所固有的不完善性。擬經(jīng)驗(yàn)主義把數(shù)學(xué)實(shí)踐放在首位。

擬經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)觀要點(diǎn)：數(shù)學(xué)是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)人與人之間的對(duì)話。數(shù)學(xué)是可誤的，決不可認(rèn)為數(shù)學(xué)結(jié)果（包括概念和證明）是最終的或完善的，它們可以嚴(yán)密性的標(biāo)準(zhǔn)的變化，或隨著新的挑戰(zhàn)、新意義的產(chǎn)生，而需要重新商榷。由于數(shù)學(xué)是人類的活動(dòng)，因此我們就不能把它與它的歷史以及在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用割裂開(kāi)來(lái)。擬經(jīng)驗(yàn)主義代表著“近代數(shù)學(xué)哲學(xué)中經(jīng)驗(yàn)主義的復(fù)興”。F擬經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家做的或曾經(jīng)做過(guò)的事情，104擬經(jīng)驗(yàn)主義的五個(gè)觀點(diǎn)：

（1）數(shù)學(xué)是可誤的；（2）數(shù)學(xué)是假設(shè)-演繹的；（3）歷史是核心；（4）斷定非形式數(shù)學(xué)的首要性；（5）知識(shí)創(chuàng)造理論。

擬經(jīng)驗(yàn)主義的五個(gè)觀點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)是可誤的；（2）數(shù)學(xué)是假設(shè)105數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)或非形式化數(shù)學(xué)理論的發(fā)展有一個(gè)簡(jiǎn)單模式，它包括下列步驟：

（1）最初設(shè)想；（2）證明；（3）產(chǎn)生“總體”反例（最初設(shè)想的反例）；（4）重新檢驗(yàn)證明；（5）檢查其他定理的證明，以便觀察在這些證明中是否出現(xiàn)那個(gè)新發(fā)現(xiàn)的引理或那個(gè)新的產(chǎn)生于證明的概念；或許發(fā)現(xiàn)這個(gè)概念處于不同證明的交合處，出現(xiàn)這種情況帶有基本重要的意義；（6）檢驗(yàn)?zāi)切┦芘g的最初設(shè)想的而迄今仍被承認(rèn)的結(jié)果；（7）反例變成新例子——開(kāi)辟新的研究領(lǐng)域。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)或非形式化數(shù)學(xué)理論的發(fā)展有一個(gè)簡(jiǎn)單（1）最初106

Lakatos的數(shù)學(xué)哲學(xué)的實(shí)質(zhì)在于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生論，這是數(shù)學(xué)實(shí)踐的理論，所以也是數(shù)學(xué)歷史的理論。Lakatos未指出數(shù)學(xué)創(chuàng)造或發(fā)現(xiàn)的心理學(xué)理論，因?yàn)樗麤](méi)有研究個(gè)體頭腦中的公理、定義和猜想的起因，而注重于將個(gè)人的創(chuàng)造轉(zhuǎn)換成大家承認(rèn)的公開(kāi)的數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)過(guò)程——一個(gè)主要包括批判和再形成的過(guò)程。擬經(jīng)驗(yàn)主義部分地論述了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、它的發(fā)生和判定。

Lakatos把數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)解釋成假設(shè)——演繹式的、擬經(jīng)驗(yàn)的，形成了與波普爾的科學(xué)哲學(xué)極其想像的結(jié)果。

Lakatos的數(shù)學(xué)哲學(xué)的實(shí)質(zhì)在于數(shù)學(xué)知識(shí)的107Lakatos哲學(xué)一個(gè)關(guān)鍵長(zhǎng)處在于它不是規(guī)定性的而是表述性的，他努力表述數(shù)學(xué)的本來(lái)面目，而不是表述它應(yīng)該如何加以實(shí)踐數(shù)學(xué)。缺陷：沒(méi)有解釋數(shù)學(xué)的可靠性，沒(méi)有論述數(shù)學(xué)對(duì)象或其發(fā)生的本質(zhì)，沒(méi)有解釋應(yīng)用數(shù)學(xué)的本質(zhì)，沒(méi)有證實(shí)把數(shù)學(xué)史作為其數(shù)學(xué)哲學(xué)的實(shí)質(zhì)點(diǎn)的這種做法的合理性。Lakatos哲學(xué)一個(gè)關(guān)鍵長(zhǎng)處在于它不是規(guī)定性的108四、作為數(shù)學(xué)哲學(xué)的社會(huì)建構(gòu)主義

