初二數(shù)學(xué)-特殊四邊形中的動點(diǎn)問題(教師版)

初二數(shù)學(xué)-特殊四邊形中的動點(diǎn)問題(教師版)初二數(shù)學(xué)-特殊四邊形中的動點(diǎn)問題(教師版)初二數(shù)學(xué)-特殊四邊形中的動點(diǎn)問題(教師版)xxx公司初二數(shù)學(xué)-特殊四邊形中的動點(diǎn)問題(教師版)文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度特殊四邊形中的動點(diǎn)問題及解題方法如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動點(diǎn)P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運(yùn)動．P、Q分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為ts．

（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？

（2）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？

（3）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為直角梯形？分析：（1）四邊形PQCD為平行四邊形時PD=CQ．

（2）四邊形PQCD為等腰梯形時QC-PD=2CE．

（3）四邊形PQCD為直角梯形時QC-PD=EC．

所有的關(guān)系式都可用含有t的方程來表示，即此題只要解三個方程即可．解答：解：（1）∵四邊形PQCD平行為四邊形

∴PD=CQ

∴24-t=3t

解得：t=6

即當(dāng)t=6時，四邊形PQCD平行為四邊形．

（2）過D作DE⊥BC于E

則四邊形ABED為矩形

∴BE=AD=24cm

∴EC=BC-BE=2cm

∵四邊形PQCD為等腰梯形

∴QC-PD=2CE

即3t-（24-t）=4

解得：t=7（s）

即當(dāng)t=7（s）時，四邊形PQCD為等腰梯形．

（3）由題意知：QC-PD=EC時，

四邊形PQCD為直角梯形即3t-（24-t）=2

解得：t=6.5（s）

即當(dāng)t=6.5（s）時，四邊形PQCD為直角梯形．點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中．如圖，△ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于E．

（1）試說明EO=FO；

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；

（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論．分析：（1）根據(jù)CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據(jù)等邊對等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．

（2）利用矩形的判定解答，即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．

（3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，

∴∠OEC=∠OCE，

∴OE=OC，

同理，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC中點(diǎn)處時，四邊形AECF是矩形．

如圖AO=CO，EO=FO，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ACB，

同理，∠ACF=∠ACG，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，

∴四邊形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形

∵四邊形AECF是正方形，

∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠BCA=∠AOM，

∴∠BCA=90°，

∴△ABC是直角三角形．點(diǎn)評：本題主要考查利用平行線的性質(zhì)“等角對等邊”證明出結(jié)論（1），再利用結(jié)論（1）和矩形的判定證明結(jié)論（2），再對（3）進(jìn)行判斷．解答時不僅要注意用到前一問題的結(jié)論，更要注意前一問題為下一問題提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動．過Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度．當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動的時間為t秒．

（1）求NC，MC的長（用t的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)t為何值時，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；

（3）是否存在某一時刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

（4）探究：t為何值時，△PMC為等腰三角形．分析：（1）依據(jù)題意易知四邊形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根據(jù)勾股定理可求CA=5，即可表示CM；

四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；

（3）可先根據(jù)QN平分△ABC的周長，得出MN+NC=AM+BN+AB，據(jù)此來求出t的值．然后根據(jù)得出的t的值，求出△MNC的面積，即可判斷出△MNC的面積是否為△ABC面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的t值．

（4）由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)MP=MC時，那么PC=2NC，據(jù)此可求出t的值．

②當(dāng)CM=CP時，可根據(jù)CM和CP的表達(dá)式以及題設(shè)的等量關(guān)系來求出t的值．

③當(dāng)MP=PC時，在直角三角形MNP中，先用t表示出三邊的長，然后根據(jù)勾股定理即可得出t的值．

綜上所述可得出符合條件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t

∴CN=4-（3-t）=1+t

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42

∴AC=5

在Rt△MNC中，cos∠NCM==，CM=．

（2）由于四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形

∴PC=QD，即4-t=t

解得t=2．

（3）如果射線QN將△ABC的周長平分，則有：

MN+NC=AM+BN+AB

即：（1+t）+1+t=（3+4+5）

解得：t=（5分）

而MN=NC=（1+t）

∴S△MNC=（1+t）2=（1+t）2

當(dāng)t=時，S△MNC=（1+t）2=≠×4×3

∴不存在某一時刻t，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時平分．（4）①當(dāng)MP=MC時（如圖1）

