2022年湖南省醴陵兩中學(xué)高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為（）A． B． C． D．2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－133．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．204．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（）A． B． C． D．5．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)、．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．8．如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為A． B．C． D．9．大衍數(shù)列，米源于我國(guó)古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．10．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．2 D．11．已知a，b是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．在中，為上異于，的任一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校為了解家長(zhǎng)對(duì)學(xué)校食堂的滿(mǎn)意情況，分別從高一、高二年級(jí)隨機(jī)抽取了20位家長(zhǎng)的滿(mǎn)意度評(píng)分，其頻數(shù)分布表如下：滿(mǎn)意度評(píng)分分組合計(jì)高一1366420高二2655220根據(jù)評(píng)分，將家長(zhǎng)的滿(mǎn)意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿(mǎn)意度評(píng)分評(píng)分70分70評(píng)分90評(píng)分90分滿(mǎn)意度等級(jí)不滿(mǎn)意滿(mǎn)意非常滿(mǎn)意假設(shè)兩個(gè)年級(jí)家長(zhǎng)的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級(jí)各隨機(jī)抽取1名家長(zhǎng)，記事件：“高一家長(zhǎng)的滿(mǎn)意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿(mǎn)意度等級(jí)”，則事件發(fā)生的概率為_(kāi)_________.14．以，為圓心的兩圓均過(guò)，與軸正半軸分別交于，，且滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)________．15．點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自△PBC內(nèi)的概率是____16．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最大值為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若直線(xiàn)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)，求的面積；（2）若，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，求的值.18．（12分）根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，1978年至2018年我國(guó)GDP總量從0.37萬(wàn)億元躍升至90萬(wàn)億元，實(shí)際增長(zhǎng)了242倍多，綜合國(guó)力大幅提升.將年份1978，1988，1998，2008，2018分別用1，2，3，4，5代替，并表示為；表示全國(guó)GDP總量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖表，判斷與（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為全國(guó)GDP總量關(guān)于的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由），并求出關(guān)于的回歸方程.（2）使用參考數(shù)據(jù)，估計(jì)2020年的全國(guó)GDP總量.線(xiàn)性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，.參考數(shù)據(jù)：45678的近似值551484031097298119．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，公差，、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，且.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，與圓相交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）求證：在上存在唯一的極大值；（Ⅲ）直接寫(xiě)出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．22．（10分）已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)的極小值點(diǎn)為1；（2）若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得出的一次項(xiàng)系數(shù)，然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論．【詳解】由題意展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，應(yīng)用多項(xiàng)式乘法法則可得展開(kāi)式中某項(xiàng)系數(shù)．同時(shí)本題考查了組合數(shù)公式．2．B【解析】

由題得，，解得，，計(jì)算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.3．C【解析】

利用等差通項(xiàng)，設(shè)出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題4．A【解析】

化簡(jiǎn)為，求出它的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象的函數(shù)表達(dá)式，利用所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)列方程即可求得，問(wèn)題得解?！驹斀狻亢瘮?shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。5．D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見(jiàn)的方法．6．C【解析】

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的方程為，即，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則，解得，另一方面，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)共有三個(gè)．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．7．C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng)；結(jié)合特殊值，即可排除D選項(xiàng).【詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項(xiàng)A，B；又∵當(dāng)時(shí)，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

作交于點(diǎn)，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【詳解】如圖，作交于點(diǎn)，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線(xiàn)是本題的關(guān)鍵.9．B【解析】

直接代入檢驗(yàn)，排除其中三個(gè)即可．【詳解】由題意，排除D，，排除A，C．同時(shí)B也滿(mǎn)足，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式，解題時(shí)可代入檢驗(yàn)，利用排除法求解．10．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．A【解析】

根據(jù)題意，用表示出與，求出的值即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，又，，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．0.42【解析】

