切線證明（共5篇）

第17頁(yè)共17頁(yè)切線證明〔共5篇〕第1篇：證明切線的方法證明切線的方法證明一條直線是圓的切線，可分兩種情況進(jìn)展分析^p?！?〕圓和直線的唯一公共點(diǎn)，方法是：連半徑，證垂直〔比擬常用〕?！?〕圓和直線的公共點(diǎn)位置未知，方法是：作垂直，證半徑。例如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)O在線段AB上，以O(shè)為圓心、OB為半徑作圓交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E。DE是圓O的切線嗎？分析^p：這屬于第一種情況，可以考慮連半徑，再證垂直。DE是切線。證明：連接OD?！摺鰽BC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。∴∠1＝∠C。而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°?！唷?＋∠2＝90°?！唷螼DE＝90°，即OD⊥DE，OD是圓O的半徑?！郉E是圓O的切線。AB第2篇：證明圓的切線方法證明圓的切線方法我們學(xué)習(xí)了直線和圓的位置關(guān)系，就出現(xiàn)了新的一類習(xí)題，就是證明一直線是圓的切線.在我們所學(xué)的知識(shí)范圍內(nèi)，證明圓的切線常用的方法有：一、假設(shè)直線l過(guò)⊙O上某一點(diǎn)A，證明l是⊙O的切線，只需連OA，證明OA⊥l就行了，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”，難點(diǎn)在于如何證明兩線垂直.例1如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，交AC于E，B為切點(diǎn)的切線交OD延長(zhǎng)線于F.求證：EF與⊙O相切.證明：連結(jié)OE，AD.∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF〔SAS〕.∴∠OBF=∠OEF.∵BF與⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF與⊙O相切.說(shuō)明：此題是通過(guò)證明三角形全等證明垂直的例2如圖，AD是∠BAC的平分線，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PD.求證：PA與⊙O相切.證明一：作直徑AE，連結(jié)EC.∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直徑，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA與⊙O相切.證明二：延長(zhǎng)AD交⊙O于E，連結(jié)OA，OE.∵AD是∠BAC的平分線，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA與⊙O相切說(shuō)明：此題是通過(guò)證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識(shí)的綜合運(yùn)用.例3如圖，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求證：DM與⊙O相切.證明一：連結(jié)OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM與⊙O相切D證明二：連結(jié)OD，AD.∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,C∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切線說(shuō)明：證明一是通過(guò)證平行來(lái)證明垂直的.證明二是通過(guò)證兩角互余證明垂直的，解題中注意充分利用及圖上.例4如圖，：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延長(zhǎng)線上.求證：DC是⊙O的切線證明：連結(jié)OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等邊三角形.∴OB=BC.∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切線.D說(shuō)明：此題是根據(jù)圓周角定理的推論3證明垂直的，此題解法頗多，但這種方法較好.例5如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求證：PC是⊙O的切線.證明：連結(jié)OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP，OCOP.ODOC又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD⊥AB，∴∠OCP=900.∴PC是⊙O的切線.說(shuō)明：此題是通過(guò)證三角形相似證明垂直的例6如圖，ABCD是正方形，G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG交BD于E，交CD于F.求證：CE與△CFG的外接圓相切.分析^p：此題圖上沒(méi)有畫(huà)出△CFG的外接圓，但△CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點(diǎn)，為此我們?nèi)G的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，證明CE⊥OC即可得解.