社會(huì)建構(gòu)主義將數(shù)學(xué)視為社會(huì)的建構(gòu)，它吸取了約定主義的思想，承認(rèn)人類知識(shí)、規(guī)則和約定對(duì)數(shù)學(xué)真理的確定和判定起著關(guān)鍵作用。它汲取擬經(jīng)驗(yàn)主義的可誤主義認(rèn)識(shí)論，其中包括數(shù)學(xué)知識(shí)和概念是發(fā)展和變化的思想。它還采納Lakatos的哲學(xué)論點(diǎn)，即按照一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯，數(shù)學(xué)知識(shí)在猜想和反駁中得到發(fā)展。社會(huì)建構(gòu)主義相對(duì)規(guī)定性哲學(xué)來(lái)說(shuō)是一種描述性數(shù)學(xué)哲學(xué)，旨在合適的標(biāo)準(zhǔn)下解釋普遍所理解的數(shù)學(xué)的本質(zhì)。四、作為數(shù)學(xué)哲學(xué)的社會(huì)建構(gòu)主義社會(huì)建構(gòu)主義將數(shù)學(xué)視109之所以采用社會(huì)建構(gòu)的說(shuō)法，其依據(jù)是：（1）數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)是語(yǔ)言知識(shí)、約定和規(guī)則，而語(yǔ)言是一種社會(huì)建構(gòu)。（2）個(gè)人的主觀數(shù)學(xué)知識(shí)公布后轉(zhuǎn)化為使人接受的客觀數(shù)學(xué)知識(shí)，這需要人際交往的社會(huì)過(guò)程。（3）客觀性本身應(yīng)理解為社會(huì)的。之所以采用社會(huì)建構(gòu)的說(shuō)法，其依據(jù)是：（1）數(shù)學(xué)知識(shí)的基110像擬經(jīng)驗(yàn)主義一樣，社會(huì)建構(gòu)主義的核心是數(shù)學(xué)知識(shí)的生成，而不是數(shù)學(xué)知識(shí)的判定。新知識(shí)可以是主觀知識(shí)或客觀知識(shí)，其獨(dú)到之處在于同時(shí)考慮這兩種知識(shí)形式，并將主觀知識(shí)和客觀知識(shí)循環(huán)聯(lián)系起來(lái)，其中每一個(gè)促進(jìn)另一個(gè)的更新。在這個(gè)循環(huán)中，新的主觀知識(shí)從主觀知識(shí)（個(gè)體的個(gè)人創(chuàng)造）開(kāi)始，經(jīng)發(fā)表而形成客觀知識(shí)（通過(guò)主體間的審視、再形成和接受）。像擬經(jīng)驗(yàn)主義一樣，社會(huì)建構(gòu)主義的核心是數(shù)學(xué)知識(shí)111在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中客觀知識(shí)被個(gè)體內(nèi)化和再建構(gòu)，成為個(gè)體的主觀知識(shí)。根據(jù)這個(gè)知識(shí)，個(gè)體創(chuàng)造并發(fā)表新的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而形成循環(huán)。因此數(shù)學(xué)主觀知識(shí)和客觀知識(shí)彼此促成對(duì)方的產(chǎn)生和再產(chǎn)生。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中客觀知識(shí)被個(gè)體內(nèi)化和再建構(gòu)，成為112知識(shí)產(chǎn)生的社會(huì)建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)的基本假說(shuō)：

（1）個(gè)體具有主觀數(shù)學(xué)知識(shí)（再建構(gòu)的客觀知識(shí)和新創(chuàng)造的主觀數(shù)學(xué)知識(shí)）。（2）發(fā)表是主觀數(shù)學(xué)知識(shí)變成客觀知識(shí)所必要的。

（3）發(fā)表的數(shù)學(xué)知識(shí)歷經(jīng)Lakatos所說(shuō)的啟發(fā)式過(guò)程變?yōu)榭陀^的知識(shí)（社會(huì)性的接受）。（4）啟發(fā)式過(guò)程取決于客觀標(biāo)準(zhǔn)（即審視、評(píng)判數(shù)學(xué)知識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)）。

