專題3.5以數(shù)列與不等式相結(jié)合綜合問題為解答題-2014年高考數(shù)學(xué)備考優(yōu)生百日闖關(guān)系列解析版

【名師綜述學(xué)的潛能．近年來加強了對遞推數(shù)列考查的力度，這點應(yīng)當(dāng)引起我們高度的重視．預(yù)計在高，比較新穎的數(shù)列與不等式選擇題或填空題一定會出現(xiàn)．?dāng)?shù)列解答題題熱點是與不等式交匯，呈現(xiàn)遞推關(guān)系的未來高考命題的一個新的亮點，而命題的冷門則是數(shù)列與不等式綜合的應(yīng)用性解答題．求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問求解數(shù)列與不等式相結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：(1)若函數(shù)fx在定義域為D，xDfxM恒成立

f MfxM恒成立

f M；(2)數(shù)列參與的不等式的證明問高利用放縮方法證明不等式，文科涉及較少，但理科卻常常出現(xiàn)，且多是在壓軸題中出現(xiàn)．放縮種常見的放縮法證明不等式的方法，以冀起到舉一反三，拋磚引玉的作用．求數(shù)列中的最值問求解數(shù)列中的某些最值問題，有時須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：(1)不等式關(guān)系確定最值．求解探索性問數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立以此設(shè)為前提條件進(jìn)運算或輯推理若此推出則假不成立從而得“否”的論即不存在若推理出現(xiàn) ，能求在范圍的值或圖形就得到定的結(jié)，即得存在的果．【精選名校?！?014安慶二模（本題滿分13分）已知數(shù)列a滿足aa, 2a,a,na nan若2，數(shù)列an單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍n若a2，試寫出a2對任意nN*n假設(shè)nk(k1時結(jié)論成立，即ak2a當(dāng)nk1時，ak12ak akf(x)2x

，x[2,)x 市西城區(qū)2014屆高三一模（理（本小題滿分13分）在數(shù)列a中，a1nN.從數(shù) an中選出kk3項并按原順序組成的新數(shù)列記為bn，并稱bn為數(shù)列an的k項子列.例如數(shù)1111為a的一個4項子列 試寫出數(shù)列an的一個3項子列，并使其為等如果b為數(shù)列a的一個5項子列，且b為等差數(shù)列，證明：b的公差d滿足1d0 如果cn為數(shù)列an的一個mm3項子列，且cn為等比數(shù)列，證明c1c2c2

2m1.（2）（3）

試題分析（1根據(jù)題中的定義寫出一個3項子列即可（2對b1是否等于1進(jìn)行分類結(jié)合條 ，從而得到b1，再由b4d

0b1證明1d0

注意到數(shù)列a各項均為有理數(shù)，從而得到數(shù)列c的公比q為正有理數(shù)，從而存在K、LN K得q KL（3）由題意，設(shè)cn的公比為q 則c

c

cc1qq2 qm1m1因為cn為an的一個m項子列m1所以q為正有理數(shù)，且q1

11aNaL設(shè)qKKLNKLL2aLK1時 因為q 【市東城區(qū)2014屆第一次（理（本題滿分12分在數(shù)列

成等差數(shù)列，b，a

成等比數(shù)列（nN*

a2，a3，a4b2，b3，b4，由此歸納出{an},{bn

a1

a2

a3

a2b

5（1）由遞推關(guān)系式分別求出a623a1234a2045b932 b1642，b2552可以猜測出ann1

n12在利用數(shù)學(xué)歸納法證明.（2）n=1時 驗證滿足題意，當(dāng)n2時可以利用第（1）anbnn12n1anbnn12n12n1n在由列項相消法求和放縮即可得出證明

1

a1

n≥2時，由（Ⅰ）知anbnn1)(2n12(n1)n故1111111 2

11(1 2 n2115 【浙江省“六市六校 2014屆高 】已知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項S414,且a1a3a7成等比{n設(shè)T為數(shù)列 {n

對一切nN*恒成立，求實數(shù)的最大值

省黃岡市重點中學(xué)2014學(xué)年第二學(xué)期高三三月月考】已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)， 2a1,2,3a2a23a3a6求數(shù)列an的通項公式已知

a3na3

bnbnTn

1 1

111

,求證：T2014 11

12.11 112141(21034)11.所以

【省八市2014屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考】己知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項和S4=14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列．求數(shù)列{an}的通項公式

nT

¨對nN*恒成立，求實數(shù) a

nn1 又2(n

2(n4n

2(4 ∴的最小值為 12 】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a12，S622Sn若從{a中抽取一個公比為q的等比數(shù)列

}，其中k1，且k k ，

N*

①當(dāng)q取最小值時，求{kn}的通項公式； ②若關(guān)于n(nN*)的不等式6S 有解，試求 設(shè)等差數(shù)列的公差為d

6a165d22，解得d2，……2

n(n5 3n(因為數(shù)列{an}是正項遞增等差數(shù)列，所以數(shù)列{akq1n(k2，則由a8，得q

4

24232322(n2)

【 1（2）a1＜a2n∈N*n≥2an＜a11a1a3

2a因為a2，a3，a4成等比數(shù)列，則a4(2a 3121a3，a4，a5成等差數(shù)列，則2aaa，則2(2a)22a 解得：a13或a12；當(dāng)a13時，a31（與an ，故舍去），所以a12

