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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若,則的值為()A. B. C. D.2.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.23.曲線在點(diǎn)處的切線方程為()A. B. C. D.4.棱長為2的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球,過正方體中兩條異面直線,的中點(diǎn)作直線,則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為()A. B. C. D.15.設(shè)分別是雙線的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)(位于軸右側(cè)),且四邊形為菱形,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.6.雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.7.若的展開式中的系數(shù)為-45,則實數(shù)的值為()A. B.2 C. D.8.已知集合,則()A. B. C. D.9.已知是邊長為的正三角形,若,則A. B.C. D.10.已知向量,,且與的夾角為,則x=()A.-2 B.2 C.1 D.-111.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.12.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,,則()A. B.2 C.3 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)α、β為互不重合的平面,m,n是互不重合的直線,給出下列四個命題:①若m∥n,則m∥α;②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;③若α∥β,m?α,n?β,則m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n?α,m⊥n,則n⊥β;其中正確命題的序號為_____.14.的展開式中的系數(shù)為____.15.已知的終邊過點(diǎn),若,則__________.16.若的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,則展開式中各項的系數(shù)和是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù)(其中),且函數(shù)在處的切線與直線平行.(1)求的值;(2)若函數(shù),求證:恒成立.18.(12分)已知函數(shù)(,),且對任意,都有.(Ⅰ)用含的表達(dá)式表示;(Ⅱ)若存在兩個極值點(diǎn),,且,求出的取值范圍,并證明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷零點(diǎn)的個數(shù),并說明理由.19.(12分)已知函數(shù)(為實常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)在△ABC中,分別為三個內(nèi)角A、B、C的對邊,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面積.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間.(2)設(shè)直線是曲線的切線,若的斜率存在最小值-2,求的值,并求取得最小斜率時切線的方程.(3)已知分別在,處取得極值,求證:.22.(10分)如圖1,四邊形為直角梯形,,,,,,為線段上一點(diǎn),滿足,為的中點(diǎn),現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2),使平面平面.(1)求證:平面平面;(2)能否在線段上找到一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在,試確定點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】
根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】
將點(diǎn)代入解析式確定參數(shù)值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率,即可由點(diǎn)斜式求的切線方程.【詳解】曲線,即,當(dāng)時,代入可得,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為,求得導(dǎo)函數(shù)可得,由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知,由點(diǎn)斜式可得切線方程為,即,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在曲線上一點(diǎn)的切線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
連結(jié)并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點(diǎn),取MN的中點(diǎn)H,則OH⊥MN,推導(dǎo)出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長.【詳解】如圖,MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點(diǎn),取MN的中點(diǎn)H,則OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.5.B【解析】
由于四邊形為菱形,且,所以為等邊三角形,從而可得漸近線的傾斜角,求出其斜率.【詳解】如圖,因為四邊形為菱形,,所以為等邊三角形,,兩漸近線的斜率分別為和.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于容易題.7.D【解析】
將多項式的乘法式展開,結(jié)合二項式定理展開式通項,即可求得的值.【詳解】∵所以展開式中的系數(shù)為,∴解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了二項式定理展開式通項的簡單應(yīng)用,指定項系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫出A∩B.【詳解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式與交集的運(yùn)算問題,是基礎(chǔ)題.9.A【解析】
由可得,因為是邊長為的正三角形,所以,故選A.10.B【解析】
由題意,代入解方程即可得解.【詳解】由題意,所以,且,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
首先求得時,的取值范圍.然后求得時,的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時,的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時,.當(dāng)時,為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時,.”,所以令,得,因為,,所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.12.A【解析】
