對兩個重要極限的重要性的認識

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對兩個重要極限的重要性的認識摘要：通過對兩個重要極限重要性的理解和認識總結有關兩個重要極限的論文成果，指出兩個重要極限在微積分的計算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用，主張學習數學知識不僅局限于課本，要培養(yǎng)提高探究問題的能力，系統全面的看待問題，深刻細致的體會微積分思想的嚴謹性。關鍵詞:重要極限；重要性;證明；應用1.緒論兩個重要極限在微積分的計算和整個微積分思想中起著舉足輕重的作用，目前，關于這方面的分析已經很成熟，有關于它們的來源，證明應用和深入擴展，本文系統的總結了部分具有代表性的成果,從而可以直觀全面的認識和體會兩個重要極限的重要性，對剛接觸極限理論，沒有深入認識兩個重要極限的學生來說，具有指導意義?！稊祵W分析》課程在講述關于兩個重要極限和sin尤1、時，著重強調了它在整個極限計算中有重要地位。蜘二一T它lim(1+-)'*XT0xX能將許多復雜的極限計算迅速簡化，應用非常靈活。因此，這兩個重要的極限可以說是全部微積分學計算的基礎，其重要性就不難理解了。試想，若沒有它們，那么只要遇見微積分相關的計算題，必須用最基本的方法，有些還不一定求得出來，更不用說由它們推廣出的更復雜的應用了。2.兩個重要極限的證明兩個重要極限是極限理論的重要內容，也是解決極限問題的一種有效方法，在學生的學習中，起著重要作用，了解它們的證明方法對充分理解和認識它們是十分必要的，它的證明過程也是對兩邊夾定理及單調有界數列必有極限這一準則的恰當應用。2.1第一個重要極限：limSinX=1XT0X證明：作單位圓，如圖1:

設x為圓心角/AOB,并設0VxV-見圖不難發(fā)現：SVS2KAOB扇形AOB艮P^—sinxVLxVLtanx，艮口sinxVxVtanx,222x1

n1vvsinxcosx（因為0VxV-,所以上不等式不改變方向）2當x改變符號時，cosx,二及1的值均不變，故對滿足0V1x1sinx<SAAOD的一切x,有cosxVsmx<SAAOD的一切x所以1一三2VcosxV12nlimcosx=1x—0又因為cosx=1-(1-cosx)所以1一三2VcosxV12nlimcosx=1x—0nlim吁=1，證畢。x—nlim吁=1，證畢。x—0xx—0x—02.2第二個重要極限：lim(1+!)x=ex—Sx先考慮x取正整數時的情形：lim(1+-1)n、nn—sr十sMW、rvbn+1—an+1對于b>a>0，有不等式:V(n+1)bn,b一aPpbn+1一an+1v(n+1)bn(b一a),Ppan+1>bn[(n+1)a-nb](i)現令a=1+—,b=1+1,顯然b>a>0,因為n+1n

(n+1)a-nb=n+1+1-(n+1)=1將其代入，所以(1+上)〃+】>(1+-)n「sin尤n+1nlim=1110X{(1+_)n}為單調數列，記作{Xn}olim(1+X)X=e(ii)又令a=1XSb=1+—,2n所以1>(1+-1)n?L2n2即對Vn,x<4,又對Vnb=1+—,2n所以1>(1+-1)n?L2n2即對Vn,x<4,又對V,1,,1(1+——)nn4>(1+——)2n,2n2n(1+^^)2n+1<(1+^^)2n+2<4

2n+12n+2所以｛(1+寫n｝是有界的。n由單調有界定理知lim(1+寫n存在,并使用e來表示,XSn即lim(1+即lim(1+L)nXSn=e=2.7182818284590453.兩個重要極限在微分學中的重要性錯誤的錯誤3.兩個重要極限在微分學中的重要性錯誤的錯誤錯誤錯誤j幕函數y=Xa(aeR),j指數函數y=aX(a>0,a。1),；對數函數y=logx(a>0,a。1),!一.a三角函數y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,⑤反三角函數y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx。由基本初等函數經過有限次四則混合運算與符合運算所得到的函數，統稱為初等函數，微積分中我們經常需要計算初等函數的導數，微分學的基本概念一一導數是建立在極限概念基礎上的。即求一個函數坊)在點X處的導數'(X)，就是計算極限iimf(X+Ax)-f(x)40Ax(3.1)當這一極限存在時，其值就是f，(x)o但這僅僅是停留在導數定義上的，如果求函數的導數都要計算極限3.1的話，顯然是非常復雜和繁瑣的，勢必限制導數的廣泛應用。事實上,在求函數的導數時,并不都需要計算極限3.1,而只需根據基本初等函數的求導公式及求導法則就可以很方便地求得任何一個初等函數的導數。因此，兩個重要極限對于以上六類基本初等函數的求導起到了至關重要的作用。關于基本初等函數的求導，我們可以大致分為三類函數：第一類是幕函數，第二類是三角函數和反三角函數，第三類是指數函數和對數函數。對于第一類函

