天津某大學建筑結構抗震設計講義2

第三章地震作用與結構抗震驗算3.1概述3.2單質點彈性體系的地震反應3.3單質點彈性體系水平地震作用-反應譜法3.4多質點彈性體系的地震反應3.5多質點體系水平地震作用和地震效應3.6結構自振周期和振型的近似計算3.7考慮水平地震作用扭轉影響的計算3.8豎向地震作用的計算3.9地震作用計算的一般規(guī)定3.10截面抗震驗算3.11薄弱層(部位)的彈塑性變形驗算3.1概述地震作用和結構抗震驗算的重要性是建筑抗震設計的重要環(huán)節(jié)，是確定所設計的結構滿足最低抗震設防安全要求的關鍵步驟。在地震作用效應和其它荷載效應的基本組合下，超出結構構件的承載力或在地震作用下結構的側移超過允許值，建筑物就遭到破壞，以至倒塌。地震作用在振動過程中作用在結構上的慣性力，可以理解為一種能反映地震影響的等效荷裁，由于地面運動引起結構的動態(tài)作用，屬間接作用。地震作用與一般荷載不同，它不僅取決于地震烈度，而且與建筑結構的動力特性（結構自振周期、阻尼）有密切關系。1.1.13.1.1建筑結構抗震設計步驟計算結構的地震作用水平地震作用和豎向地震作用計算結構、構件的地震作用效應M、Q、N及D地震作用效應與其他荷載效應組合驗算結構和構件的抗震承載力及變形確保結構、構件的內力＜材料抗力。3.1概述3.1.2結構的地震反應分析理論結構的地震反應地震震動使工程結構產生內力與變形的動態(tài)反應。工程結構的地震反應大小取決于地震震動和工程結構的情況。結構地震反應分析的三個階段靜力理論反應譜理論直接動力分析理論—時程分析法非線性靜力分析方法3.1概述1靜力理論1920年，日本大森房吉提出基本假定假設建筑物為絕對剛體；地震時，建筑物和地面一起運動而無相對于地面的位移；建筑物各部分的加速度與地面加速度大小相同，并取其最大值用于結構抗震設計。地震作用缺點忽略了結構本身的動力特性（結構自振周期、阻尼等）的影響，只適用于剛性結構。（3-1）3.1概述2反應譜理論1940年，美國比奧特（Biot.M.A）提出地震作用G---重力荷載代表值k---地震系數（反映震級、震中距、地基等的影響）b---動力系數(反映結構的特性,如周期、阻尼等的影響)按靜力計算方法計算結構的地震效應目前，世界上普遍采用的方法。3.1概述3時程分析法將實際地震加速度時程記錄（簡稱地震記錄earthquakerecord）作為動荷載輸入，進行結構的地震響應分析。用于對一些重要的建（構）筑物的抗震設計主要特點強調結構的延性對抗震的有利作用，強調結構變形反應，并且簡化成在設計中可以采用的彈性層間位移和彈塑性層間位移，用結構的強度和變形驗算來取代單一的強度驗算，把“小震不壞、大震不倒”的抗震設計原則具體化、規(guī)范化。3.1概述3時程分析法將實際地震加速度時程記錄（簡稱地震記錄earthquakerecord）作為動荷載輸入，進行結構的地震響應分析。用于對一些重要的建（構）筑物的抗震設計主要特點以結構在地震作用下的破壞機理的研究成果為基礎，充分考慮地振動特性的三要素——振幅、頻譜和地震持續(xù)時間對結構的破壞作用，不再滿足于目前僅考慮地震動的加速度峰值和頻譜特性兩個要素，從單一的變形驗算轉變?yōu)橥瑫r考慮結構的最大彈塑性變形和彈塑性耗能的雙重破壞準則，來判斷結構的安全度。3.1概述4非線性靜力分析方法用隨機振動理論來分析結構地震響應統(tǒng)計特征的或以地震時輸入結構的能量進行設計，使結構所吸收的能量不致造成結構破壞的理論等。但這些方法還沒有進入抗震設計規(guī)范，因此未被抗震設計使用。3.1概述3.2單質點彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的計算簡圖把結構的所有質量集中在屋蓋處，墻、柱視為一個無質量的彈性桿，形成一個單質點體系。當一個單質點體系只作單向振動時，形成一個單自由度體系。水塔

單層工業(yè)廠房

彈性恢恢復力力阻尼力力質點速速度質點加加速度度慣性力力3.2.1運動方方程的的建立立地震作作用下下單自自由度度體系系的運運動方方程根據牛牛頓第第二定定律，，質點點運動動方程程為（3-3a）（3-3b）（3-4a）（3-4b）3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析3.2.2運動方方程的的解答答方程（（3-4b）簡化化z——體系的的阻尼尼比，，一般般工程程結構構的阻阻尼比比在0.01~0.1之間；；w——無阻尼尼單自自由度度彈性性體系系的圓圓頻率率。式（3-6）是一一個二二階常常系數數線性性非齊齊次微微分方方程。。它的的解包包含兩兩部分分：一一個是是對應應于齊齊次微微分方方程的的通解解；另另一個個是微微分方方程的的特解解。前前者表表示自自由振振動，，后者者表示示強迫迫振動動。（3-6）3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析3.2.2運動方方程的的解答答1齊次微微分方方程的的通解解（3-7）（3-8）ζ=0時，蛻蛻化為為無阻阻尼自自由振振動（3-9）3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析3.2.2運動方方程的的解答答確定常常系數數A，B當t=0時（3-10）3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析3.2.2運動方方程的的解答答關于阻阻尼比比在不同同的阻阻尼比比ζ下，體系的的振動動可以以有以以下三三種情情況：：1）ζ<1時，w>0，則體體系產產生振振動；；2）ζ>1時，w無解，，則體體系不不產生生振動動；這這種形形式的的阻尼尼稱為為過阻阻尼；；3）ζ=1時，w=0，則體體系不不產生生振動動；ζ=c/2mw=c/cr=1，cr=2mw稱為臨臨界阻阻尼系系數。。