傅里葉系數(shù)的推導

傅里葉級數(shù)的數(shù)學推導但傅里葉級數(shù)在數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率論、統(tǒng)計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用，這不由得讓人肅然起敬。一打開《信號與系統(tǒng)》、《鎖相環(huán)原理》等書籍，動不動就跳出一個“傅里葉級數(shù)”或“傅里葉變換”，弄一長串公式，讓人云山霧罩。如下就是傅里葉級數(shù)的公式：/V）=峋+qc崩（血）?I-4\a2cos（2f?i）+片浙或5）+■..+狙t佛（乃庭）十sin（7j￡i/）+...一蜘+E es（地成）+島 fT；n=l其中閂二況七（豚 ②如=jf（f）sin（月血）之 ④不客氣地說，這個公式可以說是像“臭婆娘的裹腳布一一又臭又長”，而且來歷相當蹊蹺，不知那個傅里葉什么時候靈光乍現(xiàn)，把一個周期函數(shù)f（t）硬生生地寫成這么一大堆東西。單看那個①式，就是把周期函數(shù)f（t）描述成一個常數(shù)系數(shù)a0、及1倍3的sin和cos函數(shù)、2倍?的sin和cos函數(shù)等、到n倍3的sin和cos函數(shù)等一系列式子的和，且每項都有不同的系數(shù)，即An和Bn，至于這些系數(shù)，需要用積分來解得，即②③④式，不過為了積分方便，積分區(qū)間一般設為［-n,n］，也相當一個周期T的寬度。能否從數(shù)學的角度推導出此公式，以使傅里葉級數(shù)來得明白些，讓我等能了解它的前世今生呢？下面來詳細解釋一下此公式的得出過程：1、把一個周期函數(shù)表示成三角級數(shù)：首先，周期函數(shù)是客觀世界中周期運動的數(shù)學表述，如物體掛在彈簧上作簡諧振動、單擺振動、無線電電子振蕩器的電子振蕩等，大多可以表述為：f（x）=Asin（3t+W）這里t表示時間，A表示振幅，這里t表示時間，A表示振幅，然而，世界上許多周期信號并非正弦函數(shù)那么簡單，如方波、三角波等。傅葉里就想，能否用一系列的三角函數(shù)Ansin（nst+m）之和來表示那個較復雜的周期函數(shù)f（t）呢？因為正弦函數(shù)sin可以說是最簡單的周期函數(shù)了。于是，傅里葉寫出下式：（關于傅里葉推導純屬猜想）f（t）=4）+三&贏3血+甲） ⑤J]=l這里，t是變量，其他都是常數(shù)。與上面最簡單的正弦周期函數(shù)相比，5式中多了一個n，且n從1到無窮大。這里f（t）是已知函數(shù)，也就是需要分解的原周期函數(shù)。從公式5來看，傅里葉是想把一個周期函數(shù)表示成許多正弦函數(shù)的線性疊加，這許許多多的正弦函數(shù)有著不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或說是頻率（是原周期函數(shù)的整數(shù)倍，即n）、有不同的初相角（即中），當然還有一項常數(shù)項（即A0）。要命的是，這個n是從1到無窮大，也就是是一個無窮級數(shù)。應該說，傅里葉是一個天才，想得那么復雜。一般人不太會把一個簡單的周期函數(shù)弄成這么一個復雜的表示式。但傅里葉認為，式子右邊一大堆的函數(shù)，其實都是最簡單的正弦函數(shù)，有利于后續(xù)的分析和計算。當然，這個式能否成立，關鍵是級數(shù)中的每一項都有一個未知系數(shù)，如A0、An等，如果能把這些系數(shù)求出來，那么5式就可以成立。當然在5式中，唯一已知的就是原周期函數(shù)f（t）,那么只需用已知函數(shù)f（t）來表達出各項系數(shù)，上式就可以成立，也能計算了。于是乎，傅里葉首先對式5作如下變形：M帛地（風奴+供）=.4"?min叫,E5伽血）+，cos料?sin〔聘翎）這個變換并不陌生，?源自于三角公式：TOC\o"1-5"\h\zsina? sin#式中+藍色項仙?sin偲和加! 啊,均為苔數(shù)*寫作氣二4知駕且令與=冬這樣，公式5就可以寫成如下公式6的形式：貝）=牛十Z囪cos（點血）十前n（zi成）] 厄）' -n=l"' '這個公式6就是通常形式的三角級數(shù)，接下來的任務就是要把各項系數(shù)an和bn及a0用已知函數(shù)f（t）來表達出來。2、三角函數(shù)的正交性:

