2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題理(全國(guó)卷1,含答案)

.（1+丄）（1+x）6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為X215B.2030D.3515B.2030D.357.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為8.右面程序框圖是為了求出滿足7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為8.右面程序框圖是為了求出滿足3n2n〉iooo的最小偶數(shù)n,那么在和=）兩個(gè)空白框中，可以分別填入A〉1000和n=n+1A〉1000n=n+2A<1000和n=n+1A<1000和n=n+29.已知曲線Cjy=cos9.已知曲線Cjy=cosx，C2：y=sin（2x+豐），則下面結(jié)論正確的是nA.把C上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移：個(gè)單位長(zhǎng)度，得16到曲線C2nb.把q上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移再個(gè)單位長(zhǎng)度，得丄厶到曲線C21nC.把C上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的只倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移：個(gè)單位長(zhǎng)度，得126到曲線C

D?把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的2倍’縱坐標(biāo)不變’再把得到的曲線向左平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度’得到曲線C210.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l,l,直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，直121線12與C交于D、E兩點(diǎn)，貝y|AB|+|DE|的最小值為A．16B．14C．12D．1011.設(shè)xyz為正數(shù)，且2x=3y=5z，則A．2x<3yA．2x<3y<5z5z<2x<3y3y<5z<2x3y<2x<5z幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8,16,…，其中第一項(xiàng)是2。，接下來(lái)的兩項(xiàng)是2。，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是21，22,依此類推求滿足如下條件的&最小整數(shù)N：N〉100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是A.440B.330A.440B.330C.220D.110二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,貝川a+2b|=.x+2y<1設(shè)x,y滿足約束條件<2x+y>-1，則z=3x-2y的最小值為x-y<0已知雙曲線C：蘭-藝=1（a>0,b>0）的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，b為半徑做圓A,圓A與雙曲線Ca2b2的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)。若ZMAN=60°，則C的離心率為。如圖，圓形紙片的圓心為0,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為0。D、E、F為圓0上的點(diǎn)，△DBC,AECA,AFAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,^ECA,^FAB,使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，（一）必考題：共60分。（12分）a2a2△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為—3smA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=l,a=3,求^ABC的周長(zhǎng).（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,且ZBAP=ZCDP=90。.證明：平面PAB丄平面PAD；若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90。，求二面角A-PB-C的余弦值.19．(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(卩Q2).假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(卩-36卩+3d)之外的零件數(shù),求P(X>1)及x的數(shù)學(xué)期望；一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(卩-36卩+3d)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：TOC\o"1-5"\h\z9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得x=蘭x=9.97,s=1藝(x—X)2=](藝X2—16X2)2u0.212，其中x為抽取16iV16iV16iii=11i=1i=1的第i個(gè)零件的尺寸，=1,2,…,16?用樣本平均數(shù)X作為卩的估計(jì)值“，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為d的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(a-3&，a+3d)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)卩和0(精確到o.oi).附：若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布n(a,d2)，則p(a—3d<z<a+3d)=0.9974,0.997416=0.9592,<0.008u0.09.20.(12分)x2y2寸3<3已知橢圓C：—+-=1(a>b>0),四點(diǎn)P(1,1),P(0,1),P(-1,飛-),P(1,=-)中恰有a2b2123242三點(diǎn)在橢圓C上.求C的方程；設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)?若直線PA與直線PB的斜率的和為-1,證明：l過(guò)222定點(diǎn).（12分）2）2）ex-x.討論f(x)的單調(diào)性；若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$=%0［°'為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為［X=a+叭t為參數(shù)).〔y=1-t，若a=1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為打7，求a.［選修4—5：不等式選講］(10分)已知函數(shù)f(x)二-X2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)2g(x)的解集；若不等式f(x)2g(x)的解集包含［-1,1］,求a的取值范圍.答案TOC\o"1-5"\h\zABBCDCB

DDADA2朽14.—515.215.2込~3~a216.4a2-a2-a17?解：(1)由題設(shè)得；;aesinB=，即入esinB=—23sinA23sinA-sinA由正弦定理得三sinCsinB=—23sinA2故sinBsinC=3.(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC—sinBsinC=—丄，，即cos(B+C)=—-.222nna2所以B+C=—，故A=3a2由題設(shè)得-besinA=，即bc=8.23sinA由余弦定理得b2+e2—be=9，即(b+e)2—3be=9，得b+e=J33.故△ABC的周長(zhǎng)為3+f33.18.解：(1)由已知ZBAP=ZCDP=90。，得AB丄AP,CD丄PD.由于AB〃CD,故AB丄PD，從而AB丄平面PAD.又ABu平面PAB,所以平面PAB丄平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)做PF丄AD，垂足為F，由(1)可知，AB丄平面PAD，故AB丄PF，可得PF丄平面ABCD.uuuruuru以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A的方向?yàn)閤軸正方向，丨ABI為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F—xyz.

