初中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計教案

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）概率與統(tǒng)計熱點一統(tǒng)計與統(tǒng)計案例以統(tǒng)計圖表或文字敘述的實際問題為載體，通過對相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析、抽象概括，作出估計、判斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力與運算能力及應(yīng)用意識.【例1】如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2008～2014.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))yi＝9.32，eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))tiyi＝40.17，eq\r(\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up2(－))）2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up2(－))）（yi－\o(y,\s\up2(－))）,\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up2(－))）2\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up2(－))）2))，回歸方程eq\o(y,\s\up2(^))＝eq\o(a,\s\up1(^))＋eq\o(b,\s\up3(^))t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up3(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up2(－))）（yi－\o(y,\s\up2(－))）,\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up2(－))）2)，eq\o(a,\s\up1(^))＝eq\o(y,\s\up1(－))－eq\o(b,\s\up3(^))eq\o(t,\s\up1(－)).解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得eq\o(t,\s\up1(－))＝4，eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up1(－)))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up1(－))）2)＝0.55.eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up1(－)))(yi－eq\o(y,\s\up1(－)))＝eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))tiyi－eq\o(t,\s\up1(－))eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,2×2.646×0.55)≈0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.(2)由eq\o(y,\s\up1(－))＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up3(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up1(－))）（yi－\o(y,\s\up1(－))）,\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up1(－))）2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103，eq\o(a,\s\up1(^))＝eq\o(y,\s\up1(－))－eq\o(b,\s\up3(^))eq\o(t,\s\up1(－))≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up1(^))＝0.92＋0.10t.將2016年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得eq\o(y,\s\up1(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸.教材探源1.本題源于教材(必修3P90例)有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：攝氏溫度/℃－504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫出散點圖；(2)從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；(3)求回歸方程；(4)如果某天的氣溫是2℃，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù).2.(1)考題以形求數(shù)，教材是由數(shù)到形再到數(shù)；(2)考題與教材都是“看圖說話，回歸分析預(yù)測”，但考題中以具體數(shù)字(相關(guān)系數(shù))說明擬合效果，突顯數(shù)學(xué)直觀性與推理論證的巧妙融合，進一步考查考生的數(shù)據(jù)處理能力與運算能力及應(yīng)用意識，源于教材，高于教材.【類題通法】1．分析兩個變量的線性相關(guān)性，可通過計算相關(guān)系數(shù)r來確定，r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強，r的絕對值越接近于0，表明兩變量線性相關(guān)性越弱.2．求線性回歸方程的關(guān)鍵是正確運用eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式進行準確的計算.【對點訓(xùn)練】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm).下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得eq\o(x,\s\up1(－))＝eq\f(1,16)eq\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))xi＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up1(－))）2)＝eq\r(\f(1,16)（\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－16\o(x,\s\up1(－))2）)≈0.212，eq\r(\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))（i－8.5）2)≈18.439，eq\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up1(－)))(i－8.5)＝－2.78，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1，2，…，16.(1)求(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25，則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小).(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(eq\o(x,\s\up1(－))－3s，eq\o(x,\s\up1(－))＋3s)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查.①從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查？②在(eq\o(x,\s\up1(－))－3s，eq\o(x,\s\up1(－))＋3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準差(精確到0.01).附：樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up1(－))）（yi－\o(y,\s\up1(－))）,\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up1(－))）2)\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up1(－))）2))，eq\r(0.008)≈0.09.