ζ則表示示體系系的阻阻尼系系數與與臨界界阻尼尼系數數的比比值，，稱為為臨界界阻尼尼比，，簡稱稱阻尼尼比。。結構的的阻尼尼比可可以通通過結結構的的振動動試驗驗確定定3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析3.2.2運動方方程的的解答答2.非齊次次微分分力程程的特特解——沖量法法將荷載載看成成是連連續(xù)作作用的的一系系列沖沖量，，求出出每個個沖量量引起起的位位移后后將這這些位位移相相加即即為動動荷載載引起起的位位移。。m3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析3.2.2運動方方程的的解答答2.非齊次次微分分力程程的特特解——沖量法法m（1）瞬時時沖量量的反反應a.t=0時作用用瞬時時沖量量3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析3.2.2運動方方程的的解答答2.非齊次次微分分力程程的特特解——沖量法法m（1）瞬時時沖量量的反反應b.t=t時作用用瞬時時沖量量3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析3.2.2運動方方程的的解答答2.非齊次次微分分力程程的特特解——沖量法法（2）動荷載載的位位移反反應---Duhamel積分計阻尼尼時若t=0時體系系有初初位移移、初初速度度3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析運動方方程或其中3.單自由由度體體系地地震作作用分分析3.2.2運動方方程的的解答答3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析由Duhamel積分可可得：：零初初始條條件下下3.單自由由度體體系地地震作作用分分析質點相相對于于地面面的位位移為為質點相相對于于地面面的最最大位位移反反應為為3.2.2運動方方程的的解答答3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析質點相相對于于地面面的速速度為為質點相相對于于地面面的最最大速速度反反應為為3.單自由由度體體系地地震作作用分分析3.2.2運動方方程的的解答答3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析質點的的絕對對加速速度為為質點相相對于于地面面的最最大加加速度度反應應為3.單自由由度體體系地地震作作用分分析3.2.2運動方方程的的解答答3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析最大反反應之之間的的關系系在阻尼尼比、、地面面運動動確定定后，，最大大反應應只是是結構構周期的函函數。單自由由度體體系在在給定定的地地震作作用下下某個個最大大反應應與體系自自振周周期的的關系系曲線線稱為為該反反應的的地震震反應應譜。。3.2.3地震反反應譜譜3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析Elcentro1940（N-S）地震記錄3.2.3地震反反應譜譜3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析3.2.3地震反反應譜譜地震反反應譜譜的特特點阻尼比比對反反應譜譜影響響很大大。對于位位移反反應譜譜，幅幅值隨隨周期期增大大。3.2單質點點彈性性體系系的地地震反反應分分析3.2.3地震反反應譜譜地震反反應譜譜的特特點阻尼比比對反反應譜譜影響響很大大。對于速速度反反應譜譜，當當結構構周期期小于于某個個值時時幅值值隨周周期增增大，，隨后后趨于于常數數。3.2單質點彈彈性體系系的地震震反應分分析3.2.3地震反應應譜地震反應應譜的特特點阻尼比對對反應譜譜影響很很大。對于加速速度反應應譜，當當結構周周期小于于某個值值時幅值值隨周期期急劇增增大，大大于某個個值時，，快速下下降。3.2單質點彈彈性體系系的地震震反應分分析3.2.3地震反應應譜地震反應應譜的特特點場地條件件對反應應譜有很很大影響響。將多個地地震反應應譜平均均后得平平均加速速度反應應譜。周期（s)巖石堅硬場地厚的無粘性土層軟土層地震反應應譜是現現階段計計算地震震作用的的基礎，，通過反反應譜把隨時程程變化的的地震作作用轉化化為最大大的等效效側向力力。3.2單質點彈彈性體系系的地震震反應分分析3.3單質點彈彈性體系系水平地地震作用用-反應譜法法G---集中于質質點處的的重力荷荷載代表表值；g---重力加速速度；---動力系數數；3.3單質點彈彈性體系系的水平平地震作作用——反應譜法法3.3.1單自由度度體系的的水平地地震作用用1.最大地震震作用對于單自自由度體體系，把把慣性力力看作反反映地震震對結構構體系影影響的等等效力，，用它對對結構進進行抗震震驗算。。結構在地地震持續(xù)續(xù)過程中中經受的的最大地地震作用用為---地震系數數；3.3單自由度度彈性體體系的水水平地震震作用與與抗震設設計反應應譜3.3.1單自由度度體系的的水平地地震作用用1.最大地震震作用對于單自自由度體體系，把把慣性力力看作反反映地震震對結構構體系影影響的等等效力，，用它對對結構進進行抗震震驗算。。結構在地地震持續(xù)續(xù)過程中中經受的的最大地地震作用用為---水平地震震影響系系數。