知識(shí)產(chǎn)生的社會(huì)建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)的基本假說(shuō)：（1）個(gè)體具113（5）評(píng)判發(fā)表了的數(shù)學(xué)知識(shí)，其客觀標(biāo)準(zhǔn)是建立在客觀語(yǔ)言知識(shí)及數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上。（6）數(shù)學(xué)主觀知識(shí)根本上是內(nèi)化了的，再建構(gòu)了的客觀知識(shí)。

（7）在數(shù)學(xué)知識(shí)的增添、再建或再現(xiàn)方面，個(gè)人能夠發(fā)揮作用。

（5）評(píng)判發(fā)表了的數(shù)學(xué)知識(shí)，其客觀標(biāo)準(zhǔn)是建（6）1141.客觀知識(shí)和主觀知識(shí)

我們稱物質(zhì)世界為“第一世界”，我們的意識(shí)經(jīng)驗(yàn)世界為“第二世界”，書(shū)本、圖書(shū)館、電腦以及類似東西中的邏輯內(nèi)容為“第三世界”。

主觀知識(shí)是第二世界的知識(shí)，客觀知識(shí)是第三世界的知識(shí)，它包括人類思想的產(chǎn)物，如發(fā)表的定理、對(duì)這些定理中有關(guān)問(wèn)題的討論以及定理證明；客觀知識(shí)是由人創(chuàng)造的、是變化的。對(duì)于客觀知識(shí)是指共有的、主體間的知識(shí)，即使是隱含、未充分表達(dá)清楚的也算在其中。

1.客觀知識(shí)和主觀知識(shí)我們稱物質(zhì)世界為“第一世界”115客觀數(shù)學(xué)知識(shí)的作用：

根據(jù)社會(huì)建構(gòu)主義的看法，公開(kāi)了的數(shù)學(xué)，即在公開(kāi)領(lǐng)域中用符號(hào)表現(xiàn)的數(shù)學(xué)有可能成為客觀知識(shí)。把Lakatos的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)邏輯用于公開(kāi)了的數(shù)學(xué)，這是一個(gè)獲得社會(huì)承認(rèn)進(jìn)而獲得客觀性的過(guò)程。數(shù)學(xué)公理、定理、猜想以及證明一旦形成并公開(kāi)（即使是口頭上），自動(dòng)的（即社會(huì)承認(rèn)的）啟發(fā)即開(kāi)始進(jìn)行?？陀^數(shù)學(xué)知識(shí)的作用：根據(jù)社會(huì)建構(gòu)主義的看法，公開(kāi)了116無(wú)論這個(gè)過(guò)程還是它的結(jié)果都是為社會(huì)所接受的，因而是客觀的。同樣獲得社會(huì)性承認(rèn)的語(yǔ)言、邏輯約定和規(guī)則（隱含的或明確的）也是客觀的，這些約定和規(guī)則是啟發(fā)式過(guò)程的依據(jù)。根據(jù)約定主義觀，我們斷言，正是這些約定和規(guī)則構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)（包括邏輯）的基礎(chǔ)，因?yàn)樗鼈兲峁┝诉壿嫼蛿?shù)學(xué)定義的根據(jù)，同樣也提供了邏輯和數(shù)學(xué)公理及規(guī)則的依據(jù)。無(wú)論這個(gè)過(guò)程還是它的結(jié)果都是為社會(huì)所接受的，因117數(shù)學(xué)主觀知識(shí)的作用：主觀知識(shí)維持并更新著客觀知識(shí)，不管是數(shù)學(xué)、邏輯或語(yǔ)言的知識(shí)。主觀知識(shí)在社會(huì)建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)中居于核心地位。數(shù)學(xué)主觀知識(shí)的作用：主觀知識(shí)維持并更新著客觀知識(shí)，1182.社會(huì)建構(gòu)學(xué)說(shuō)對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)解釋：

