（渝皖瓊）2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 2 直觀圖學(xué)案 北師大版2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE12學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2直觀圖學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握斜二測畫法的作圖規(guī)則。2.會(huì)用斜二測畫法畫出簡單幾何體的直觀圖．知識(shí)點(diǎn)斜二測畫法思考1邊長2cm的正方形ABCD水平放置的直觀圖如下,在直觀圖中，A′B′與C′D′有何關(guān)系？A′D′與B′C′呢?在原圖與直觀圖中,AB與A′B′相等嗎？AD與A′D′呢？答案A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB,A′D′＝eq\f(1,2）AD.思考2正方體ABCD－A1B1C1D1的直觀圖如圖所示,在此圖形中各個(gè)面都畫成正方形了嗎？答案沒有都畫成正方形．梳理（1)水平放置的平面圖形直觀圖的畫法斜二測畫法規(guī)則：①在已知圖形中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，畫直觀圖時(shí),它們分別對(duì)應(yīng)x′軸和y′軸,兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°,它們確定的平面表示水平平面．②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變;平行于y軸的線段，長度為原來的eq\f(1，2）.(2)立體圖形直觀圖的畫法1．用斜二測畫法畫水平放置的∠A時(shí),若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸,且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°。(×）2．用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線段在直觀圖中仍平行，且長度不變．（×）3．在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變．（×)類型一水平放置的平面圖形的直觀圖例1畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖．考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖解畫法：(1）在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸,垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫出相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°,如圖（1)(2）所示；(2）在x′軸上截取O′B′＝OB,在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1，2)OD，過點(diǎn)D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC。連接B′C′，如圖（2）；(3）去掉輔助線，所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖（3)．引申探究若得本例中的直角梯形改為等腰梯形，畫出其直觀圖．解畫法:(1）如圖所示,取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°;（2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq\f(1，2)OE，以E′為中點(diǎn)畫出C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD；（3）連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．反思與感悟在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí),選取適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn)．原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來作出其對(duì)應(yīng)線段．關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后,只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可．跟蹤訓(xùn)練1已知正五邊形ABCDE，如圖，試畫出其直觀圖．考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖解畫法:（1)在圖（1）中作AG⊥x軸于點(diǎn)G，作DH⊥x軸于點(diǎn)H。（2）在圖（2)中畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在圖（2)中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH,y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2）OE,分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G′A′＝eq\f（1，2)GA，H′D′＝eq\f（1,2）HD.（4)連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′,H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖(3))．類型二直觀圖的還原與計(jì)算例2如圖所示,梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f（2,3）C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1。試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積．考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)由直觀圖還原平面圖形解如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在過點(diǎn)D的y軸的平行線上截取DA＝2D1A1＝2。在過點(diǎn)A的x軸的平行線上截取AB＝A1B1＝2。連接BC,即得到了原圖形．由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2,CD＝3,直角腰的長度AD＝2，所以面積為S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.反思與感悟（1)由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸，y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時(shí)長度不變，平行于y′軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍,由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn),順次連接即可．(2)若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2)，4)S或S＝2eq\r（2)S′。