數的求導，要利用二項式定理和導數定義便求得。對于第二類函數的求導，需要利用到lim榮=1這個重要極限。對于第三類函數的求導，需要利用到x—0Xlim(1+-)x=e這個極限。TOC\o"1-5"\h\zx—3X下面來看一看基本求導公式是如何得來的。3.1重要極限在三角函數求導過程中的作用以正弦函數sinx的求導公式的推導為例.由導數的定義Ax、.Ax2cos(x+)-sin一Ax.Axsin-Ax.2=limcos(x+——)一—Ax-02A2(sinx)'=limsm(x+Ax)-sin(x)=命Ax.Axsin-Ax.2=limcos(x+——)一—Ax-02A2=cosx?1=cosx其中應用了第一個重要極限limsinx=1x—0x即lim^^=limm=1(令t=笠)。Ax—0笠t-0t22求得(sinx)’=cosx后,其余的三角函數和反三角函數的導數公式就可以利用多個求導法則得到了。3.2重要極限在指數函數和冪函數求導過程中的作用Ax-1Ax工-=limlog(1+;)Ax=limlog[(】+;)愆]x其次，再看看對數函數logax的求導公式的推導過程。由導數定義AxAx—0a1

e=xlnaTOC\o"1-5"\h\z(logx)'Ax-1Ax工-=limlog(1+;)Ax=limlog[(】+;)愆]xAxAx—0a1

e=xlna=lim—log(1+—)Ax=xlog其中應用了第二個重要極限lim(1+1)x=e，即x—3x—Ax*_1limlog(1+——)Ax=lim(1+—)=e(令x/Ax=u)。Ax—0axu—3u求得了(logax)'以后，指數函數和幕函數的求導公式就容易得出了?？梢?，兩個重要極限在導出基本初等函數的求導公式的過程中，特別是涉及三角函數的過程中起到了關鍵性的作用，沒有這兩個重要極限，兩類函數的求導公式就不可能得出。兩個重要極限在初等函數求導過程中起到了重要的紐帶作用,

因為推倒正弦函數和指數函數的導數公式的過程中要用到這兩個極限，而所有的初等函數都可以從這兩類函數以及它們的反函數出發(fā)，經過有限的四則運算復合得到。因此，從這兩類函數的導數出發(fā)，利用函數的四則運算、復合和反函數求導法則，就能求得全部初等函數的導數。再由于積分是微分的逆運算，可以得到基本積分表，依靠他們能算出大量初等函數的積分。可以說,兩個重要極限可以說是全部微分積分學的基礎，在微積分的計算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用，所以這兩個重要極限極其重要。4.兩個重要極限在計算中的應用4.1兩個重要極限在一元極限中的應用0第一個重要極限實際上是兩個無窮小之比的極限。若分子分母分別求極限便00得這一不定的結果，因此稱這一類型的極限為型未定式。類似地，第二個重要極限是屬于"型未定式。00綜上所述，可以得出這樣的結論,凡是含有三角函數的型未定式和h型未定式，我們都可不妨用兩個重要極限來試試,看能否求出它的結果，以下舉例來說明如何應用這兩個重要極限于極限運算中的。解：「1一cosXlimxc0X2Xx=解：「1一cosXlimxc0X2Xx=lim、=1二fl.x項x2x項2(x)2x項22?x

sin—2?x

sin—2xTOC\o"1-5"\h\zx頊x3sinx,1一cosx一sinxsinx解：limtanx一sinx=lim^osx=RmCO^Lx^0x3x^0x3x^0x3=limsinx］雨1］雨1-cosx_1xt0xxt0COsxxt0x22例3求lim(1--)x-xfsx.一.2解：令-x=t，則x=—-