3.3單自由度度彈性體體系的水水平地震震作用與與抗震設設計反應應譜3.3.1單自由度度體系的的水平地地震作用用2.地震系數數k地震系數數k是地面運運動最大大加速度度（絕對對值）與與重力加加速度g之比，即即也就是是以重力力加速度度為單位位的地震震動峰值值加速度度。地面加速速度愈大大，地震震的影響響就愈強強烈，即即地震烈烈度愈大大。所以以，地震震系數與與地震烈烈度有關關，它們們都是表表示地震震強烈程程度的參參數。3.3單自由度度彈性體體系的水水平地震震作用與與抗震設設計反應應譜3.3.1單自由度度體系的的水平地地震作用用2.地震系數數k地震系數數與地震震烈度之之間的關關系在一次地地震中、、某處強強震加速速度記錄錄中的最最大值（（以重力力加速度度為單位位），，就是這這次地震震在該處處的k值。如果同時時根據該該處的地地表破壞壞現象、、建筑物物的破壞壞程度等等，按地地展烈度度表評定定該處的的宏觀烈烈度I，這樣，，就提供供它們之之間的一一個對應應關系。。3.3單自由度度彈性體體系的水水平地震震作用與與抗震設設計反應應譜3.3.1單自由度度體系的的水平地地震作用用2.地震系數數k地震系數數與地震震烈度之之間的關關系根據《中國地震震動參數數區(qū)劃圖圖A1》規(guī)定的地地震動峰峰值加速速度取值值，可得得出抗震震設防烈烈度與地地震系數數k值的對應應關系。。烈度每每增加1度，k值增加1倍地震動峰峰值加速速度與《抗震規(guī)范范》中規(guī)定的的設計基基本地震震加速度度相當。。它是50年設計基基準期超超越概率率10%的地震加加速度設設計取值值?？拐鹪O防烈度I6789地震系數k0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.403.3單自由度度彈性體體系的水水平地震震作用與與抗震設設計反應應譜3.3.1單自由度度體系的的水平地地震作用用3.動力系數數b動力系數數b是單質點點彈性體體系在地地震作用用下最大大反應加加速度與與地面運運動最大大加速度度之比；；即質點最最大反應應加速度度比地面面最大加加速度放放大的倍倍數。將頻率用用自振周周期表示示，w=2p/T，得b-T曲線實質質上是一一種加速速度反應應譜曲線線。3.3單自由度度彈性體體系的水水平地震震作用與與抗震設設計反應應譜3.3.1單自由度度體系的的水平地地震作用用3.動力系數數b根據不同同的地面面運動記記錄的統(tǒng)統(tǒng)計分析析表明，，場地的的特性、、震中距距的遠近近對反應應譜曲線線有比較較明顯的的影響。。例如，，場地愈愈軟，震震中距愈愈遠，曲曲線主峰峰位置愈愈向右移移，曲線線主峰也也愈扁平平。因此此，應按按場地類類別、近近震，遠遠震分別別繪出反反應譜曲曲線，然然后根據據統(tǒng)計分分析，從從大量的的反應譜譜曲線中中找出每每種場地地和近、、遠震有有代表性性的平均均反應譜譜曲線，，作為設設計用的的標準反反應譜曲曲線。3.3單自由度度彈性體體系的水水平地震震作用與與抗震設設計反應應譜3.3.2地震影響響系數定義為了簡化化計算，，將上述述地震系系數k和動力系系數b以其乘積積a表示，稱稱為地震震影響系系數。3.3單自由度度彈性體體系的水水平地震震作用與與抗震設設計反應應譜3.3.2地震影響響系數符號意義義amax--地震影響響系數最最大值設防烈度I6度7度8度9度多遇地震0.040.08(0.12)0.16(0.24)0.32罕遇地震—0.50(0.72)0.90(1.20)1.403.3單自由度度彈性體體系的水水平地震震作用與與抗震設設計反應應譜3.3.2地震影響響系數符號意義義Tg---特征周期期設計地震分組場地類別ⅠⅡⅢⅣ第一組0.250.350.450.65第二組0.300.400.550.75第三組0.350.450.650.903.3單自由度度彈性體體系的水水平地震震作用與與抗震設設計反應應譜3.3.2地震影響響系數符號意義義g---曲線下降降段的衰衰減指數數；h1---直線下降降段的斜斜率調整整系數；；h2---阻尼調整系系數，小于于0.55時，應取0.55。3.3單自由度彈彈性體系的的水平地震震作用與抗抗震設計反反應譜3.3.2地震影響系系數符號意義g---曲線下降段段的衰減指指數；h1---直線下降段段的斜率調調整系數；；h2---阻尼調整系系數，小于于0.55時，應取0.55。3.3單自由度彈彈性體系的的水平地震震作用與抗抗震設計反反應譜3.3.2地震影響系系數符號意義g---曲線下降段段的衰減指指數；h1---直線下降段段的斜率調調整系數；；h2---阻尼調整系系數，小于于0.55時，應取0.55?！纠?-1】某單層單跨跨鋼筋混凝凝土框架，，計算簡圖圖如圖3-10a所示。屋蓋蓋梁剛度為為無窮大，，質量集中中于屋蓋處處的重力荷荷載代表值值G=1000kN。已知設防防烈度為8度，設計地地震基本加加速度為0.20g，設計地震震分組為二二組，Ⅱ類場地；框框架柱截面面尺寸為b×h=400××400mm，混凝土強強度等級為為C30。試求該結構構多遇地震震時的水平平地震作用用標準值，，并繪制地地震作用下下的內力圖圖。h=5m3.3單自由度彈彈性體系的的水平地震震作用與抗抗震設計反反應譜【例3-1解】（1）求結構體體系的自振振周期柱的慣性矩矩（m4）：h=5m柱的側移剛剛度（kN/m）自振周期（（s）3.3單自由度彈彈性體系的的水平地震震作用與抗抗震設計反反應譜【例3-1解】（2）求水平地地震作用標標準值設防烈度為為8度，設計地地震基本加加速度為0.20g，多遇地震震時，amax=0.16；設計地震分分組為二組組，Ⅱ類場地時，，Tg=0.40s。Tg＜T＜5Tg，故按曲線線下降段計計算地震影影響系數水平地震作作用標準值值（kN）3.3單自由度彈彈性體系的的水平地震震作用與抗抗震設計反反應譜在實際工程程中，如多多層或高層層工業(yè)與民民用建筑等等，則應簡簡化成多質質點體系來來計算，才才能得出比比較切合實實際的結果果。