利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．跟蹤訓(xùn)練2（1）如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是(）A.eq\f(1，2)B。eq\f(\r(2)，2）C.eq\r（2）D．2eq\r（2）考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案C解析直觀圖中等腰直角三角形直角邊長為1，因此面積為eq\f（1,2），又直觀圖與原平面圖形面積比為eq\r（2)∶4，所以原圖形的面積為eq\r(2），故選C.（2）如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm,則原圖形是________．（填四邊形的形狀）考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)由直觀圖還原平面圖形答案菱形解析如圖所示，在原圖形OABC中，應(yīng)有OA＝O′A′＝6（cm),OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2）＝4eq\r(2)(cm）,CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝eq\r（OD2＋CD2）＝eq\r(4\r(2）2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，又OA∥BC，OA＝BC，故四邊形OABC是菱形．類型三簡單幾何體的直觀圖例3畫出底面是正方形,側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖．考點(diǎn)簡單幾何體的直觀圖題點(diǎn)簡單幾何體的直觀圖解畫法：(2)畫底面，以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi)，畫出正方形直觀圖ABCD。（3）畫頂點(diǎn)．在Oz軸上截取OP使OP的長度是原四棱錐的高．（4)成圖．順次連接PA,PB，PC，PD，并擦去輔助線,將被遮住的部分改為虛線,得四棱錐的直觀圖如圖②。反思與感悟簡單幾何體直觀圖的畫法（1）畫軸:通常以高所在直線為z軸建系．（2）畫底面:根據(jù)平面圖形直觀圖的畫法確定底面．(3）確定頂點(diǎn)：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn)．(4）連線成圖．跟蹤訓(xùn)練3用斜二測畫法畫棱長為2cm的正方體ABCD－A′B′C′D′的直觀圖．考點(diǎn)簡單幾何體的直觀圖題點(diǎn)簡單幾何體的直觀圖解畫法：（1)畫軸．如圖①，畫x軸，y軸，z軸,三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°。（2）畫底面．以點(diǎn)O為中心,在x軸上取線段MN，使MN＝2cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝1cm。分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B,C，D,四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD。(3）畫側(cè)棱．過A，B,C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線,并在這些平行線上沿Oz軸方向分別截取2cm長的線段AA′，BB′，CC′,DD′。(4）成圖．順次連接A′，B′，C′,D′,并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，得到正方體的直觀圖（如圖②）．1．利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，圖中正確的是()考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖答案C解析正方形的直觀圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為2∶1。2．下列關(guān)于直觀圖的說法不正確的是(）A．原圖形中平行于y軸的線段，對(duì)應(yīng)線段平行于直觀圖中y′軸，長度不變B．原圖形中平行于x軸的線段,對(duì)應(yīng)線段平行于直觀圖中x′軸，長度不變C．在畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的x′O′y′時(shí)，∠x′O′y′可以畫成45°D．在畫直觀圖時(shí),由于選軸的不同所畫的直觀圖可能不同考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖答案A解析平行于y軸的線段,直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?故選A。3．有一個(gè)長為5cm，寬為4cm的矩形，則其用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為________cm2.考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案5eq\r(2）解析該矩形直觀圖的面積為eq\f（\r(2)，4)×5×4＝5eq\r(2)（cm2)．4．如圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實(shí)際長度是________．考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案10解析在原圖中，AC＝6，BC＝4×2＝8,∠AOB＝90°，∴AB＝eq\r(62＋82)＝10。5．畫出一個(gè)正三棱臺(tái)的直觀圖．（尺寸:上、下底面邊長分別為1cm,2cm，高為2cm)考點(diǎn)簡單幾何體的直觀圖題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)的直觀圖解畫法：（1)作水平放置的下底面等邊三角形的直觀圖△ABC,其中O為△ABC的重心，BC＝2cm，線段AO與x軸的夾角為45°，AO＝2OD。（2）過O作z軸，使∠xOz＝90°，在Oz軸上截取OO′＝2cm，作上底面等邊三角形的直觀圖△A′B′C′，其中B′C′＝1cm，連接AA′，BB′，CC′，得正三棱臺(tái)的直觀圖．1．畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點(diǎn)．確定點(diǎn)的位置,可采用直角坐標(biāo)系．建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是迅速作出直觀圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對(duì)稱性,并讓頂點(diǎn)盡量多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線上．2．用斜二測畫法畫圖時(shí)要緊緊把握?。骸耙恍?、“二測”兩點(diǎn):（1）一斜：平面圖形中互相垂直的Ox、Oy軸，在直觀圖中畫成O′x′、O′y′軸,使∠x′O′y′＝45°.(2）二測：在直觀圖中平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度取一半，記為“橫不變，縱折半"。一、選擇題1．關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是(）A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B．正方形的直觀圖為平行四邊形C．梯形的直觀圖不是梯形D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖答案B解析由直觀圖的性質(zhì)知，B正確．