2020高中數(shù)學 2.1.1 橢圓及其標準方程（2）（含解析）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)11橢圓及其標準方程(2)知識點一橢圓定義的綜合應用1.已知橢圓eq\f（x2，25)＋eq\f（y2，9）＝1上的點M到該橢圓一個焦點F的距離為2，N是MF的中點，O為坐標原點,那么線段ON的長是(）A．2B．4C．8D.eq\f(3，2）答案B解析設(shè)橢圓的另一個焦點為E，則｜MF|＋|ME｜＝10,∴｜ME｜＝8，又ON為△MEF的中位線，∴|ON|＝eq\f（1,2)|ME｜＝4。2．橢圓eq\f（x2,9)＋eq\f（y2,2）＝1的焦點為F1,F2,點P在橢圓上,若｜PF1｜＝4,則｜PF2|＝________,∠F1PF2的大小為________．答案2120°解析∵a2＝9，b2＝2，∴c＝eq\r（a2－b2)＝eq\r（9－2）＝eq\r(7），∴｜F1F2｜＝2eq\r（7）.又|PF1｜＝4，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，∴|PF2|＝2。由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(22＋42－2\r（7）2，2×2×4）＝－eq\f(1，2),∴∠F1PF2＝120°.知識點二橢圓標準方程的應用3.若方程eq\f（x2,m＋9）＋eq\f(y2,25－m)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．－9＜m＜8 B．8＜m＜25C．16＜m＜25 D．m＞8答案B解析依題意，有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（25－m＞0，，m＋9＞0，，m＋9＞25－m,））解得8＜m＜25.4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓,則實數(shù)k的取值范圍是（)A．（0,＋∞) B．（0，2)C．（1，＋∞） D．（0,1）答案D解析方程x2＋ky2＝2可化為eq\f(x2，2)＋eq\f(y2,\f(2,k）)＝1,若焦點在y軸上，則必有eq\f（2,k）＞2，且k＞0，即0＜k＜1.知識點三相關(guān)點代入法求軌跡方程5。已知圓x2＋y2＝1,從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′,則線段PP′的中點M的軌跡方程是（）A．4x2＋y2＝1 B．x＝eq\f(y,2）C.eq\f(x2,4)＋y2＝1 D．x2＋eq\f(y2,4)＝1答案A解析設(shè)點M的坐標為(x，y）,點P的坐標為（x0，y0）,則x＝eq\f（x0,2）,y＝y(tǒng)0.因為P（x0，y0)在圓x2＋y2＝1上,所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2，0）＝1.①將x0＝2x，y0＝y(tǒng)代入方程①，得4x2＋y2＝1，所以點M的軌跡方程是4x2＋y2＝1。故選A.6．設(shè)F1,F2分別為橢圓eq\f（x2，3)＋y2＝1的左,右焦點,點A，B在橢圓上,若eq\o（F1A,\s\up16（→)）＝5eq\o(F2B,\s\up16（→）），則點A的坐標是________．答案(0,1）或（0,－1）解析由題意知F1（－eq\r(2），0），F(xiàn)2（eq\r（2），0)．設(shè)點A和點B的坐標分別為(xA，yA)，(xB，yB），則eq\o（F1A,\s\up16(→))＝（xA＋eq\r（2），yA),eq\o（F2B，\s\up16(→))＝（xB－eq\r(2）,yB)．由eq\o(F1A，\s\up16（→）)＝5eq\o（F2B，\s\up16（→)）得xB＝eq\f(xA＋6\r(2），5），yB＝eq\f(yA，5），代入橢圓方程得eq\f(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(xA＋6\r(2)，5)））2，3）＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（yA,5））)2＝1①。又eq\f(x\o\al(2，A)，3）＋yeq\o\al(2，A）＝1②，由①②聯(lián)立，解得xA＝0，yA＝±1.故點A的坐標為(0,1)或（0，－1）．一、選擇題1．已知P為橢圓C上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，且|F1F2|＝2eq\r（3),若|PF1|與|PF2|的等差中項為｜F1F2｜，則橢圓C的標準方程為（）A.eq\f（x2,12)＋eq\f(y2,9）＝1B.eq\f（x2，9)＋eq\f(y2，12)＝1C。eq\f(x2,12)＋eq\f（y2，9)＝1或eq\f(x2,9）＋eq\f(y2，12）＝1D.eq\f(x2,48）＋eq\f（y2，45）＝1或eq\f(x2，45)＋eq\f(y2，48)＝1答案C解析由已知2c＝|F1F2｜＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r（3).又2a＝｜PF1|＋｜PF2|＝2｜F1F2|＝4eq\r（3)，∴a＝2eq\r（3）。∴b2＝a2－c2＝9。