【知識點(diǎn)解析】《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》知識卡片大全

認(rèn)識平面向量基本定理【注意事項(xiàng)】對平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點(diǎn)：①e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量；②該平面內(nèi)任意向量a都可以用e1，e2線性表示，且這種表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可作為基底．用基底表示向量的方法將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．應(yīng)用平面向量基本定理的規(guī)律若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量（

一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式），再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．平面向量正交分解的定義與坐標(biāo)表示1．平面向量正交分解的定義把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量．2．平面向量的坐標(biāo)表示（1）基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．（2）坐標(biāo)：對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且僅有一對實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則有序?qū)崝?shù)對（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)．（3）坐標(biāo)表示：a＝（x，y）．（4）特殊向量的坐標(biāo)：i＝（1，0），j＝（0，1），0（0，0）．對平面向量的正交分解的理解（1）平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直．（2）由向量坐標(biāo)的定義，知道兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對應(yīng)相等，即a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）．認(rèn)識平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，則有下表：求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法（1）求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．（2）在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧（1）若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行．（2）若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．（3）向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行．向量中含參數(shù)問題的求解（1）向量的坐標(biāo)含有兩個(gè)量：橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，如果橫或縱坐標(biāo)是一個(gè)變量，則表示向量的點(diǎn)的坐標(biāo)的位置會隨之改變．（2）解答這類由參數(shù)決定點(diǎn)的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程（組），解這個(gè)方程（組），就能達(dá)到解題的目的．平面向量共線的坐標(biāo)表示向量共線的判定方法（1）利用向量共線定理，由a＝λb（b≠0）推出a∥b．（2）利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0直接求解．有關(guān)三點(diǎn)共線問題的解題策略應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的兩條途徑進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知計(jì)算．求平面向量數(shù)量積常用的三個(gè)方法（1）定義法：利用定義式a·b＝|a||b|cosθ求解；（2）坐標(biāo)法：利用坐標(biāo)