高一家長(zhǎng)的滿(mǎn)意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿(mǎn)意度等級(jí)有三種情況，分別求出三種情況的概率，再利用加法公式即可.【詳解】由已知，高一家長(zhǎng)滿(mǎn)意等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率為，滿(mǎn)意的概率為，非常滿(mǎn)意的概率為，高二家長(zhǎng)滿(mǎn)意等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率為，滿(mǎn)意的概率為，非常滿(mǎn)意的概率為，高一家長(zhǎng)的滿(mǎn)意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿(mǎn)意度等級(jí)有三種情況：1.高一家長(zhǎng)滿(mǎn)意，高二家長(zhǎng)不滿(mǎn)意，其概率為；2.高一家長(zhǎng)非常滿(mǎn)意，高二家長(zhǎng)不滿(mǎn)意，其概率為；3.高一家長(zhǎng)非常滿(mǎn)意，高二家長(zhǎng)滿(mǎn)意，其概率為.由加法公式，知事件發(fā)生的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中檔題.14．【解析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可知在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，由此得到，同理可得，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可知，從而化簡(jiǎn)得到，由此確定軌跡方程.【詳解】，，和的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，，即，同理可得：，，，點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造出滿(mǎn)足的方程，由此得到結(jié)果.15．【解析】

設(shè)是中點(diǎn)，根據(jù)已知條件判斷出三點(diǎn)共線(xiàn)且是線(xiàn)段靠近的三等分點(diǎn)，由此求得，結(jié)合幾何概型求得點(diǎn)取自三角形的概率.【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以三點(diǎn)共線(xiàn)且點(diǎn)是線(xiàn)段靠近的三等分點(diǎn)，故，所以此點(diǎn)取自?xún)?nèi)的概率是．故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查三點(diǎn)共線(xiàn)的向量表示，考查幾何概型概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

分類(lèi)討論，時(shí)不合題意；時(shí)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到在上的最小值，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值，化簡(jiǎn)得，構(gòu)造放縮函數(shù)對(duì)自變量再研究，可解,【詳解】令；當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，令，得或，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減.因?yàn)?，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，即最小值為.若，，則，即.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題.不等式恒成立問(wèn)題的求解思路：已知不等式(為實(shí)參數(shù))對(duì)任意的恒成立，求參數(shù)的取值范圍．利用導(dǎo)數(shù)解決此類(lèi)問(wèn)題可以運(yùn)用分離參數(shù)法;如果無(wú)法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類(lèi)討論求解，如果是二次不等式恒成立的問(wèn)題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(,或，)求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)求得橢圓的焦點(diǎn)，由此求得，結(jié)合橢圓離心率求得，進(jìn)而求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線(xiàn)的方程.聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程，求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此求得的面積.（2）求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由此求得的值，根據(jù)在橢圓上求得的值，由此求得的值.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.其上頂點(diǎn)為，所以直線(xiàn)：，聯(lián)立，消去整理得，解得，，所以的面積.（2）由題知，，，設(shè)，.由題還可知，直線(xiàn)的斜率不為0，故可設(shè)：.由，消去，得，所以所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓，三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.18．（1），；（2）148萬(wàn)億元.【解析】

（1）由散點(diǎn)圖知更適宜，對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得，令，，，則，再利用線(xiàn)性回歸方程的計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）將代入所求的回歸方程中計(jì)算即可.【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及圖表可以判斷，更適宜作為全國(guó)GDP總量關(guān)于的回歸方程.對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得，令，，，得.因?yàn)?，所以，所以關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為，所以關(guān)于的回歸方程為.（2）將代入，其中，于是2020年的全國(guó)GDP總量約為：萬(wàn)億元.【點(diǎn)睛】本題考查非線(xiàn)性回歸方程的應(yīng)用，在處理非線(xiàn)性回歸方程時(shí)，先作變換，轉(zhuǎn)化成線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程來(lái)處理，是一道中檔題.19．（1），（）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)是等差數(shù)列，，、、成等比數(shù)列，列兩個(gè)方程即可求出，從而求得，代入化簡(jiǎn)即可求得；（2）化簡(jiǎn)后求和為裂項(xiàng)相消求和，分組求和即可，注意討論公比是否為1.【詳解】（1）由題意知，，，由得，解得.又，得，解得或（舍）.，.又（），（）.（2），①當(dāng)時(shí)，.②當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】此題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，裂項(xiàng)相消求和等知識(shí)點(diǎn)，考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于一般性題目.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用勾股定理結(jié)合條件求得和，利用橢圓的定義求得的值，進(jìn)而可得出，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求出，利用幾何法求得直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)，可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）在橢圓上，，，，，，，又，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立消去，得，，則，，設(shè)圓的圓心到直線(xiàn)的距離為，則.，，，，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