3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析多層框架結結構，應按按集中質量量法將i層和(i+1)層之間的結結構重力荷荷載、樓面面和屋面可可變荷載集集中于樓面面和屋面標標高處。3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析設它們的質質量為mi（i=1，2，3，…n），并假設設這些質點點由無重量量的彈性直直桿支承于于地面上。。這樣，就就可以將多多層框架簡簡化成多質質點彈性體體系。一般說來，，n層框架可以以簡化成n個質點的彈彈性體系3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析振型分解法法的基本概概念假定建筑結構是線線彈性的多多自由度體體系，只作作單向振動動；利用振型分分解和振型型正交性原原理，將求求解n個自由度體體系的地震震反應分解解為求解n個獨立的等等效單自由由度彈性體體系的最大大地震反應應；求得n個振型作用用效應（M、V、N、D）；；按一一定定法法則則組組合合n個振振型型效效應應為為總總地地震震作作用用效效應應；；驗算算截截面面抗抗震震。。通常常第第一一振振型型周周期期最最長長，，影影響響最最大大，，振振型型愈愈高高，，影影響響愈愈小小。。3.4多自自由由度度彈彈性性體體系系的的地地震震反反應應分分析析3.4.1多質質點點彈彈性性體體系系的的運運動動方方程程xg(t)為地地震震時時地地面面運運動動的的水水平平位位移移，，xi(t)表示示質質點點i相對對于于地地面面的的彈彈性性位位移移。。由于于沒沒有有外外荷荷載載作作用用在在體體系系上上，，Pi(t)=03.4多自自由由度度彈彈性性體體系系的的地地震震反反應應分分析析3.4.1多質質點點彈彈性性體體系系的的運運動動方方程程此時時，，作作用用在在質質點點i上的的力力有有：：慣性性力力彈性性恢恢復復力力阻尼尼力力Kik———質點點k處產產生生單單位位側側移移，，而其其他他質質點點保保持持不不動動時時，，在質質點點i處引引起起的的彈彈性性反反力力；；Cik———質點點k處產產生生單單位位速速度度，，而其其他他質質點點保保持持不不動動時時，，在質質點點i處引引起起的的阻阻尼尼力力；；3.4多自自由由度度彈彈性性體體系系的的地地震震反反應應分分析析3.4.1多質質點點彈彈性性體體系系的的運運動動方方程程根據據達達倫倫貝貝爾爾原原理理，，作作用用在在質質點點i上的的慣慣性性力力、、彈彈性性回回復復力力、、阻阻尼尼力力應應保保持持平平衡衡，，即即得得對于于一一個個n質點點的的彈彈性性體體系系，，可可以以寫寫出出每每個個質質點點i層處處的的平平衡衡方方程程（（共共n個），，由n個方程程組成成的微微分方方程組組可用用以下下矩陣陣形式式表示示：3.4多自由由度彈彈性體體系的的地震震反應應分析析3.4.1多質點點彈性性體系系的運運動方方程[M]———質量矩矩陣，，為對對角矩矩陣；；3.4多自由由度彈彈性體體系的的地震震反應應分析析3.4.1多質點點彈性性體系系的運運動方方程[K]———剛度矩矩陣，，為n×n階的對對稱方方陣；；3.4多自由由度彈彈性體體系的的地震震反應應分析析3.4.1多質點點彈性性體系系的運運動方方程[C]———阻尼矩矩陣，，通常取取為質質量矩矩陣和和剛度度矩陣陣的線線性組組合。。w1、w2分別為為體系系第一一、二二振型型的自自振圓圓頻率率；z1、z2分別為為體系系第一一、二二振型型的阻阻尼比比。3.4多自由由度彈彈性體體系的的地震震反應應分析析3.4.1多質點點彈性性體系系的運運動方方程方程中中，除除質量量矩陣陣是對對角矩矩陣，，不存存在耦耦聯外外，剛剛度矩矩陣和和阻尼尼矩陣陣都不不是對對角矩矩陣。。剛度矩矩陣對對角線線以外外的項項表示示：作作用在在給定定側移移的某某一質質點上上的彈彈性恢恢復力力不僅僅取決決于該該點的的側移移，而而且還還取決決于其其它各各質點點的側側移，，因而而存在在著剛剛度耦耦聯。。在求解解方程程組時時，需需要運運用振振型分分解和和振型型的正正交性性原理理解耦耦，以以使方方程組組的求求解大大大簡簡化。。用振型型分解解反應應譜法法計算算多質質點彈彈性體體系的的地震震反應應和地地震作作用時時，首首先要要知道道各個個振型型及其其對應應的自自振周周期，，這些些都是是由求求解體體系的的自由由振動動方程程得到到的。。3.4多自由由度彈彈性體體系的的地震震反應應分析析3.4.2多質點點彈性性體系系的自自由振振動將方程程中的的阻尼尼項和和右端端項略略去，，即可可得到到無阻阻尼多多自由由度彈彈性體體系的的自由由振動動方程程{X}———體系的的振動動幅值值向量量，即即振型型；j——初相角角。3.4多自由由度彈彈性體體系的的地震震反應應分析析3.4.2多質點點彈性性體系系的自自由振振動{X}為體系系的振振動幅幅值向向量，，其元元素x1x2…xn不可能能全部部為零零，否否則體體系就就不可可能產產生振振動。。{X}非零解解的條條件為為系數數行列列式等等于零零，即即3.4多自由由度彈彈性體體系的的地震震反應應分析析3.4.2多質點點彈性性體系系的自自由振振動上式稱稱為體體系的的頻率率方程程。展展開后后是一一個以以w2為未知知數的的一元元n次方程程，該該方程程的n個根（（特征征值））就是是體系系的n個自振振頻率率。將求得得的n個w值按由由小到到大順順序排排列：：3.4多自由由度彈彈性體體系的的地震震反應應分析析3.4.2多質點點彈性性體系系的自自由振振動將求得得的wj依次代代回到到上式式，就就可得得到對對應于于每一一頻率率值時時的體體系各各質點點的相相對振振幅值值{X}j，用這這些相相對振振幅值值繪制制的體體系各各質點點的側側移曲曲線就就是對對應于于該頻頻率的的主振振型，，簡稱稱振型型。