2．若把一個(gè)高為10cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上,則圓柱的高應(yīng)畫成(）A．平行于z′軸且長度為10cmB．平行于z′軸且長度為5cmC．與z′軸成45°且長度為10cmD．與z′軸成45°且長度為5cm考點(diǎn)簡單幾何體的直觀圖題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)的直觀圖答案A解析由直觀圖的性質(zhì)知，與z軸平行的線段長度不變，高與原長相等．3．如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的（)考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)由直觀圖還原平面圖形答案C解析在x軸上或與x軸平行的線段在新坐標(biāo)系中的長度不變，在y軸上或平行于y軸的線段在新坐標(biāo)系中的長度變?yōu)樵瓉淼膃q\f（1,2），并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°,因此由直觀圖還原成原圖形為選項(xiàng)C。4．下面每個(gè)選項(xiàng)的2個(gè)邊長為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是（)考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖答案C解析可分別畫出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論．5．已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形,其中有一邊長為4,則此正方形的面積為（）A．16 B．64C．16或64 D．無法確定考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案C解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8,所以正方形的面積為16或64.6．水平放置的△ABC,有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是正三角形A′B′C′，則△ABC是(）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．任意三角形考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)由直觀圖還原平面圖形答案C解析如圖所示，斜二測直觀圖還原為平面圖形，故△ABC是鈍角三角形．7。用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示,AB平行于y′軸，BC，AD平行于x′軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2）cm2，則原平面圖形的面積為（)A．4cm2 B．4eq\r(2)cm2C．8cm2 D．8eq\r(2)cm2考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案C解析依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，且上下底邊的長分別與BC，AD相等,高為梯形ABCD的高的2eq\r(2）倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.8．已知兩個(gè)底面半徑相等的圓錐，底面重合在一起（底面平行于水平面)，其中一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為2cm，另一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為3cm，則其直觀圖中這兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為（）A．2cmB．3cmC．2.5cmD．5cm考點(diǎn)簡單幾何體的直觀圖題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)的直觀圖答案D解析圓錐頂點(diǎn)到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點(diǎn)間距離為2＋3＝5(cm），在直觀圖中與z軸平行的線段長度不變，仍為5cm。故選D。二、填空題9．水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示,已知B′C′＝4，A′C′＝3,B′C′∥y′軸，則△ABC中AB邊上的中線的長度為________．考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案eq\f(\r(73)，2）解析由斜二測畫法規(guī)則知AC⊥BC，即△ABC為直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝eq\r(73），AB邊上的中線長度為eq\f（\r（73），2)。10．在如圖所示的直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2cm，則在坐標(biāo)系xOy中原四邊形OABC為______(填形狀)，面積為________cm2?？键c(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案矩形8解析由題意結(jié)合斜二測畫法，可得四邊形OABC為矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四邊形OABC的面積為S＝2×4＝8（cm2)．11．如圖所示,四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測畫法畫出這個(gè)梯形的直觀圖O′A′B′C′,則在直觀圖中，梯形的高為________．考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案eq\f(\r（2),2)解析作CD，BE⊥OA于點(diǎn)D，E，則OD＝EA＝eq\f(OA－BC，2)＝2，又∠COD＝45°，∴OD＝CD＝2，∴在直觀圖中梯形的高為2×eq\f(1,2）×sin45°＝eq\f（\r(2）,2)。三、解答題12．如圖所示,畫出水平放置的四邊形OBCD的直觀圖．考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖解畫法：（1）過點(diǎn)C作CE⊥x軸,垂足為E，如圖(1)所示．畫出對(duì)應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(2)所示；（2)如圖(2)所示，在x′軸正半軸上取點(diǎn)B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE。在y′正半軸上取一點(diǎn)D′，使得O′D′＝eq\f(1,2）OD。過E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝eq\f（1，2）EC;（3）連接B′C′，C′D′,并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線,如圖（3)所示，四邊形O′B′C′D′就是所得直觀圖．13．一個(gè)機(jī)器部件,它的下面是一個(gè)圓柱,上面是一個(gè)圓錐,并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合,圓柱的底面直徑為3cm,高為3cm,圓錐的高為3cm，畫出此機(jī)器部件的直觀圖．考點(diǎn)