證明：取FG中點(diǎn)O，連結(jié)OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中點(diǎn)，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE〔SAS〕∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE與△CFG的外接圓相切二、假設(shè)直線l與⊙O沒(méi)有的公共點(diǎn)，又要證明l是⊙O的切線，只需作OA⊥l，A為垂足，證明OA是⊙O的半徑就行了，簡(jiǎn)稱：“作垂直；證半徑”例7如圖，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，⊙D與AB切于E點(diǎn).求證：AC與⊙D相切.證明一：連結(jié)DE，作DF⊥AC，F(xiàn)是垂足.∵AB是⊙D的切線，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF〔AAS〕∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切線證明二：連結(jié)DE，AD，作DF⊥AC，F(xiàn)是垂足.∵AB與⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC與⊙D相切.說(shuō)明：證明一是通過(guò)證明三角形全等證明DF=DE的，證明二是利用角平分線的性質(zhì)證明DF=DE的，這類習(xí)題多數(shù)與角平分線有關(guān).例8：如圖，AC，BD與⊙O切于A、B，且AC∥BD，假設(shè)∠COD=900.求證：CD是⊙O的切線.證明一：連結(jié)OA，OB，作OE⊥CD，E為垂足.∵AC，BD與⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽R(shí)t△BDO.∴ACOC.OBODACOC.OAODO∵OA=OB，∴又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD,∴OE=OA.∴E點(diǎn)在⊙O上.∴CD是⊙O的切線.證明二：連結(jié)OA，OB，作OE⊥CD于E，延長(zhǎng)DO交CA延長(zhǎng)線于F.∵AC，BD與⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD〔AAS〕∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E點(diǎn)在⊙O上.∴CD是⊙O的切線.證明三：連結(jié)AO并延長(zhǎng)，作OE⊥CD于E，取CD中點(diǎn)F，連結(jié)OF.∵AC與⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD與⊙O相切于B，∴AO的延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.∴AB是⊙O的直徑.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF，∴OF1CDCF.2∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E點(diǎn)在⊙O上.∴CD是⊙O的切線說(shuō)明：證明一是利用相似三角形證明∠1=∠2，證明二是利用等腰三角形三線合一證明∠1=∠2.證明三是利用梯形的性質(zhì)證明∠1=∠2，這種方法必需先證明A、O、B三點(diǎn)共線.此題較難，需要同學(xué)們利用所學(xué)過(guò)的知識(shí)綜合求解.以上介紹的是證明圓的切線常用的兩種方法供同學(xué)們參考.第3篇：圓的切線方程公式證明:圓的方程為:(xb)2=r2,圓上一點(diǎn)P(x0,y0)解:圓心C(a,b)直線CP的斜率:k1=(y0a)因?yàn)橹本€CP與切線垂直,所以切線的斜率:k2=-1/k1=a)/(y0y0=k2(xy0=[-(x0b)](xx0)(x0y0)(y0ax+ax0+y0yx02a)2+(y02ax0+a2+y12x022by0+a2+b2ax+ax0+y0y2by0+a2+b2axyba)(xb)(y(x0+D/2)/(y0+E/2)根據(jù)點(diǎn)斜式,求得切線方程：yx0)yx0)整理得:x0x+y0y+Dx/2+Ey/2Ey0/2-x02x02Dx0/2a)2+(yMC2)(根據(jù)勾股定理)=√[(x0b)2MC2)(根據(jù)勾股定理)=√[(x0+D/2)2+(y0+E/2)2-((√(D2+E2-4F))/2)2](半徑:r=(√(D2+E2-4F))/2)=√(x02+y02+Dx0+Ey0+F)第4篇：切線的兩種證明方法淺談切線的兩種證明方法在中學(xué)學(xué)習(xí)圓的時(shí)候，我們學(xué)過(guò)切線的斷定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。但很多學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中對(duì)此斷定不是很理解，并不知道如何使用這條斷定定理來(lái)證明切線，為此我總結(jié)了一套切線證明的方法，。首先，我們對(duì)斷定定理分解一下，里面共包含了兩個(gè)條件：１.經(jīng)過(guò)半徑的外端２.垂直于這條半徑也就是說(shuō)只要我們同時(shí)滿足這兩個(gè)條件就能說(shuō)明這條線是切線，而在實(shí)際證明過(guò)程中，往往是通過(guò)輔助線先滿足其中一個(gè)，再證明另外一個(gè)也成立。這里分為兩種情況：一、假設(shè)直線l過(guò)⊙O上某一點(diǎn)A，證明l是⊙O的切線，只需連接OA，證明OA⊥l就行了，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”，難點(diǎn)在于如何證明兩線垂直。例1.