第一振振型稱稱為基基本振振型，，其余余振型型統(tǒng)稱稱為高高振型型。多質點點彈性性體系系的頻頻率方方程是是用剛剛度矩矩陣[K]表示的的，稱稱為剛剛度法法。3.4多自由由度彈彈性體體系的的地震震反應應分析析3.4.2多質點點彈性性體系系的自自由振振動將頻率率方程程的兩兩端乘乘以剛剛度矩矩陣[K]的逆矩矩陣[K]-1,得上式也也是一一個齊齊次線線性代代數方方程組組，振振型{X}有非零零解的的充分分必要要條件件是系系數行行列式式等于于零，，即展開后后，得得3.4多自由由度彈彈性體體系的的地震震反應應分析析3.4.2多質點點彈性性體系系的自自由振振動dik表示在在k質點處處作用用單位位力，，在i質點處處引起起的位位移。。上式式展開開后是是一個個以l為未知知數的的一元元n次方程程，求求解該該方程程，同同樣可可得出出體系系的n個自振振頻率率。故故也稱稱為體體系的的頻率率方程程。展開后后，得得3.4多自由由度彈彈性體體系的的地震震反應應分析析3.4.2多質點點彈性性體系系的自自由振振動由系數行列列式等于零零，得以兩質點彈彈性體系為為例，體系系的自由振振動方程為為3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析3.4.2多質點彈性性體系的自自由振動上式是齊次次方程組，，兩個方程程是線性相相關的。所所以將w1回代后，只只能求得比比值x1/x2，該比值所所確定的振振動形式是是與第一頻頻率w1相對應的振振型，稱為為第一振型型或基本振振型。以兩質點彈彈性體系為為例，體系系的自由振振動方程為為x11、x12分別為第一一振型質點點1和質點2的相對振幅幅值3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析3.4.2多質點彈性性體系的自自由振動同樣，將w2回代后，只只能求得比比值x1/x2，該比值所所確定的振振動形式是是與第二頻頻率w2相對應的振振型，稱為為第二振型型。以兩質點彈彈性體系為為例，體系系的自由振振動方程為為x21、x22分別為第二二振型質點點1和質點2的相對振幅幅值3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析3.4.2多質點彈性性體系的自自由振動對于每個主主振型，質質點1和質點2都是按同一一頻率wj和同一相位位角jj作簡諧振動動，并同時時達到各自自的最大幅幅值，在整整個振動過過程中，兩兩個質點的的振幅比值值xj1/xj2是一個常數數。以兩質點彈彈性體系為為例，體系系的自由振振動方程為為3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析【例3-2】已知某個兩兩質點彈性性體系（如如圖3-），其結構構參數為：：m1=m2=m，K1=K2=K。求該體系的的自振周期期和振型。。m1m23.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析（1）求自振周周期m1m2【例3-2】解3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析（1）求自振周周期m1m2【例3-2】解，3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析（2）求振型【例3-2】解第一振型第二振型0.6181-1.61813.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析3.4.3振型的正交交性多自由度彈彈性體系作作自由振動動時，各振振型對應的的頻率各不不相同，任任意兩個振振型之間存存在著正交交性。利用用振型正交交性原理可可以大大簡簡化多自由由度彈性體體系運動微微分方程組組得求解。。振型關于質質量矩陣的的正交性振型關于剛剛度矩陣的的正交性振型關于阻阻尼矩陣的的正交性3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析3.4.3振型的正交交性振型關于質質量矩陣的的正交性（j≠k）{X}j、{X}k分別為體系系第j、k振型的振幅幅向量i振型j振型（j≠k）3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析3.4.3振型的正交交性振型關于質質量矩陣的的正交性體系作第j振型振動時時i質點的振幅幅xji引起的慣性性力為體系作第k振型振動時時i質點的振幅幅xki引起的慣性性力為j振型各質點點的慣性力力在k振型的虛位位移上作的的功為Ejkk振型各質點點的慣性力力在j振型的虛位位移上作的的功為Ekj3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析3.4.3振型的正交交性振型關于質質量矩陣的的正交性根據功的互互等原理，，Ejk=Ekj，得振型對質量量矩陣的正正交性的物物理意義是是：某一振型在在振動過程程中所引起起的慣性力力在其它振振型上所做做的功為零零。這說明菜一一個振型的的動能不會會轉移到其其它振型上上去，或者者說體系按按某一振型型作自由振振動時不會會激起該體體系其它振振型的振動動（j≠k）3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析3.4.3振型的正交交性振型關于剛剛度矩陣的的正交性（j≠k）根據振型關關于質量矩矩陣的正交交性原理，，當j≠k時，上式右右邊等于零零。