,；2222由（1）及已知可得A（_^，0,0）,P（0,0,），B,1,0），C丄0）.uur<2uur_uurJ2、遠(yuǎn)uur所以PC=(—*,1,—計(jì))，CB=(J2,0,0)，PA=(*,0,—*)，AB=(0,1,0).uuurn-PC=0<uur，即uuurn-PC=0<uur，即n-CB=0忑+邁0—x+y—z=022,\2x=0可取n=(0,—1,r'2).uuurm-PA=0<uuruuurm-PA=0<uur，即［m-AB=0R2邁0——x———z=022，y=0可取n=(1,0,1).則cos<n,m>=￡-=—牛,|n||m|3所以二面角A—PB—C的余弦值為-〒【解】（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在（卩-3d,卩+3d）之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在（卩―3d,卩+3d）之外的概率為0.0026，故X~B（16,0.0026）.因此P(X>1)=1—P(X=0)=1—0.9974=0.0408.X的數(shù)學(xué)期望為EX=16x0.0026=0.0416.

(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(卩-3d,卩+3d)之外的概率只有0.0026,—天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(卩-3d,卩+3d)之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的.(ii)由X二9.97,s沁0.212，得卩的估計(jì)值為二9.97，d的估計(jì)值為d=0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(卩-3d,卩+3d)之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.1剔除(n—3d,a+3d)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為石(16%9.97-9.22)二10.02，因此卩的估計(jì)值為10.02.蘭x2二16x0.2122+16x9.972沁1591.134，易"除(R—3d,n+3d)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方ii=11差為厲(1591.134—9.222—15x10.022)沁0.008，因此d的估計(jì)值為*0.008沁0.09.(12分)解：(1)由于P，P兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)p，P兩點(diǎn).TOC\o"1-5"\h\z34341113又由丄+-〉-+丄知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,所以點(diǎn)P在C上.a2b2a24b212因此＜因此＜丄=1b2嘰的方程為予+y2=1-(2)設(shè)直線P2A與直線叩的斜率分別為％，k2,如果1與乂軸垂直，設(shè)"七，由題設(shè)知t豐0,且"2，可得AB的坐標(biāo)分別為⑴十山，-寧)則k+k=空二空二2—土空±2=—1，得t=2，不符合題設(shè).122t2tx2從而可設(shè)l：y=kx+m(m豐1).將y=kx+m代入才+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2—4=0由題設(shè)可知△=16(4k2-m2+1)>08km4m2-4設(shè)A(x,y),B(x,y),貝則x+x=,xx=1122124k2+1124k2+1而k+k=X+312xx12kx+m一1kx+m一1=1+2—xx122kxx+(m一1)(x+x)=1-^12.xx12由題設(shè)k+k=-1，故(2k+1)xx+(m一1)(x+x)=0?121212即(2k+1)?+(m-1)=0?4k2+14k2+1解得k=-曲當(dāng)且僅當(dāng)m>—1時(shí)，△>0，欲使l：y—m+1x+m，即y+1=-m+^(x-2),22所以l過(guò)定點(diǎn)（2,-1）21.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?―卩+8)，f'(x)=2ae2x+(a一2)ex一1=(aex一l)(2ex+1),若a<0，則f'(x)<0，所以f(x)在(-8,+8)單調(diào)遞減.(ii)若a>0，則由f'(x)=0得x=-Ina.當(dāng)xe(-8,—lna)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)xe(—lna,+8)時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(-8,—lna)單調(diào)遞減,在(-lna,+8)單調(diào)遞增?(i)若a<0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(ii)若a>0，由(1)知，當(dāng)x=—lna時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(—lna)=1一丄+lna.a當(dāng)a=1時(shí)，由于f(—lna)=0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；1當(dāng)ae(1,+8)時(shí)，由于1一+lna>0，即f(—lna)>0，故f(x)沒(méi)有零點(diǎn)；a1當(dāng)ae(0,1)時(shí)，1一+lna<0，即f(—lna)<0.a又f(—2)=ae一4+(a—2)e-2+2>—2e-2+2>0，故f(x)在(—8,—lna)有一個(gè)零點(diǎn).

設(shè)正整數(shù)n滿足n>In(—-1)，則f(n)=en0(aen0+a-2)-n>en0-n>2n0-n>0.00a00003由于In(—一1)>-Ina，因此f(x)在(-lna,+w)有一個(gè)零點(diǎn).a綜上，a的取值范圍為(0,1).22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)解：(1)曲線C的普通方程為?+y2=1.當(dāng)a=-1時(shí)，直線l的普通方程為x+4y-3=0.x+4y-x+4y-3=0由1X21—+y2=1I9Ix=3解得|y=0x=或121~2524y=-25從而C從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，(-器?(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0，故C上的點(diǎn)(3cos0,sin0)到l的距離為13cos0+4sin013cos0+4sin0-a-41當(dāng)a>-4時(shí),a+9的最大值為苛?由題設(shè)得所以a=8；當(dāng)a<-4時(shí)，d的最大值為需?由題設(shè)得第=加，所以a=-16-綜上，a=8或a=-16.、23.［選修4-5：不等式選講］(10分)解:(1)當(dāng)a=1時(shí)，不