則有：NP=NC

即PC=2NC∴4-t=2（1+t）

解得：t=

②當(dāng)CM=CP時（如圖2）

則有：

（1+t）=4-t

解得：t=

③當(dāng)PM=PC時（如圖3）

則有：

在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2

而MN=NC=（1+t）

PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3

∴[（1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2

解得：t1=，t2=-1（舍去）

∴當(dāng)t=，t=，t=時，△PMC為等腰三角形點(diǎn)評：此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)．考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．4、直線y=-34x+6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動點(diǎn)P、Q同時從O點(diǎn)出發(fā)，同時到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動停止．點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)P沿路線O?B?A運(yùn)動．

（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為t（秒），△OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)S=485時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．分析：（1）分別令y=0，x=0，即可求出A、B的坐標(biāo)；

（2））因?yàn)镺A=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，進(jìn)而可求出點(diǎn)Q由O到A的時間是8秒，點(diǎn)P的速度是2，從而可求出，

當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動（或0≤t≤3）時，OQ=t，OP=2t，S=t2，當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動（或3＜t≤8）時，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于點(diǎn)D，由相似三角形的性質(zhì)，得PD=48-6t5，利用S=12OQ×PD，即可求出答案；

（3）令S=485，求出t的值，進(jìn)而求出OD、PD，即可求出P的坐標(biāo)，利用平行四邊形的對邊平行且相等，結(jié)合簡單的計(jì)算即可寫出M的坐標(biāo)．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），

（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．

∵點(diǎn)Q由O到A的時間是81=8（秒），

∴點(diǎn)P的速度是6+108=2（單位長度/秒）．

當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動（或O≤t≤3）時，

OQ=t，OP=2t，S=t2．

當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動（或3＜t≤8）時，

OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，

如圖，做PD⊥OA于點(diǎn)D，

由PDBO=APAB，得PD=48-6t5．

∴S=12OQ?PD=-35t2+245t．

（3）當(dāng)S=485時，∵485＞12×3×6∴點(diǎn)P在AB上

當(dāng)S=485時，-35t2+245t=485

∴t=4

∴PD=48-6×45=245，AD=16-2×4=8

AD=82-(245)2=325

∴OD=8-325=85

∴P（85，245）

M1（285，245），M2（-125，245），M3（125，-245）點(diǎn)評：本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理．在解題（2）時，應(yīng)注意分情況進(jìn)行討論，防止在解題過程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象．5.已知：如圖，在直角梯形中，，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線的路線移動，移動的時間為秒．（1）求直線的解析式；（2）若動點(diǎn)在線段上移動，當(dāng)為何值時，四邊形的面積是梯形面積的

（3）動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線的路線移動過程中，設(shè)的面積為，請直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍；AABDCOPxy6.如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使與全等？

（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？

AAQCDBP四邊形中的動點(diǎn)問題課后作業(yè)1.如圖，已知AD與BC相交于E，∠1＝∠2＝∠3，BD＝CD，∠ADB＝90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F.（1）求證：CD∥AB；（2）求證：△BDE≌△ACE；（3）若O為AB中點(diǎn)，求證：OF＝BE.2、如圖1―4―2l，在邊長為a的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是異于A、D兩點(diǎn)的動點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的動點(diǎn)，滿足AE＋CF=a，說明：不論E、F怎樣移動，三角形BEF總是正三角形．3、在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)與滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形是矩形，并說明理由．4、如圖l－4－80，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于F，則OE=OF．（1）請證明0E=OF（2）解答（1）題后，某同學(xué)產(chǎn)生了如下猜測：對上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長線上，AG⊥EB，AG交EB的延長線于G，AG的延長線交DB的延長線于點(diǎn)F，其他條件不變，則仍有OE=OF．問：猜測所得結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

5、如圖，在梯形中，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動；動點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為秒．（1）求的長．（2）當(dāng)時，求的值．ADCBMNADCBMN6.如圖所示，有四個動點(diǎn)P、Q、E、F分別從正方形ABCD的四個頂點(diǎn)出發(fā)，沿著AB、BC、CD、DA以同樣的速度向B、C、D、A各點(diǎn)移動。（1）試判斷四邊形PQEF是正方形并證明。（2）