A數(shù)學(xué)的客觀性

通過(guò)對(duì)絕對(duì)主義的有力批判，我們接受了數(shù)學(xué)知識(shí)的可誤性。數(shù)學(xué)知識(shí)的可誤性是社會(huì)建構(gòu)主義的核心假說(shuō)，然而，人們?nèi)匀黄毡榘褦?shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)對(duì)象的客觀性作為數(shù)學(xué)的特性，所以任何一個(gè)數(shù)學(xué)哲學(xué)都必須對(duì)此作出解釋。我們已經(jīng)明確，客觀性應(yīng)理解為在于公眾，在于主體之間的約定，即客觀性是社會(huì)的。因此數(shù)學(xué)的客觀性即是說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)和對(duì)象是自主存在的，對(duì)于這個(gè)存在，主體間是有約定的，而與任何個(gè)體的主觀知識(shí)無(wú)關(guān)。為數(shù)學(xué)客觀性提供基礎(chǔ)的基質(zhì)是語(yǔ)言。2.社會(huì)建構(gòu)學(xué)說(shuō)對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)解釋：A數(shù)學(xué)的客觀性119B數(shù)學(xué)對(duì)象

數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性是社會(huì)性的，它建立在人們對(duì)語(yǔ)言規(guī)則的接受上，而語(yǔ)言規(guī)則是人們交流所必須的。社會(huì)性接受也是數(shù)學(xué)對(duì)象獨(dú)立存在的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)對(duì)象具有客觀實(shí)在性?？陀^的數(shù)學(xué)定義和真理明確決定數(shù)學(xué)對(duì)象的規(guī)則和性質(zhì)。這就使它們具有同其他社會(huì)概念一樣多的客觀存在意義。正如普通語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)具有社會(huì)存在意義一樣，數(shù)學(xué)對(duì)象通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性而獲得了穩(wěn)定性（即定義的穩(wěn)定性），接著又使自己得到了永久性和客觀存在性。數(shù)學(xué)對(duì)象的客觀性是不可避免地伴隨著對(duì)某些論題形式的承認(rèn)而來(lái)的本體論的承諾。

B數(shù)學(xué)對(duì)象數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性是社會(huì)性的，它建立120數(shù)學(xué)對(duì)象也有不同，從描述感知世界的自然語(yǔ)言中相對(duì)具體的事物，到抽象的數(shù)學(xué)理論實(shí)體，許多東西離其基礎(chǔ)都相當(dāng)遠(yuǎn)了。

許多初等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和概念都是在現(xiàn)實(shí)世界中有實(shí)例和具體的應(yīng)用，因?yàn)樗鼈兪怯靡悦枋鲎匀唬ㄉ鐣?huì)）世界的語(yǔ)言的一部分。用說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)是客觀知識(shí)的同樣方式可以說(shuō)明數(shù)學(xué)對(duì)象是客觀的，它們是普通的語(yǔ)言對(duì)象，其中有些是具體的，但多數(shù)是抽象的。

數(shù)學(xué)對(duì)象也有不同，從描述感知世界的自然語(yǔ)言中相121C數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生

承認(rèn)數(shù)學(xué)是社會(huì)建構(gòu)的，就是承認(rèn)客觀數(shù)學(xué)知識(shí)是人類的產(chǎn)物。個(gè)體的數(shù)學(xué)思想是主觀思想，書(shū)寫是典型的表現(xiàn)形式。經(jīng)過(guò)公開(kāi)的批判審視，一經(jīng)公布的主觀思想變成了客觀思想，其關(guān)鍵在于社會(huì)的接受。數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的決定性特征是從公開(kāi)表示的（主觀）數(shù)學(xué)知識(shí)向客觀知識(shí)的轉(zhuǎn)換，即變成社會(huì)接受的數(shù)學(xué)知識(shí)。這一轉(zhuǎn)換取決于能否經(jīng)受公開(kāi)審視和批判的過(guò)程。C數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生承認(rèn)數(shù)學(xué)是社會(huì)建構(gòu)的，就是承122D數(shù)學(xué)創(chuàng)造的多樣性

某些知識(shí)的增加形成了內(nèi)容上的增加，而另外一些知識(shí)卻是現(xiàn)有知識(shí)的再構(gòu)造或再闡述。數(shù)學(xué)家是在已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)理論下從事工作，許多工作是在理論的現(xiàn)有方面發(fā)展新結(jié)果，或把理論中的現(xiàn)有方法用于一些問(wèn)題。如果這些工作富有成果，那么就會(huì)使數(shù)學(xué)知識(shí)在整體上有所增加。D數(shù)學(xué)創(chuàng)造的多樣性某些知識(shí)的增加形成了內(nèi)容上的123數(shù)學(xué)家還把一個(gè)理論中的概念和方法用于另一個(gè)理