即體系按k振型振動引引起的彈性性力在j振型的虛位位移上所作作的功為零零。因此，振型型對剛度矩矩陣正交性性的物理意意義是，體體系按某一一振型振動動時，它的的位能不會會轉移到其其它振型上上去。3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析3.4.3振型的正交交性振型關于阻阻尼矩陣的的正交性由于阻尼矩矩陣是質量量矩陣和剛剛度矩陣的的線性組合合，運用振振型關于質質量矩陣和和剛度矩陣陣的正交性性原理，振振型關于阻阻尼矩陣也也是正交的的，即當j=k時，得第j振型的廣義義質量、剛剛度及阻尼尼為3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析3.4.3振型的正交交性振型正交性性的應用1.檢驗求解出出的振型的的正確性。。2.對耦聯運動動微分方程程組作解耦耦運算等。。3.4多自由度彈彈性體系的的地震反應應分析3.4.4振型分解由結構動力力學知道，，一個n個自由度的的彈性體系系具有n個獨立振型型。振型又又稱作振動動體系的形形狀函數，，它表示體體系按某一一振型振動動過程中各各個質點的的相對位置置。以一個三三層框架架為例，，其三個個振型為為第一振型型第二振型型第三振型型3.4多自由度度彈性體體系的地地震反應應分析xg(t)xi(t)x1ixjixni3.4.4振型分解解由結構動動力學知知道，一一個n個自由度度的彈性性體系具具有n個獨立振振型。振振型又稱稱作振動動體系的的形狀函函數，它它表示體體系按某某一振型型振動過過程中各各個質點點的相對對位置。。以一個三三層框架架為例，，其三個個振型為為匯集3.4多自由度度彈性體體系的地地震反應應分析xg(t)xi(t)x1ixjixni3.4.4振型分解解按照振型型疊加原原理，彈彈性結構構體系中中每個質質點在振振動過程程中的位位移可以以表示為為qj(t)為j振型的廣廣義坐標標，它是是以振型型為坐標標系的位位移值，，即把xji看作廣義義坐標qj(t)的“單位位”，它它是時間間的函數數。廣義義坐標的的列向量量可以寫寫成則整個結結構體系系的位移移列向量量、速度度列向量量、加速速度列向向量可分分別表示示為上式就是是體系的的各種反反應量按按振型進進行分解解的表達達式3.4多自由度度彈性體體系的地地震反應應分析3.4.5多質點體體系的地地震反應應分析運動微分分方程運用振型型關于質質量矩陣陣、剛度度矩陣和和阻尼矩矩陣的正正交性原原理，對對上式進進行簡化化，展開開后可以以得到n個獨立的的二階微微分方程程。對于于第j振型可寫寫成并對方程程等式兩兩端都左左乘[A]T，得代入3.4多自由度度彈性體體系的地地震反應應分析3.4.5多質點體體系的地地震反應應分析運動微分分方程zj和wj分別為體體系j振型的阻阻尼比和和圓頻率率3.4多自由度度彈性體體系的地地震反應應分析3.4.5多質點體體系的地地震反應應分析運動微分分方程gj為j振型的振振型參與與系數，，它表示示第j振型在分分布于單單位質量量外荷載載中所占占的分量量。3.4多自由度度彈性體體系的地地震反應應分析3.4.5多質點體體系的地地震反應應分析運動微分分方程3.4多自由度度彈性體體系的地地震反應應分析上式完全全相當于于一個單單自由度度彈性體體系的運運動方程程。3.4.5多質點體體系的地地震反應應分析運動微分分方程3.4多自由度度彈性體體系的地地震反應應分析多自由度度彈性體體系i質點相對對于地面面的位移移和加速速度為3.5多質點彈彈性體系系水平地地震作用用和地震震作用效效應3.5.1振型分解反應應譜法3.5.2底部剪力法3.5.3水平地震作用用下地震內力力的調整3.5.1振型分解反應應譜法多質點體系在在地震時，質質點i上受到的地震震作用等于質質點i上的慣性力3.5多質點彈性體體系水平地震震作用和地震震作用效應3.5.1振型分解反應應譜法t時刻第j振型i質點的水平地地震作用Fji(t)為3.5多質點彈性體體系水平地震震作用和地震震作用效應體系第j振型i質點水平地震震作用標準值值為上式的絕絕對值于是得到《抗震規(guī)范》中振型分解反反應譜法的水水平地震作用標準值的的計算公式3.5.1振型分解反應應譜法水平地震作用用標準值的計計算公式3.5多質點彈性體體系水平地震震作用和地震震作用效應Fji——j振型i質點的水平地地震作用標準準值；aj——相應于j振型自振周期期的地震影響響系數；xji——j振型i質點的水平相相對位移；gj——j振型的參與系系數；Gi——集中于i質點的重力荷荷載代表值。。（i=1,2,…,n；j=1,2,…,n）求出第j振型第i質點上的水平平地震作用后后，便可按一一般力學方法法計算結構的的地震作用效效應，包括彎彎矩、剪力、、軸力和變形形等3.5.1振型分解反應應譜法重力荷載代表表值Gj永久荷載（建建筑結構構配配件自重）標標準值+可變荷載（雪雪、灰、樓面面活荷載）組組合值總重力荷載代代表值GE=ΣGjj層永久久荷載載標準準值組合值值系數數，一一般取取0.5可變荷荷載標標準值值3.5多質點點彈性性體系系水平平地震震作用用和地地震作作用效效應3.5.1振型分分解反反應譜譜法可變荷荷載（（雪、、灰、、樓面面活荷荷載））組合合值系系數可變荷載種類組合值系數雪荷載0.5屋面積灰荷載0.5屋面活荷載不計入按實際情況計算的樓面活荷載1.0按等效均布荷載計算的樓面活荷載藏書庫、檔案庫0.8其它民用建筑0.5吊車懸吊物重力硬鉤吊車0.3軟鉤吊車不計入3.5多質點點彈性性體系系水平平地震震作用用和地地震作作用效效應3.5.1振型分分解反反應譜譜法振型組組合根據振振型分分解法法確定定的相相應于于各振振型的的地震震作用用Fji（i=1,2,……,n；j=1,2,……,n）均為為最大大值。。