如圖，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求證：DM與⊙O相切.證明：連結(jié)OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM與⊙O相切.例2.如圖，：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且∠CAB=30°，BD=OB，D在AB的延長(zhǎng)線上.求證：DC是⊙O的切線.證明：連結(jié)OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠30°.∴∠BOC=∠A+∠1=60°.又∵OC=OB，∴△OBC是等邊三角形.∴OB=BC.∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切線.二、假設(shè)直線l與⊙O沒(méi)有的公共點(diǎn)，又要證明l是⊙O的切線，只需作OA⊥l，A為垂足，證明OA是⊙O的半徑就行了，簡(jiǎn)稱：“作垂直，證半徑”。例3.如圖，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，⊙D與AB切于E點(diǎn).求證：AC與⊙D相切.證明：連結(jié)DE，作DF⊥AC，F(xiàn)是垂足.∵AB是⊙D的切線，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF〔AAS〕∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切線.例4.如圖，AC，BD與⊙O切于A、B，且AC∥BD，假設(shè)∠COD=90°.求證：CD是⊙O的切線.證明：連結(jié)OA，OB，作OE⊥CD，E為垂足.∵AC，BD與⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.∵∠COD=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°.∵∠4+∠5=90°.∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽R(shí)t△BDO.又∵∠CAO=∠COD=90°，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD,∴OE=OA.∴E點(diǎn)在⊙O上.∴CD是⊙O的切線.切線的證明題目形式多變，但切線的證明方法一般就這兩種，只要你能判別情況，清楚證明方向，你離成功也就不遠(yuǎn)了?！沧髡邌挝唤魇≮M州市信豐縣大阿中學(xué)〕第5篇：圓的切線計(jì)算與證明題圓的切線證明與計(jì)算專題訓(xùn)練1.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于E，B為切點(diǎn)的切線交OD延長(zhǎng)線于F.求證：EF與⊙O相切.2.如圖，AD是∠BAC的平分線，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PD.求證：PA與⊙O相切.3.如圖，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于點(diǎn)D，DM⊥AC于M.求證：DM與⊙O相切.4.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且∠CAB=30O，BD=OB，D在AB的延長(zhǎng)線上.求證：DC是⊙O的切線.5.如圖，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，⊙D與AB切于點(diǎn)E.求證：AC是⊙D的切線.6.如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，DP⊥AC，垂足為點(diǎn)P.求證：PD是⊙O的切線.7.已經(jīng)⊙O中，AB是直徑，過(guò)B點(diǎn)作⊙O的切線，連接CO，假設(shè)AD//OC交⊙O于D.求證：CD是⊙O的切線.8.如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5,BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)E.求證：BE是⊙O的切線.O9.如圖，在△ABC中，∠C=90O，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.〔1〕求證：BC是⊙O的切線；〔2〕假設(shè)BD=5，求AC的長(zhǎng).10.如圖，CD是△ABC中AB邊上的高，以CD為直徑的⊙O分別交CA，CB于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn).〔1〕求證：GE是⊙O的切線；〔2〕假設(shè)OC=5，CE=6，求AE的長(zhǎng).11.如圖，在Rt△ABC中，∠A的平分線交BC于D，E為AB上一點(diǎn)，DE=DC，以D為圓心，以DB的長(zhǎng)為半徑作圓.〔1〕求證：AC是⊙D的切線；〔2〕求證：AB+EB=AC.12.如圖，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于D，作DE⊥BC于E.〔1〕求證：DE為⊙O的切線；〔2〕作DG⊥AB交⊙O于G，垂足為F，∠A=30O，AB=8，求DG的長(zhǎng).13.如圖，AB為⊙O的直徑，D、T是圓上的兩點(diǎn)，且AT平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)T作AD的延長(zhǎng)線的垂涎PQ，垂足為C.〔1〕求證：PQ是⊙O的切線；〔2〕假設(shè)⊙O的半徑為2，TC3，求弦AD的長(zhǎng).14.如圖，割線ABC與⊙O相交與B、C兩點(diǎn)，D為⊙O上一點(diǎn)，