故橢圓C的標準方程是eq\f（x2,12）＋eq\f（y2，9）＝1或eq\f（x2，9）＋eq\f（y2,12)＝1.2．“m〉n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的(）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析將方程mx2＋ny2＝1轉(zhuǎn)化為eq\f（x2,\f(1，m）)＋eq\f(y2，\f（1,n））＝1，根據(jù)橢圓的定義，要使焦點在y軸上，則有eq\f（1,m）〉0，eq\f(1，n）>0，且eq\f(1,n)〉eq\f(1，m），即m〉n>0.反之，m〉n〉0時,方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓．故選C.3．若橢圓eq\f（x2，25)＋eq\f（y2，9)＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一點，且∠F1PF2＝90°，則△PF1F2的面積為（)A．9B．12C．15D．18答案A解析設(shè)|PF1|＝r1，｜PF2｜＝r2，則由∠F1PF2＝90°且｜F1F2|＝8，知req\o\al(2，1）＋req\o\al(2，2)＝64。又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18,所以S△PF1F2＝eq\f（1，2）r1r2＝9。4．在平面直角坐標系xOy中,已知△ABC的頂點A(－4,0)和C(4,0)，頂點B在橢圓eq\f(x2,25）＋eq\f(y2，9)＝1上，則eq\f（sinA＋sinC，sinB)＝（)A.eq\f(5,4)B.eq\f（5,2）C．5D．無法確定答案A解析由題意，知|AC|＝8，｜AB｜＋｜BC|＝10，所以eq\f（sinA＋sinC,sinB）＝eq\f(|BC|＋｜AB|，|AC｜）＝eq\f(10，8)＝eq\f（5,4).5．已知F1,F2分別為橢圓C:eq\f（x2,4)＋eq\f(y2,3）＝1的左、右焦點,點P為橢圓C上的動點，則△PF1F2的重心G的軌跡方程為()eq\x（提示:△ABC的重心G的坐標為\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（xA＋xB＋xC,3），\f（yA＋yB＋yC,3）))）A。eq\f（x2，36)＋eq\f(y2,27）＝1（y≠0) B。eq\f(4x2,9）＋y2＝1（y≠0）C。eq\f(9x2,4）＋3y2＝1（y≠0) D．x2＋eq\f(4y2，3）＝1（y≠0）答案C解析由橢圓C:eq\f(x2，4)＋eq\f（y2，3)＝1可知焦點坐標為（－1，0）,(1,0），設(shè)P（x′，y′），G(x，y)，則有x＝eq\f(－1＋1＋x′,3)＝eq\f（x′,3)，y＝eq\f(0＋0＋y′,3)＝eq\f(y′,3)，所以x′＝3x，y′＝3y，又eq\f(x′2,4）＋eq\f(y′2，3）＝1,所以eq\f（9x2，4）＋eq\f（9y2，3）＝1,即eq\f（9x2，4)＋3y2＝1（y≠0）．二、填空題6．已知橢圓eq\f（x2，10－m）＋eq\f(y2,m－2）＝1的焦點在y軸上，若焦距為4，則m等于__________．答案8解析由題意得m－2>10－m>0，解得6<m<10，且a2＝m－2，b2＝10－m，則c2＝a2－b2＝2m－12＝4，m＝8。7．設(shè)α∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2))），方程eq\f(x2,sinα）＋eq\f(y2，cosα）＝1表示焦點在y軸上的橢圓,則α的取值范圍為________．答案0<α<eq\f（π，4)解析由題意知，cosα〉sinα>0，∴tanα<1,∵α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2））),∴0<α<eq\f（π,4）.8．設(shè)P為橢圓eq\f(x2,4）＋eq\f(y2，9）＝1上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其上、下焦點，則｜PF1｜｜PF2｜的最大值是__________．答案9解析由已知a＝3,｜PF1｜＋｜PF2|＝2a＝6，∴｜PF1|｜PF2|≤eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(|PF1｜＋｜PF2|,2）)）2＝9。當且僅當｜PF1｜＝|PF2|＝3時，式中等號成立．故|PF1||PF2｜的最大值為9.三、解答題9．點P（x，y）到定點A(0，－1）的距離與到定直線y＝－14的距離之比為eq\f（\r（14)，14),求點P的軌跡方程．解根據(jù)題意得eq\f（\r（x2＋y＋12),|y＋14|）＝eq\f（\r(14)，14).將上式兩邊平方，并化簡，得14x2＋13y2＝14×13，即eq\f（x2，13）＋eq\f(y2，14）＝1為所求．10．已知橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f（y2，3）＝1，橢圓上有一點P滿足∠PF1F2＝90°(如圖)．求△PF1F2的面積．解由已知得a＝2，b＝eq\r(3),所以c＝eq\r(a2－b2）＝eq\r（4－3)＝1.從而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，