按Fji的求得得的地地震作作用效效應Sj也是最最大值值。然然而，，各振振型的的地震震作用用Fji的最大大值并并不出出現在在同一一時刻刻，其其相應應的最最大地地震作作用效效應Sj也不會會同時時發(fā)生生。因此，，需要要進行行合理理的振振型組組合方方式，，以確確定合合理的的地震震作用用效應應。假定地地震時時地面面運動動為平平穩(wěn)的的隨機機過程程，則則對于于各平平動振振型所所產生生的地地震作作用效效應可可近似似采用用“平平方和和開平平方””的方方法來來確定定。這這就是是《抗震規(guī)規(guī)范》采用的的地震震作用用效應應的組組合方方式。。3.5多質點點彈性性體系系水平平地震震作用用和地地震作作用效效應3.5.1振型分分解反反應譜譜法水平地地震作作用效效應3.5多質點點彈性性體系系水平平地震震作用用和地地震作作用效效應（i=1,2,……,n）S———水平平地地震震作作用用效效應應；；Sj———第j振型型水水平平地地震震作作用用所所產產生生的的作作用用效效應應，，包括括內內力力和和變變形形。。各個個振振型型在在地地震震總總反反應應中中的的貢貢獻獻將將隨隨著著頻頻率率的的增增加加而而迅速速減減小小，，因因此此在在實實際際計計算算中中，，一一般般采采用用前前2~3個振振型型即可可。?？伎紤]慮到到周周期期較較長長結結構構的的各各個個自自振振頻頻率率比比較較接接近近，，因此此《抗震震規(guī)規(guī)范范》規(guī)定定，，當當基基本本自自振振周周期期大大于于1.5s或房房屋高高寬寬比比大大于于5時，，可可適適當當增增加加參參與與組組合合的的振振型型個個數數。。3.5.2底部部剪剪力力法法用振振型型型型分分解解反反應應譜譜法法計計算算建建筑筑結結構構的的水水平平地地震震作作用用是是比比較較復復雜雜的的，，特特別別是是房房屋屋層層數數較較多多時時，，不不能能手手算算，，必必須須用用程程序序計計算算。。計算算假假定定理論論分分析析表表明明，，對對于于重重量量和和剛剛度度沿沿高高度度分分布布比比較較均均勻勻、、高高度度不不超超過過40m、以以剪剪切切變變形形為為主主（（房房屋屋高高寬寬比比小小于于4時））的的結結構構，，結結構構振振動動具具有有以以下下兩兩個個特特點點：：（1）位位移移反反應應以以基基本本振振型型為為主主；；（2）基基本本振振型型接接近近于于直直線線。。為了了簡簡化化計計算算，，《抗震震規(guī)規(guī)范范》規(guī)定定，，在在滿滿足足上上述述假假定定條條件件時時，，可可采采用用近近似似計計算算方方法法，，即即底底部部剪剪力力法法。。3.5多質質點點彈彈性性體體系系水水平平地地震震作作用用和和地地震震作作用用效效應應3.5.2底部部剪剪力力法法計算算公公式式推推導導3.5多質質點點彈彈性性體體系系水水平平地地震震作作用用和和地地震震作作用用效效應應（i=1,2,……,n；j=1,2,……,n）（i=1,2,……,n）高振振型型影影響響系系數數3.5.2底部部剪剪力力法法計算算公公式式推推導導3.5多質質點點彈彈性性體體系系水水平平地地震震作作用用和和地地震震作作用用效效應應（i=1,2,……,n）經過大量量計算資資料的統(tǒng)統(tǒng)計分析析表明，，當結構構體系各各質點重重量相等等，且重重量和剛剛度沿高高度分布布比較均均勻時當結構為為單質點點體系（（即單層層建筑））時，q=1；當結構為為無窮多多質點體體系時，，q=0.75?！犊拐鹨?guī)范范》為簡化計計算，當當n＞l時，取q＝0.85。3.5.2底部剪力力法底部總剪剪力FEk——結構總水水平地震震作用標標準值；；a1——相應于結結構基本本自振周周期T1的水平地地震影響響系數值值；Geq——計算水平平地震作作用時，，結構等等效總重重力荷載載。單質質點體系系應取總總重力荷荷載代表表值，多多質點體體系取總總重力荷荷載代表表值的85%，即3.5多質點彈彈性體系系水平地地震作用用和地震震作用效效應3.5.2底部剪力力法各質點的的水平地地震作用用標準值值HiFiFEk在滿足底底部剪力力法的條條件下，，計算各質點的的水平地地震作用用時，可可僅考慮基本振振型，而而忽略高高振型的的影響。。這樣，基基本振型型質點的的相對水水平位移xi1將與質點點的計算算高度Hi成正比，，即，其中中為比例例常數，，Hi為質點計計算高度。。3.5多質點彈彈性體系系水平地地震作用用和地震震作用效效應3.5.2底部剪力力法各質點的的水平地地震作用用標準值值于是，作作用在第第i質點上的的水平地地震作用標準準值可寫寫成HiFiFEk3.5多質點彈彈性體系系水平地地震作用用和地震震作用效效應3.5.2底部剪力力法各質點的的水平地地震作用用標準值值樓層剪力力按上式計計算得到到的各質質點的水水平地震震作用可可較好地地反映剛度度較大的的結構，，如砌體體結構的的地震作作用。HiFiFEk3.5多質點彈彈性體系系水平地地震作用用和地震震作用效效應3.5.2底部剪力力法頂部附加加地震作作用當結構層層數較多多時，通通過大量量的計算算分析發(fā)發(fā)現，上上式計算算出的結結構頂部部地震作作用往往往小于按按振型分分解反應應譜法的的計算結結果，特特別是基基本周期期較長的的多、高高層建筑筑相差較較大。這是由于于高振型型對結構構地震反反應的影影響主要要在結構構上部，，而按上上式計算算Fi時忽略了了高振型型影響的的緣故。。同時，震震害經驗驗也表明明，某些些基本周周期較長長的建筑筑，上部部震害較較為嚴重重。