學(xué)案 點到直線的距離公式 學(xué)案

點到直線的距離公式學(xué)案【課時目標(biāo)】1．了解直線的方向向量、法向量．2．能利用直線的法向量推導(dǎo)點到直線的距離公式．3．能利用直線的法向量判斷兩直線的位置關(guān)系．知識梳理1．直線的法向量(1)直線l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的一個方向向量是__________，它的一個法向量是__________．(2)直線l：y＝kx＋b的一個方向向量是__________，它的一個法向量是__________．所以，一條直線的法向量有__________個，它們都是__________向量．2．點到直線的距離公式設(shè)點M(x0，y0)為平面內(nèi)任一點，則點M到直線l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的距離d＝_____________________________________________________________________．3．兩平行線間距離直線l1：ax＋by＋c1＝0與直線l2：ax＋by＋c2＝0(a2＋b2≠0且c1≠c2)的距離d＝_____________________________________________________________________．4．兩直線的位置關(guān)系設(shè)直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0，直線l2：a2x＋b2y＋c2＝0的法向量依次為n1，n2．則：(1)l1⊥l2?______________?______________________________________________；(2)l1與l2重合或平行?__________?______________________．作業(yè)設(shè)計一、選擇題1．點(1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(3,2)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(3\r(2),2)2．已知三點A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，則△ABC是()A．以A為直角頂點的直角三角形B．以B為直角頂點的直角三角形C．以C為直角頂點的直角三角形D．銳角三角形或鈍角三角形3．已知直線l1：(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線l2：(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直，則實數(shù)m的值是()A．－2B．eq\f(1,2)C．－2或eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)或24．已知直線l1：ax＋2y＋6＝0與l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，則實數(shù)a的值是()A．2B．－1C．2或－1D．eq\f(2,3)5．已知直線l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，則直線l1與l2的夾角是()A．30°B．45°C．135°D．150°6．已知過點A(－2，m)和B(m，4)的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則兩平行線間的距離是()A．eq\f(13\r(13),13)B．eq\f(5\r(5),13)C．eq\f(5\r(13),5)D．eq\f(13\r(5),5)二、填空題7．過點A(4，a)和點B(5，b)的直線與直線y＝x＋m平行，則|AB|的值為________．8．過點A(－2，1)且平行于向量a＝(3，1)的直線方程為________________．9．過點A(2，3)且垂直于向量a＝(2，1)的直線方程是____________．10．兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0與l2：6x＋8y－3＝0之間的距離為________．三、解答題11．已知△ABC的三個頂點A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，點D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點．(1)求直線DE、EF、FD的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程．12．已知M(x0，y0)為直線l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)外一點．(1)求過點M與直線l垂直的直線l1；(2)求過點M與直線l平行的直線l2．能力提升13．已知向量c＝(0，1)，i＝(1，0)，經(jīng)過原點O以c＋λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點A(0，1)，以i－2λc為方向向量的直線交于點P，其中λ∈R，求點P的軌跡方程．14．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0，1)和點B(－3，4)，若點C在∠AOB的平分線上，且|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，求向量eq\o(OC,\s\up6(→))的坐標(biāo)．反思感悟1．若直線方程為ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)，則(a，b)就是它的一個法向量，(b，－a)是它的一個方向向量；若直線方程為y＝kx＋b，則(1，k)就是它的一個方向向量，(k，－1)是它的一個法向量．2．點M(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0的距離d＝eq\f(|ax0＋by0＋c|,\r(a2＋b2))．利用該公式求點到直線的距離必須先將方程化為一般式．利用點到直線的距離公式可以推導(dǎo)出兩條平行線ax＋by＋c1＝0與ax＋by＋c2＝0間的距離為eq\f(|c1－c2|,\r(a2＋b2))．3．直線的法向量或方向向量在求兩直線夾角、計算點到直線的距離或判斷兩條直線的位置關(guān)系中都有著重要應(yīng)用，應(yīng)熟練掌握．