這是為下一步傅里葉級數(shù)展開時所用積分的準備知識。一個三角函數(shù)系：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…如果這一堆函數(shù)（包括常數(shù)1）中任何兩個不同函數(shù)的乘積在區(qū)間［-n,n］上的積分等于零，就說三角函數(shù)系在區(qū)間［-n,n］上正交，即有如下式子：| cos nxdx| cos nxdx=0I sin nxdx—G| sin ■cosnxdx = Cj cds ■goenxdx — 0I sin it-sinnxdx = C.J-iT(n=N,*,{kT■=12,3,...?：.{k,h=1,233 k工『)：\/j=三.、mn)以上各式在區(qū)間［-n,n］的定積分均為0,第1第2式可視為三角函數(shù)cos和sin與1相乘的積分；第3-5式則為sin和cos的不同組合相乘的積分式。除了這5個式子外，不可能再有其他的組合了。注意，第4第5兩個式中，k不能等于n,否則就不屬于“三角函數(shù)系中任意兩個不同函數(shù)”的定義了，變成同一函數(shù)的平方了。但第3式中，k與n可以相等，相等時也是二個不同函數(shù)。下面通過計算第4式的定積分來驗證其正確性，第4式中二函數(shù)相乘可以寫成：COS^lCOS/kJx=i［COS(^+/i)A：+COS(A-7J)］這個就是三角公式中的“積化和差"當k^n時，有：Jcoskxcosnxdx=［cosfi:ln)x\cos(A—*)x］沿1盧in(上十股)應sin(fc-fi)x^—2—F+m一十一后3—L二,;［。十。］二。可見在指定［-n,n］的區(qū)間里，該式的定積分為0。其他式也可逐一驗證。3、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù):先把傅里葉級數(shù)表示為下式，即⑥式:/?=牛+勇［弓c邙(她)+br￡n=i

對⑥式從［-n,n］積分，得:\:./（C=匚y+［：ykg〔血）卜瓦浦】伽切=「性十0?=*&=時上式右邊第二個積分項，由于三角函數(shù)息的正交特性各項在到梧分時，均為9,所以有：這就求得了第一個系數(shù)a0的表達式，即最上邊傅里葉級數(shù)公式里的②式。接下來再求an和bn的表達式。用cos（kot）乘⑥式的二邊得：/（/）=的C瞞◎性）2H-l然后對上式從-覆到足逐項積分:冬￡［弓c英（*在V），cos（ra（^）+\c麟（加理）Tim?愆就）H-l然后對上式從-覆到足逐項積分:jcQs（ka/）f（t）cli-j皿瀏#國）成十￡［練「cos（i^Kt）-cos（ri￡ti）cit+Jcosf.jtftX）■sin（z；izt）c#］同樣，根據(jù)三角第數(shù)系的正交性，紅色項積分為0藍色項里儀當kf這一項積分不為0,其余項也為口,所以有：|CGS（kCrJt）- =（\JTOS［宵血>25（目庭J-4匚次’（臏以%，電2友=0睿從而有：（把k寫①］%=一r同樣，再把（?式―端乘以sin儂誠河以得到:至此，已經(jīng)求得傅里葉級數(shù)中各系數(shù)的表達式，只要這些積分都存在，那么⑥式等號右側所表示的傅里葉級數(shù)就能用來表達原函數(shù)f（t）。上述過程就是整個傅里葉級數(shù)的推導過程。事實上，如果能夠寫出⑥式，不難求出各個系數(shù)的表達式，關鍵是人們不會想到一個周期函數(shù)竟然可以用一些簡單的正弦或余弦函數(shù)來表達，且這個表達式是一個無窮級數(shù)。這當然就是數(shù)學家傅里葉的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。綜上，傅里葉級數(shù)的產(chǎn)生過程可以分為以下三步：1、 設想可以把一個周期函數(shù)f（t）通過最簡單的一系列正弦函數(shù)來表示，即5式;2、 通過變形后用三角級數(shù)（含sin和/