由奇函數(shù)定義求出和.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù),.又當(dāng)時,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.④【解析】
根據(jù)直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項得到答案.【詳解】對于①,當(dāng)m∥n時,由直線與平面平行的定義和判定定理,不能得出m∥α,①錯誤;對于②,當(dāng)m?α,n?α,且m∥β,n∥β時,由兩平面平行的判定定理,不能得出α∥β,②錯誤;對于③,當(dāng)α∥β,且m?α,n?β時,由兩平面平行的性質(zhì)定理,不能得出m∥n,③錯誤;對于④,當(dāng)α⊥β,且α∩β=m,n?α,m⊥n時,由兩平面垂直的性質(zhì)定理,能夠得出n⊥β,④正確;綜上知,正確命題的序號是④.故答案為:④.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.14.28【解析】
將已知式轉(zhuǎn)化為,則的展開式中的系數(shù)中的系數(shù),根據(jù)二項式展開式可求得其值.【詳解】,所以的展開式中的系數(shù)就是中的系數(shù),而中的系數(shù)為,展開式中的系數(shù)為故答案為:28.【點(diǎn)睛】本題考查二項式展開式中的某特定項的系數(shù),關(guān)鍵在于將原表達(dá)式化簡將三項的冪的形式轉(zhuǎn)化為可求的二項式的形式,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得的值.【詳解】∵的終邊過點(diǎn),若,.即答案為-2.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式,屬基礎(chǔ)題.16.【解析】
由題意得出展開式中共有11項,;再令求得展開式中各項的系數(shù)和.【詳解】由的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,所以展開式中共有11項,所以;令,可求得展開式中各項的系數(shù)和是:.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式的運(yùn)用,考查二項式展開式各項系數(shù)和的求法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo)得到,解得答案.(2)變形得到,令函數(shù),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到,,得到證明.【詳解】(1),,解得.(2)得,變形得,令函數(shù),,令解得,當(dāng)時,時.函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,,即,即,恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù),證明不等式,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力,綜合應(yīng)用能力.18.(1)(2)見解析(3)見解析【解析】試題分析:利用賦值法求出關(guān)系,求函數(shù)導(dǎo)數(shù),要求函數(shù)有兩個極值點(diǎn),只需在內(nèi)有兩個實根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個數(shù).試題解析:(Ⅰ)根據(jù)題意:令,可得,所以,經(jīng)驗證,可得當(dāng)時,對任意,都有,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,且,所以,令,要使存在兩個極值點(diǎn),,則須有有兩個不相等的正數(shù)根,所以或解得或無解,所以的取值范圍,可得,由題意知,令,則.而當(dāng)時,,即,所以在上單調(diào)遞減,所以即時,.(Ⅲ)因為,.令得,.由(Ⅱ)知時,的對稱軸,,,所以.又,可得,此時,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以最多只有三個不同的零點(diǎn).又因為,所以在上遞增,即時,恒成立.根據(jù)(2)可知且,所以,即,所以,使得.由,得,又,,所以恰有三個不同的零點(diǎn):,1,.綜上所述,恰有三個不同的零點(diǎn).【點(diǎn)睛】利用賦值法求出關(guān)系,利用函數(shù)導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,要求函數(shù)有兩個極值點(diǎn),只需在內(nèi)有兩個實根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個數(shù)是近年高考壓軸題的熱點(diǎn).19.(1)見解析(2)【解析】
(1)分類討論的值,利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)分別得出,,時,的最小值,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1),.當(dāng)即時,,,此時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)即時,時,,在上單調(diào)遞減;時,,在上單調(diào)遞增;當(dāng)即時,,,此時,在上單調(diào)遞減;(2)當(dāng)時,因為在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,所以當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以的最小值為.因為,所以,.所以,所以.當(dāng)時,在上單調(diào)遞減所以的最小值為因為,所以,所以,綜上,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的存在性問題,屬于中檔題.20.(1);(2).【解析】
(1)整理得:,再由余弦定理可得,問題得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【詳解】(1)由題意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式,考查了轉(zhuǎn)化思想及化簡能力,屬于基礎(chǔ)題.21.(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;(2),;(3)證明見解析.【解析】
(1)由的正負(fù)可確定的單調(diào)區(qū)間;(2)利用基本不等式可求得時,取得最小值,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,從而求得,求得切點(diǎn)坐標(biāo)后,可得到切線方程;(3)由極值點(diǎn)的定義可知是的兩個不等正根,由判別式大于零得到的取值范圍,同時得到韋達(dá)定理的形式;化簡為,結(jié)合的范圍可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題意得:的定義域為,當(dāng)時,,,當(dāng)和時,;當(dāng)時,,的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.(2),所以(當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號),切線的斜率存在最小值,,解得:,,即切點(diǎn)為,從而切線方程,即:.(3),分別在,處取得極值,,是方程,即的兩個不等正根.則,解得:,且,.,,,即不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)
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