答案知識梳理1．(1)(b，－a)(a，b)(2)(1，k)(k，－1)無數(shù)多共線2．eq\f(|ax0＋by0＋c|,\r(a2＋b2))3．eq\f(|c1－c2|,\r(a2＋b2))4．(1)n1·n2＝0a1a2＋b1b2＝0(2)n1∥n2a1b2－a2b1＝0作業(yè)設(shè)計1．D2．A3．C[(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝(m＋2)(4m－2)＝0，∴m＝－2或eq\f(1,2)．]4．B[直線l1的法向量n1＝(a，2)，直線l2的法向量n2＝(1，a－1)，∵l1∥l2，∴n1∥n2，∴a(a－1)－1×2＝0，解得：a＝－1或a＝2．當(dāng)a＝－1時，l1：x－2y－6＝0，l2：x－2y＝0，∴l(xiāng)1∥l2．當(dāng)a＝2時，l1：x＋y＋3＝0，l2：x＋y＋3＝0．∴l(xiāng)1與l2重合，a＝2舍．綜上所述，a＝－1．]5．B[設(shè)l1、l2的方向向量為v1，v2，則v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)，∴|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1|·|v2|)＝eq\f(25,5×5\r(2))＝eq\f(\r(2),2)．∴l(xiāng)1與l2的夾角為45°．]6．D[eq\o(AB,\s\up6(→))＝(m＋2，4－m)，eq\o(AB,\s\up6(→))·(2，1)＝0，∴m＝－8，∴直線AB方程為：2x＋y＋12＝0．∴d＝eq\f(|12－－1|,\r(5))＝eq\f(13\r(5),5)．]7．eq\r(2)8．x－3y＋5＝0解析設(shè)P(x，y)是所求直線上的任一點，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋2，y－1)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))∥a．∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0．即所求直線方程為x－3y＋5＝0．9．2x＋y－7＝0解析設(shè)直線上任一點P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)．由eq\o(AP,\s\up6(→))·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得2x＋y－7＝0．10．eq\f(1,10)解析取直線l2的一個法向量為n＝(6，8)，分別在直線l1和l2上任取一點M(0，eq\f(1,2))和P(eq\f(1,2)，0)．則eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，設(shè)eq\o(PM,\s\up6(→))與n的夾角為θ．∴點M到直線l2的距離d＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|·|cosθ|＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|·|eq\f(\o(PM，\s\up6(→))·n,|\o(PM，\s\up6(→))|·|n|)|＝eq\f(|\o(PM，\s\up6(→))·n|,|n|)＝|eq\f(－3＋4,10)|＝eq\f(1,10)．又∵兩條平行線間的距離處處相等，∴點M到直線l2的距離即為兩平行線l1與l2間的距離，∴兩平行線l1：3x＋4y－2＝0與l2：6x＋8y－3＝0之間的距離為eq\f(1,10)．11．解(1)由已知得點D(－1，1)，E(－3，－1)，F(xiàn)(2，－2)．設(shè)點M(x，y)是直線DE上任意一點，則eq\o(DM,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DM,\s\up6(→))＝(x＋1，y－1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0為直線DE的方程．同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為x＋5y＋8＝0，x＋y＝0．(2)設(shè)點N(x，y)是CH所在的直線上任意一點，則eq\o(CN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(CN,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0．又eq\o(CN,\s\up6(→))＝(x＋6，y－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，4)，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0為所求直線CH所在的直線方程．12．解(1)設(shè)P(x，y)為直線l1上任一點．由eq\o(MP,\s\up6(→))·(B，－A)＝0，得(x－x0，y－y0)·(B，－A)＝0，∴B(x－x0)－A(y－y0)＝0，即eq\f(x－x0,A)＝eq\f(y－y0,B)．(2)設(shè)P(x，y)為直線l2上任一點，由eq\o(MP,\s\up6(→))·(A，B)＝0．∴(x－x0，y－y0)·(A，B)＝0．∴A(x－x0)＋B(y－y0)＝0．13．解設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，∵i＝(1，0)，c＝(0，1)，∴c＋λi＝(λ，1)，i－2λc＝(1，－2λ)，直線OP與AP的方程分別為λy＝x和y－1＝－2λx，消去參數(shù)λ，所求的軌跡方程為2x2＋y2－y＝0．14．解如圖所示，已知A(0，1)，B(－3，4)，過B作BD∥y軸，與OC的延長線交于點D，過D作OB的平行線交y軸于E，所以四邊形OBDE為菱形，所以D(－3，9)，E(0，5)．設(shè)C(x1，y1)，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝3eq\r(10)，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3\r(10))eq\o(OD,\s\up6(→))，所以(x1，y1)＝eq\f(2,3\r(10))(－3，9)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(2,3\r(10