解(1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up1(－))）（i－8.5）,\r(\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up1(－))）2)\r(\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))（i－8.5）2))≈eq\f(－2.78,0.212×\r(16)×18.439)≈－0.18.由于|r|<0.25，因此可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小.(2)①由于eq\o(x,\s\up1(－))＝9.97，s≈0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(eq\o(x,\s\up1(－))－3s，eq\o(x,\s\up1(－))＋3s)以外.因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查.②剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,15)(16×9.97－9.22)＝10.02，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.eq\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為eq\f(1,15)(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準差的估計值為eq\r(0.008)≈0.09.熱點二實際問題中的概率計算概率應(yīng)用題側(cè)重于古典概型，主要考查隨機事件、等可能事件、互斥事件、對立事件的概率.解決簡單的古典概型試題可用直接法(定義法)，對于較為復(fù)雜的事件的概率，可以利用所求事件的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或其對立事件的概率求解.【例2】某校為了了解A，B兩班學(xué)生寒假期間觀看《中國詩詞大會》的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名學(xué)生進行調(diào)查，將他們觀看的時長(單位：小時)作為樣本，繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字).(1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計哪個班的學(xué)生平均觀看的時間較長；(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為b，求a>b的概率.解(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為eq\f(1,5)(9＋11＋14＋20＋31)＝17.由此估計A班學(xué)生平均觀看時間大約為17小時；B班數(shù)據(jù)的平均值為eq\f(1,5)(11＋12＋21＋25＋26)＝19.由此估計B班學(xué)生平均觀看時間大約為19小時；則19>17.由此估計B班學(xué)生平均觀看時間較長.(2)A班的樣本數(shù)據(jù)不超過19的數(shù)據(jù)a有3個，分別為9，11，14.B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個，分別為11，12，21，從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個共有9種不同情況，分別為(9，11)，(9，12)，(9，21)，(11，11)，(11，12)，(11，21)，(14，11)，(14，12)，(14，21)，其中a>b的情況有(14，11)，(14，12)兩種，故a>b的概率P＝eq\f(2,9).【類題通法】1.準確區(qū)分古典概型與幾何概型，其本質(zhì)區(qū)別在于試驗結(jié)果是有限還是無限.2.對于較復(fù)雜的古典概型的基本事件空間，最易出現(xiàn)“重”和“漏”，要避免這類錯誤，首先要正確理解題意，明確一些常見的關(guān)鍵詞，如“至多”“至少”“只有”等；其次，要按一定的規(guī)律列舉.【對點訓(xùn)練】某出租車公司響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，已陸續(xù)購買了140輛純電動汽車作為運營車輛.目前我國主流純電動汽車按續(xù)航里程數(shù)R(單位：千米)分為3類，即A類：80≤R＜150，B類：150≤R＜250，C類：R≥250.該公司對這140輛車的行駛總里程進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：類型A類B類C類已行駛總里程不超過10萬千米的車輛數(shù)104030已行駛總里程超過10萬千米的車輛數(shù)202020(1)從這140輛汽車中任取一輛，求該車行駛總里程超過10萬千米的概率；(2)公司為了了解這些車的工作狀況，決定抽取14輛車進行車況分析，按表中描述的六種情況進行分層抽樣，設(shè)從C類車中抽取了n輛車.①求n的值；②如果從這n輛車中隨機選取兩輛車，求恰有一輛車行駛總里程超過10萬千米的概率.解(1)從這140輛汽車中任取一輛，則該車行駛總里程超過10萬千米的概率為P1＝eq\f(20＋20＋20,140)＝eq\f(3,7).(2)①依題意n＝eq\f(30＋20,140)×14＝5.②5輛車中已行駛總里程不超過10萬千米的車有3輛，記為a，b，c；5輛車中已行駛總里程超過10萬千米的車有2輛，記為m，n.“從5輛車中隨機選取兩輛車”的所有選法共10種：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn.“從5輛車中隨機選取兩輛車，恰有一輛車行駛里程超過10萬千米”的選法共6種：am，an，bm，bn，cm，cn，則選取兩輛車中恰有一輛車行駛里程超過10萬千米的概率P2＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).熱點三概率與統(tǒng)計的綜合問題統(tǒng)計和概率知識相結(jié)合命制概率統(tǒng)計解答題已經(jīng)是一個新的命題趨向，概率和統(tǒng)計初步綜合解答題的主要依托點是統(tǒng)計圖表，正確認識和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵，在此基礎(chǔ)上掌握好樣本數(shù)字特征及各類概率的計算.【例3】某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在[40，60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40，50)的概率.滿分解答(1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.3分(得分點1)(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4.所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.5分(得分點2)(3)受訪職工中評分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2，8分(得分點3)從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}.11分(得分點4)又因為所抽取2人的評分都在[40，50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為P＝eq\f(1,10).12分(得分點5)得分要點?得步驟分：步驟規(guī)范，求解完整，解題步驟常見的失分點，第(2)問中，不能用頻率估計概率，第(3)問中步驟不完整，沒有指出“基本事件總數(shù)”與“事件M”包含的基本事件個數(shù)，或者只指出事件個數(shù)，沒有一一列舉10個基本事件及事件M包含的基本事件，導(dǎo)致扣3分或2分.?得關(guān)鍵分：如第(1)問中，正確求得a＝0.006；第(3)問中列出10個基本事件，錯寫或多寫，少寫均不得分.?得計算分：如第(1)、(2)問中，要理清頻率直方圖的意義，計算正確，否則導(dǎo)致后續(xù)皆錯大量失分，第(3)問中利用“頻數(shù)、樣本容量、頻率之間的關(guān)系”求得各區(qū)間的人數(shù)，準確列出基本事件，正確計算概率.【對點訓(xùn)練】某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機