1a1an－a1a1

—＝

14

an－a＝[(a2－a1)(m－1)＋a1][(a2－a1)m＋1－a＝2－a1)(m－1)＋a1

a aa

1 1綜上，對一切n∈N*，n≥2，有an＜a 161 （本小題滿分12分）若數(shù)列A滿足 A2，則稱數(shù) A為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列a中a9，點(a

在函數(shù)f(x)x22x的圖象上 n證明數(shù)列an1是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列l(wèi)g(an1)為等比數(shù)列設(shè)（Ⅰ）中“平方遞推數(shù)列”的前n項積為Tn，即Tn(a11)(a21) (an1)，求lgTn；n在（Ⅱ）的條件下，記bn

，求數(shù)列b的前nS，并求使S4026的n lg(an【答案（Ⅰ）見解析（Ⅱ）lgT2n1；(Ⅲ） 2014 （Ⅰ） a22a，得到 1(a1)2 進(jìn)一步對

1

1)2

1)

)10.(3（12）已知{an}是等差數(shù)列，首項a13nS.令c1)nS(nN,{c}的前20項和T330.數(shù)列是公比為q n項和為W，且b2q3a 求數(shù)列{an}、{bn}(3n1)W

(nN)

23n1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n23n2n當(dāng)n2時，左邊9，右邊5，左假設(shè)nk(k23k2knk13k133k3(2k16k3nk1（1（2）3n2n1對于nN所以(3n1)W

(nN

12 anSan21b}滿足3n

n na，且b3 (I)求anbn

(Ⅱ)設(shè)TnbnnTn，并求滿足Tn<7n(Ⅱ)由(I)知n

4n1

7 8已知數(shù)列a是首項為a1，公比q1的等比數(shù)列，設(shè)

2

anN*,

14數(shù)列cn滿足cnan求證數(shù)列cn的前n項和Sn若

1m2m1nm的取值范圍4(2),只需要求出數(shù)列cn,cn的,不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列cn,從第三項開始單調(diào)遞減則該數(shù)列的最大值為1,則滿足c1m2m1,帶入c解二次不等式即可求的m的取值范圍 13.（山東省濟(jì)南市2014屆高三3月考）(本小題滿分12分(I)an(II)n≥21

...

．747n(II)證明：方法一：由（Ⅰ）Sn2nNn①當(dāng)n211 1

117,原不等式亦成立 7 ②當(dāng)n3

n2nn1，

nn1

n

9n111111S1111n 21n1 1n1n

1

1＝14

3＝1111

n1 n

n n ＝ 11 7 124【七中高2014屆高三3月高考數(shù)學(xué)（理】(本小題滿分12分f(x21(x0)，數(shù)列{a}

f

1nN*且n

a求數(shù)列{an}an對nN*Sn

1

恒成立，求實數(shù)t的取值范圍n1 1

an

2n3

,nN

.(Ⅱ)

,]5 (4n29) g(n) 2n3 6(nN*)2n 2n 2np2n3p5,pN*.g(n)p96(nN*)p4

p5時，g(n) 最小4544所以t ，即t的取值范圍是(,] 2014屆高三學(xué)生學(xué)業(yè)抽測（1）數(shù)學(xué)（理（1257分）已知數(shù)列{annSn，且3Sn4an4．求數(shù)列{an}的通項公式 n設(shè)cnlog2a1log2a2 log2an，Tncc c，求使kn1(2n9)Tn恒立的實數(shù)k

試題解析（I）由3Sn4an4可得a14 1∵3Sn4an4，∴3Sn3Sn1(4an4)(4an14)∴3a4a

，即

4 3

∴數(shù)列{aa4為首項，公比為4a4n22n．………5 （Ⅱ）cnlog2a1log2a2 log2an24 2(n12nn(n1…7【資陽市高中2011級高考數(shù)學(xué)（理（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn滿足S3

n3 2求證：數(shù)列{an1（Ⅱ）令clog(a1)log(a1) log

1)nN*m，使 3 3 311 1mm 由（Ⅰ）知a13nlog(a1)12 nn(nlog(a1)12 nn(n1)2n所以1 2(1

1)

7 n(n

n則11

2[(11)(11) (1

1)]2(1

1 8

n

n由11 1m對任

N*都成立，得2(1

1)m

n m6(11對任意N*都成立，又mN*n所以m的值為 12 一】已知數(shù)列an中，a11，a2n

14an1

n

n2,3,4,Sn為數(shù)列bn的前n項和，且4Snbnbn1b12n求數(shù)列bn的通項公式

n3，求數(shù)列n

的前n項的和Pn 證明對一切n

，有ak 6k6試題解析（1）由已知b12,4Snbnbn1得b24，4Sn1bn1bnn2，4bnbnbn1bn1，由題意bn0，即bn1bn14(n2)， 當(dāng)n為奇數(shù)時，bn2n；當(dāng)n為偶數(shù)時，bn2n. 求數(shù)列{an}的通項公式在an與an+1之間n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列在數(shù)列{dndm，dk，dp（m,k,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣1 1

1

15(nN)（2）由（1）可知

23n1，

2an1ann21)dndn

4.n 】已知數(shù)列{an