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三角形五心及其性質(zhì)延伸三角形五心及其性質(zhì)延伸三角形五心及其性質(zhì)延伸V:1.0精細(xì)整理，僅供參考三角形五心及其性質(zhì)延伸日期：20xx年X月三角形五心及其性質(zhì)延伸1.內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點,也是三角形內(nèi)切圓的圓心。角平分線性質(zhì):到角兩邊距離相等.內(nèi)心性質(zhì)：到三角形三邊距離相等。ABDCABDCEcbc如圖，AD為△ABC中的平分線，則有證明過程如下：作BE∵,∴,=c.又∵BEABCDEFABCDEF∴,.又∵CEcbcAFBDCE又,即.而△ABE為等腰三角形,BFAE,cbcAFBDCE∴,∴..OAFB.OAFBDCE設(shè)三角形面積為S，則有證明過程如下：連接OA,OB,OC.∵相切，∴，即S△AOB=，同理S△AOC=，S△BOC=.又∵S=S△AOB+S△AOC+S△BOC,即S=,∴.2.重心:三角形三條中線交點AGFAGFECBDH重心性質(zhì):分三角形的中線兩段長比例為2:1(長:短)如圖:AD,BE,CF為△ABC三條中線，G為其重心，則有證明過程如下：作BHAFBEAFBEDC延伸:三角形中線長公式如圖,AD為△ABC的中線,則有證明過程如下:作BE心：三角形三邊垂直平分線的交點,三角形外接圓圓心。.OA.OABDC外心性質(zhì)：到三角形三個頂點距離相等。內(nèi)心到三頂點距離R(三角形外接圓半徑)R=(某邊除以它對角正弦的2倍)證明過程于下:連接AO并延長交圓O于D,則AD為圓直徑,AD=2R.又(直徑所對的圓周角是),AB=c,(同弧AB所對的圓周角相等),∴AD=,即2R,R=.延伸①:正弦定理由于R=,同理易證,變形得到ABCD正弦定理:ABCD延伸②:余弦定理（）證明過程如下：作CDAB交其于D，∴，BD=，，又，即=，其他邊角也同求4.旁心：三角形一個內(nèi)角平分線與另外兩個外角的平分線的交點。旁心性質(zhì)：三角形的四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）只有一個，P2P2ACP3P1BM2M3N1N3N2證明過程如下：如圖，P1、P2、P3為△ABC三個旁心。以P1為例，P1在平分線上，∴P1到AB、AM2距離相等，即P1到AB、AC所在直線M1N1、M2N2距離相等，同理，P1在平分線上，∴P1到AB、BM3距離相等，即P1到AB、BC所在直線M1N1、M3N3距離相等,故得到旁心到三邊所在直線距離相等。AABDC補充：三

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