新課標2023版高考數(shù)學一輪總復習第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布解答題模板構建6統(tǒng)計與概率教師用書

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7分P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(2,24)＋C\o\al(1,8)·C\o\al(1,24),C\o\al(2,64))＝eq\f(468,2016)＝eq\f(13,56)， 8分P(η＝0)＝1－eq\f(1,72)－eq\f(2,21)－eq\f(13,56)＝eq\f(83,126)． 9分所以，隨機變量η的分布列為η5030100Peq\f(1,72)eq\f(2,21)eq\f(13,56)eq\f(83,126)所以E(η)＝50×eq\f(1,72)＋30×eq\f(2,21)＋10×eq\f(13,56)＋0×eq\f(83,126)＝eq\f(370,63)．12分第一步：確定隨機變量的所有可能值；第二步：求每一個可能值所對應的概率；第三步：列出離散型隨機變量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顧、查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范．類型一統(tǒng)計與概率的綜合問題某手機廠家生產(chǎn)A，B，C三種型號的手機，每種型號手機又分為標準版和Pro版兩個版本，某月的產(chǎn)量(單位：部)如表：A型號B型號C型號標準版200650NPro版300350600該廠質檢部門采用分層隨機抽樣的方法從這個月生產(chǎn)的手機中抽取100部，其中A型號手機20部．(1)求N的值；(2)在C型號手機中采用分層隨機抽樣的方法抽取5部手機，再從這5部手機中任意抽取2部，求至多有1部手機為Pro版的概率；(3)該手機廠家所在城市的質量技術監(jiān)督部門從B型號手機中采用簡單隨機抽樣的方法抽取了8部手機，經(jīng)相關技術部門進行檢測，這8部手機的綜合質量得分分別為9.2,8.8,8.5，9.0，9.3,9.2,8.6,9.4(滿分均為10分)．將這8部手機的得分看成一個整體，若這8部手機中，與該整體平均得分之差的絕對值不超過0.3的概率低于0.65時，則該型號的手機不能投入市場．請通過計算判斷B型號手機是否能投入市場？解：(1)由分層隨機抽樣的性質得eq\f(20,200＋300)＝eq\f(100,200＋300＋650＋350＋N＋600)，解得N＝400．(2)在C型號手機中采用分層隨機抽樣的方法抽取5部手機，則標準版抽取5×eq\f(400,400＋600)＝2(部)，Pro版抽取5×eq\f(600,600＋400)＝3(部)，再從這5部手機中任意抽取2部，樣本點總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，至多有1部手機為Pro版包含的樣本點個數(shù)m＝Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,2)＝7，所以至多有1部手機為Pro版的概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(7,10)．(3)這8部手機的綜合質量得分分別為9.2,8.8,8.5，9.0，9.3,9.2,8.6,9.4(滿分均為10分)，將這8部手機的得分看成一個整體，該整體平均得分為eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(1,8)×(9.2＋8.8＋8.5＋9.0＋9.3＋9.2＋8.6＋9.4)＝9，這8部手機中，與該整體平均得分之差的絕對值不超過0.3的綜合質量得分有9.2,8.8,9.0,9.3,9.2，共5個，所以這8部手機中，與該整體平均得分之差的絕對值不超過0.3的概率p＝eq\f(5,8)≈0.625<0.65，所以B型號手機不能投入市場．類型二回歸分析問題我國為全面建設社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備增加研發(fā)資金，現(xiàn)該企業(yè)為了解年研發(fā)資金投入額x(單位：億元)對年盈利額y(單位：億元)的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額xi和年盈利額yi的數(shù)據(jù)．通過對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①y＝α＋βx2；②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．令ui＝xeq\o\al(2,i)，vi＝lny(i＝1,2，…，10)，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：(1)請從相關系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好；(2)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的非線性經(jīng)驗回歸方程(回歸系數(shù)精確到0.01)．解：(1)若選擇模型①y＝α＋βx2，ui＝xeq\o\al(2,i)，故可得其相關系數(shù)r1＝＝eq\f(13,15)≈0.87．若選擇模型②y＝eλx＋t，vi＝lny，故可得其相關系數(shù)r2＝＝eq\f(12,\r(65×2.6))＝eq\f(12,13)≈0.92，則|r1|<|r2|，因此從相關系數(shù)的角度，模型y＝eλx＋t的擬合程度更好．(2)先建立v關于x的經(jīng)驗回歸方程，由y＝eλx＋t得lny＝λx＋t，即eq\x\to(v)＝eq\o(λ,\s\up7(^))x＋eq\o(t,\s\up7(^))．＝eq\f(12,65)≈0.18，eq\o(t,\s\up7(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(λ,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝5.36－eq\f(12,65)×26＝0.56，故v關于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\x\to(v)＝0.18x＋0.56，故lneq\o(y,\s\up7(^))＝0.18x＋0.56，即eq\o(y,\s\up7(^))＝e0.18x＋0.56，故y關于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝e0.18x＋0.56．類型三獨立性檢驗問題2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，這是一件讓全國人民普遍關注的大事，因此每天有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關新聞．某機構將每天關注這件大事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構通過調查，并從參與調查的人群中隨機抽取了100人進行分析，得到下表(單位：人)：天文愛好者非天文愛好者合計女2050男15合計100(1)將上表中的數(shù)據(jù)填寫完整，并依據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，能否認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關；(2)現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層隨機抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，求其中至少有1人是“天文愛好者”的概率．附：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d．α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)填寫表格如下：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100零假設為H0：“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別無關，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))＝eq\f(100(20×15－30×35)2,50×50×55×45)≈9.091>7.879＝x0.005．根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005．(2)按分層隨機抽樣抽取的5人中：2名為“天文愛好者”，編號為a，b；3名為“非天文愛好者”，編號為1,2,3，則從這5人中隨機選出3人，所有可能結果如下：ab1，ab2，ab3，a12，a13，a23，b12，b13，b23,123，共10種情況，其中至少有1人是“天文愛好者”的有9種，所以概率為eq\f(9,10)．類型四分布列、均值與方差某城市A公司外賣配送員底薪是每月1800元，設一人每月配送的單數(shù)為X．若X∈[1,300]，每單提成3元；若X∈(300,600]，每單提成4元；若X∈(600，＋∞)，每單提成4.5元．B公司外賣配送員底薪是每月2100元，設一人每月配送單數(shù)為Y．若Y∈[1,400]，每單提成3元；若Y∈(400,＋∞)，每單提成4元．小王想在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機調查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在2021年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計日送餐量x/單131416171820天數(shù)2612622表2B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計日送餐量x/單111314151618天數(shù)4512351(1)設A公司外賣配送員月工資(單位：元)為f(X)，B公司外賣配送員月工資(單位：元)為g(Y)，當X＝Y且X，Y∈(300,600]時，比較f(X)與g(Y)的大小關系．(2)將甲、乙4月份的日送餐量的頻率視為對應公司的外賣配送員日送餐量的概率．①計算外賣配送員甲和乙的日送餐量的數(shù)學期望E(x)和E(y)；②請利用所學的統(tǒng)計學知識為小王做出選擇，并說明理由．解：(1)當X＝Y且X，Y∈(300,600]時，g(Y)＝g(X)．當X∈(300,400]時，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300>0；當X∈(400,600]時，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300<0．所以當X∈(300,400]時，f(X)>g(Y)；當X∈(400,600]時，f(X)<g(Y)．(2)①甲的日送餐量x的分布列為x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)乙的日送餐量y的分布列為y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)則E(x)＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16，E