任意角的三角函數(shù) -高中數(shù)學(xué)必修4教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGE教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容及其解析教學(xué)內(nèi)容：任意角的三角函數(shù)內(nèi)容解析：三角函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)特例，是函數(shù)概念的下位概念，與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)具有相同的地位，但是在具體的定義方式上又有所不同，應(yīng)該按照概念的體系將之納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，揭示彼此之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)新概念的本質(zhì)屬性。二、目標(biāo)及其解析1．借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。（能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值，能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)。）2．在定義的學(xué)習(xí)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。（根據(jù)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出角的各三角函數(shù)值，及各三角函數(shù)的定義域，利用單位圓的幾何特征寫(xiě)出正弦、余弦的值域。）3．在概念同化和精致的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生研究問(wèn)題的能力。（知道概念所在的體系，知道任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)、函數(shù)、指、對(duì)數(shù)函數(shù)等之間的關(guān)系，利用單位圓的幾何特征研究三角函數(shù)的方法。）三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析在概念教學(xué)過(guò)程中要注意學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的作用，發(fā)揮其正遷移，防止其負(fù)遷移。本課時(shí)研究的是任意角的三角函數(shù)，學(xué)生在初中階段曾經(jīng)研究過(guò)銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒(méi)有坐標(biāo)系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務(wù)。以上三點(diǎn)都是與本課時(shí)不同的，因此在教學(xué)過(guò)程中要發(fā)展學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮其正遷移。具體而言要做到：明確研究范圍的變化，開(kāi)闊學(xué)生的視野，并揭示由此帶來(lái)的新問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；借助單位圓在坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，要先將銳角的三角函數(shù)問(wèn)題置于坐標(biāo)系中，幫助學(xué)生利用坐標(biāo)系借助單位圓重新認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)，這樣做激活了學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并且用新的視角認(rèn)識(shí)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，同時(shí)為新的研究?jī)?nèi)容做好鋪墊；第三，由于研究范圍的改變，更加突出了任意角的三角函數(shù)是為研究客觀世界中大量存在的周期性現(xiàn)象服務(wù)的。這些都是在本課時(shí)的學(xué)習(xí)之后應(yīng)該取得的認(rèn)知方面的進(jìn)步。教學(xué)支持條件分析利用幾何畫(huà)板改變角的位置，認(rèn)識(shí)角的終邊位于不同象限時(shí)如何定義角的三角函數(shù)值，充實(shí)學(xué)生的直觀感知材料，幫助學(xué)生形成比較全面的認(rèn)知。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題1:本章研究的問(wèn)題是三角函數(shù)，函數(shù)的研究離不開(kāi)平面直角坐標(biāo)系，這在第一節(jié)中已經(jīng)有所感受?，F(xiàn)在請(qǐng)你回憶初中學(xué)過(guò)的銳角三角函數(shù)的定義，并思考一個(gè)問(wèn)題：如果將銳角置于平面直角坐標(biāo)系中，如何用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)呢？（設(shè)計(jì)意圖：將已有知識(shí)坐標(biāo)化,分化難點(diǎn)。用新的觀點(diǎn)再認(rèn)識(shí)學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮其正遷移作用，同時(shí)使本課時(shí)的學(xué)習(xí)與學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)系，使知識(shí)有一個(gè)熟悉的起點(diǎn)，扎實(shí)的固著點(diǎn)。）預(yù)計(jì)的回答：學(xué)生可以回憶出初中學(xué)過(guò)的銳角三角函數(shù)的定義，但是在用坐標(biāo)語(yǔ)言表述時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)困難——即使將角置于坐標(biāo)系中但是仍然習(xí)慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數(shù)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生將之轉(zhuǎn)換為用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)。問(wèn)題2:回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋?zhuān)墙柚趩挝粓A給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)的依據(jù)是什么？寫(xiě)出最簡(jiǎn)單的形式。（設(shè)計(jì)意圖：引入單位圓。深化對(duì)單位圓作用的認(rèn)識(shí)，用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究，為定義的拓展奠定基礎(chǔ)。該問(wèn)題與問(wèn)題1結(jié)合，分步推進(jìn)，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）預(yù)計(jì)的困難：由于學(xué)生只接觸過(guò)一次單位圓，對(duì)它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教師的引導(dǎo)。也可以引導(dǎo)學(xué)生從形式上對(duì)上述定義化簡(jiǎn)，使得分母為1，之后通過(guò)分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來(lái)。問(wèn)題3：上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)給出的，它可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請(qǐng)你寫(xiě)出任意角的三角函數(shù)的定義。分小組分別寫(xiě)出角α的終邊位于第二、三、四象限和x軸、y軸上時(shí)的三角函數(shù)。（設(shè)計(jì)意圖：具體認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)，突現(xiàn)本課時(shí)的研究重點(diǎn)。如果問(wèn)題太一般化，如設(shè)計(jì)為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學(xué)生不知道“上述定義”是指哪個(gè)，而且不明白任意角該如何取。所以在問(wèn)題設(shè)計(jì)中再次強(qiáng)調(diào)要借助于單位圓，利用坐標(biāo)，限定學(xué)生的思維，以免太發(fā)散。再者在一般要求“寫(xiě)出任意角的三角函數(shù)”之后，又提出具體的活動(dòng)方式：分小組針對(duì)不同位置的角分別寫(xiě)出其三角函數(shù)。這樣將問(wèn)題具體化，學(xué)生容易著手解決。寫(xiě)出定義的過(guò)程也是鞏固推廣的過(guò)程，而且這樣做盡可能避免出現(xiàn)學(xué)生用計(jì)算器算cosπ的現(xiàn)象。）練習(xí)１（P15練習(xí)3）完成下列表格中的前兩列：例1已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步加深對(duì)定義的理解。）分析：通過(guò)相似求出角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，之后再根據(jù)定義求解。問(wèn)題4通過(guò)本課時(shí)的學(xué)習(xí)你有哪些收獲，請(qǐng)從知識(shí)、思想方法經(jīng)驗(yàn)等方面進(jìn)行小結(jié)。此外你還有哪些需要質(zhì)疑之處。（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，并進(jìn)一步思考。通過(guò)質(zhì)疑引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)，雖然在課堂上不研究其他3個(gè)三角函數(shù)，但是可以讓學(xué)生有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。通過(guò)三角函數(shù)定義的一般化，引導(dǎo)學(xué)生用辯證的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物，理解三角函數(shù)。）六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．P15練習(xí)1，2，3；（設(shè)計(jì)意圖：初步應(yīng)用定義和等價(jià)定義。）2．習(xí)題1.2A組2。（設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)