因此，《抗震規(guī)范范》采取調整整地震作作用的方方法，使使頂部剪剪力有所所增加3.5多質點彈彈性體系系水平地地震作用用和地震震作用效效應3.5.2底部剪力力法頂部附加加地震作作用HiFiFEkΔFn樓層剪力力Tg（s）T1＞1.4Tg≤0.350.08T1+0.070.35~0.550.08T1+0.01＞0.550.08T1-0.023.5多質點彈彈性體系系水平地地震作用用和地震震作用效效應3.5.3水平地震震作用下下地震內內力的調調整突出屋面面小塔樓樓的地震震作用震害調查查表明，，突出屋屋面的房房間（樓樓梯間、、電梯間間、水箱箱間）、、女兒墻墻、煙囪囪等，地地震反應應強烈，，震害比比下部主主體結構構嚴重。。這是由由于突出出屋面的的建筑的的質量和和剛度突突然變小小，地震震反應隨隨之加大大的緣故故。這種種現象稱稱為“鞭鞭端效應應”。因此《抗震規(guī)范范》規(guī)定，采采用底部部剪力法法時，突突出屋面面的屋頂頂間、女女兒墻、、煙囪等等的地震震作用效效應，宜宜乘以增增大系數數3，此增大大部分不不應往下下傳遞，，但與該該突出部部分相連連的構件件應予計計入。單層廠房房突出屋屋面天窗窗架的地地震作用用效應的的增大系系數，應應按有關關規(guī)定采采用。3.5多質點彈彈性體系系水平地地震作用用和地震震作用效效應3.5.3水平地震震作用下下地震內內力的調調整最小地震震剪力由于地震震影響系系數在長長周期段段下降較較快，對對于基本本周期大大于3s的結構，，由此計計算所得得的水平平地震作作用下的的結構效效應可能能太小。。當結構自自振周期期較長、、剛度較較弱時，，地震地地面運動動速度和和位移可可能對結結構的破破壞具有有更大影影響，但但是振型型分解反反應譜法法尚無法法對此作作出估計計。出于結結構安安全的的考慮慮，《高規(guī)》規(guī)定了了不同同烈度度下的的最小小地震震剪力力系數數。在進行行鋼筋筋混凝凝土結結構和和鋼結結構的的抗震震驗算算時，，一般般用結結構底底部總總剪力力與結結構總總重量量之比比來判判斷計計算結結果的的合理理與否否。因因此，，最小小地震震剪力力系數數習慣慣上稱稱為剪剪重比比。不不同的的結構構類型型，其其剪重重比有有所差差別。。一般般說來來，結結構總總體剛剛度越越大，，剪重重比越越大。。3.5多質點點彈性性體系系水平平地震震作用用和地地震作作用效效應3.5.3水平地地震作作用下下地震震內力力的調調整最小地地震剪剪力對于樓樓層的的水平平地震震剪力力最小小值，，也參參照剪剪重比比的概概念來來控制制，但但此時時應取取該樓樓層的的剪力力與該該樓層層以上上的結結構重重量之之比。。即類別7度8度9度扭轉效應明顯或基本周期小于3.5s的結構0.016（0.024）0.032（0.048）0.064基本周期大于5s的結構0.012（0.018）0.024（0.032）0.0403.5多質點點彈性性體系系水平平地震震作用用和地地震作作用效效應3.5.3水平地地震作作用下下地震震內力力的調調整地基與與上部部結構構相互互作用用的影影響自學3.5多質點點彈性性體系系水平平地震震作用用和地地震作作用效效應3.6結構自自振周周期的的計算算計算范范圍采用底底部剪剪力法法，除除砌體結結構、底部框框架抗抗震墻墻磚房房和多層內內框架架房屋屋不需要要計算算自振振周期期外，，其余余均需需計算算自振振周期期。計算方方法矩陣位位移法法解特特征問問題近似公公式經驗公公式設體系系按i振型作作自由由振動動速度為為t時刻的的位移移為3.6結構自自振周周期的的計算算3.6.1能量法法動能為為設體系系按i振型作作自由由振動動速度為為t時刻的的位移移為3.6結構自自振周周期的的計算算3.6.1能量法法勢能為為設體系系按i振型作作自由由振動動3.6結構自自振周周期的的計算算3.6.1能量法法最大動動能為為最大勢勢能為為由能量量守恒恒，有有通常將將重力力作為為荷載載所引引起的的位移移代入入上式式求基基本頻頻率的的近似似值。。3.6.1能量量法法3.6結構構自自振振周周期期的的計計算算將多多質質點點體體系系用用單單質質點點體體系系代代替替。。多質質點點體體系系的的最最大大動動能能為為單質質點點體體系系的的最最大大動動能能為為xm---體系系按按第第一一振振型型振振動動時時，，相相應應于于折折算算質質點點處處的的最最大大位位移移；；d---單位位水水平平力力作作用用下下頂頂點點位位移移3.6.2等效效質質量量法法（（折折算算質質量量法法））3.6結構構自自振振周周期期的的計計算算(1)體系系按按彎彎曲曲振振動動時時例如如：：抗抗震震墻墻結結構構可可視視為為彎彎曲曲型型桿桿無限限自自由由度度體體系系，，彎彎曲曲振振動動的的運運動動方方程程為為懸臂桿的特解解為基本周期為重力作為水平平荷載所引起起的位移為3.6.3頂點位移法振型3.6結構自振周期期的計算(2)體系按剪切振動時例如：框架結結構可近似視視為剪切型桿桿無限自由度體體系，剪切桿桿振動的運動動方程為懸臂桿的特解解為基本周期為重力作為水平平荷載所引起起的位移為3.6.3頂點位移法振型3.6結構自振周期期的計算(3)體系按彎剪振動時例如：框架-剪力墻結構可可近似視為剪剪切型桿無限自由度體體系，剪切桿桿振動的運動動方程為基本周期為3.6.3頂點位移法3.6結構自振周期期的計算根據實測統(tǒng)計計，忽略填充充墻布置、質質量分布差異異等，初步設設計時可按下下列公式估算算：（1）高度低于25m且有較多的填填充墻框架辦辦公樓、旅館館（2）高度低于50m的鋼筋混凝土土框架-抗震墻結構H---房屋總高度；；B---所考慮方向房房屋總寬度。。（3）高度低于50m的規(guī)則鋼筋混混凝土抗震墻墻結構（4）高度低于35m的化工煤炭工工業(yè)系統(tǒng)鋼筋筋混凝土框架架廠房3.6.4自振周期的經經驗公式3.6結構自振周期期的計算在實測統(tǒng)計基基礎上，再忽忽略房屋寬度度和層高的影影響等，有下下列更粗略的的公式（1）鋼筋混凝土土框架結構（2）鋼筋混凝土土框架-抗震墻或鋼筋筋混凝土框架架-筒體結構N