TOC\o"1-5"\h\z2_21于是lim(1)x-lim(1+1)t-[lim(1+1)t]-2=e2-尤C8XtcOtcO例4求1血(土)x.xC82—X解：令3-x-1+U,則X-2-1.2—xu當Xcs時ucO,于是1im(3—^)x-1im(1+u)2—t=1im[(1+u)—1-(1+u)2]xcs2—xucOucO1-[1im(1+u)u]-1-[1im(1+u)2]-eT.u—Ou—O例5求1im(1+tanx)cotx.xcO解：設t-tanx,則--cotx.t當XcO時tcO,壬旦、.八.、一、.八.八1—于是1im(1+tanx)cotx1im(1+t)t-e.x—Ot—O4.2兩個重要極限在二元函數極限中的應用4.2.1重要極限1im四=1的應用xcOx極限1imsinu(x,y)=1是一元函數第一個重要極限的推廣，其中,u(x,y)cOu(x,y)(x,y)c(x°,y?時，u(x,y)cO,把u(x,y)看作新變量t，考慮極限過程t—cOosin(x3+y3)例1求極限(x,y)Z,O)x2+y21imsin(x3+y3)=命sin(x3+y3)x3+y3解：(x,y)c(O,O)x2+y2(x,y)c(O,O)x3+y3x2+y2=1im"3+y3)?1im^3±23=1.O=O(x3+y3)cOx3+y3(x,y)c(O,O)x2+y2極限運算過程中第一個等號是一個恒等變形。我們設f(x,y)=sm(x3+y3)，定義域是D={(x,y)|(x,y)豐(O,O)}。x2+y2

再設f(x,y)=Si心3+y3)yz1定義域D1可以看到x3+y3x2+y2=ky)(再設f(x,y)=Si心3+y3)yz1定義域D1可以看到從函數f3,y)到f3,y)定義域變小了，但f3,y),f3,y)分別在各自11的定義域D與D內，當J,y)T(0,0)時，可以證明極限都是存在的，證明如下:1(1)以下是對f(x,y)=sm(x3+y3)在定義域D=｛(x,y)|(x,y)。(0,0)｝內極限x2+y2的證明。因為當(x,y)。(0,0)時，有：0<住3+y3)<七旦<|x-^+|y-2^<|x|+|y|?x2+y2x2+y2x2+y2x2+y2sin(x3+y3)所以由夾逼準則得(x,y)氣,0)x2+y2=0(2)對f(x,y)=血(x3+y3)x3+y3在定義域1x3+y3x2+y2氣=ky)(x,y)。(0,0)且》。x｝內極限的存在性，由極限的四則運算法則容易知道，并且其值易算得為0.既然f(x,y)=sm(x3+y3)在定義域D=｛(x,y)|(x,y)豐(0,0)｝內極限存在，那么極限x2+y2必唯一。我們可以在D內任找(x,y)-(0,0)的方式來計算出極限值。由D與D1的關系(D]gD),知道在D]D=D1中兩函數相等，所以在求極限找(x,y)—(0,0)的方式時，我們可以在D(D1uD)中找，顯然，兩函數的極限是相等的。"/、sin(x3+y3^sin(x3+y3)x3+y3，x3+y3x2+y2sin(x3+y3)但是,(x,y)—(0,0)x2+y2sin(x3+y3)x3，x3+y3x2+y2sin(x3+y3)但是,(x,y)—(0,0)x2+y2sin(x3+y3)x3+y3lim—(x,y)—(0,0)x3+y3x2+y2例2求極限(x*氣,0)sinxysin以x,y)~以x,y)；1一co項x,y)~2u2(x,y)；lnh+u(x,y)]?u(x,y);tanu(x,y)?u(x,y);eu(x,y)一1?u(x,y)sinxysinxysinxy解：lim=limx=limlimx=1-0=0。(x,y)r(0,0)y(x,y)r(0,0)◎xyr0◎(x,y)r(0,0)在一元函數中由第一個重要極限可以得到幾個常用的等價無窮小，推廣到二元函數中得到：(uG,y)T0)sinxy

tan(xsinxy

tan(x+y)例3求極限lim(x,y)t(0+,0+)解：lim&xy=lim三=0(x,y)t(0+,0+)tan(x+y)(x,y)t(0+,0+)x+y例4求極限lim1一cos(x2+y2)(x,y)T(0,0)(x2+y2)x2y2TOC\o"1-5"\h\z1-cos(x2+y2)2y1解：lim=lim=-(x,y)t(0,。)(x2+y2)x2y2(x,y)t(0,0)(x2+y2)x2y224.2.2重要極限lim(1+L)x=ex—8x極限lim(1+—L)u(x,y)=e是一元函數中第二個重要極限的推廣。下

u(x,y)—8u(x,y)面舉例說明它的應用。1_x2例5求極限lim(1+-)x+y(x,y)T(8,1)x

…一一1里一一「1解：lim(1+—)x+y=lim(1+—)1、)xxlim(x,yI。,1)(1+_)xxlim(x,y)t(81、)xxlim(x,yI。,1)(1+