基本不等式 題型練習(xí)-2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含解析）

1.基本不等式題型練習(xí)例：已知實(shí)數(shù)a，b滿足a＞0，b＞0，a+b=2，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小值為B.的最小值為3C.的最大值為3D.的最小值為21．若a，b∈（0，+∞），且，則的最小值為．2．設(shè)x、y∈R，a＞0，b＞0，若ax＝by＝3，a+2b＝，則的最大值為．3．已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，則（）A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值

4．若a，b∈R，ab＞0，則的最大值為．5．已知0，則的最小值是．6．設(shè)m＞n＞0，那么的最小值是．7．若正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝1，則函數(shù)f（x）＝abx2+（3b+1）x﹣36ab的零點(diǎn)的最大值為．8．已知a，b∈（0，+∞），且a2+3ab+4b2＝7，則a+2b的最大值為．

9．已知x，y∈R且滿足2x2﹣y2+xy＝2，則x2+2y2的最小值是．10．若正數(shù)a，b滿足a+b+2＝ab，則+的最小值是．11．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足2a+b＝4，則的最小值是．12．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為．13．已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，，則的最小值是．14．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，且a＞2b，則的最小值為．

15．已知正數(shù)x，y滿足，則x+y的最小值與最大值的和為．16．若a＞1，b＞0，則的最小值為．17．已知a，b，c∈R+，且a＞4，ab+ac＝4，則的最小值是．18．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，，則x+2y的最小值．

答案：一．基本不等式（共17小題）1．若a，b∈（0，+∞），且，則的最小值為（）A．9 B．3 C．1 D．【分析】結(jié)合基本不等式得到（）（）＝b+4+1+＝5+b+≥5+2＝9，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：∵a，b∈（0，+∞），且，（）（）＝b+4+1+＝5+b+≥5+2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝時(shí)等號(hào)成立，∴9（）≥9，故≥1，即的最小值為1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．2．設(shè)x、y∈R，a＞0，b＞0，若ax＝by＝3，a+2b＝，則的最大值為1．【分析】由ax＝by＝3化簡(jiǎn)得+＝log3ab，再由基本不等式可得2ab≤＝6，從而可得ab≤3，從而確定最大值．【解答】解：∵ax＝by＝3，∴x＝loga3，y＝logb3，∴＝log3a，＝log3b，∴+＝log3a+log3b＝log3ab，∵2ab≤＝6，∴ab≤3，故ab的最大值為3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝時(shí)，等號(hào)成立，故+＝log3ab≤log33＝1，故+的最大值為1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式在求最值中的應(yīng)用，同時(shí)考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．3．已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值【分析】由a2﹣b+4＝0可得b＝a2+4，則a+b＝a2+a+4，即＝，從而＝3﹣＝3﹣＝3﹣，進(jìn)一步結(jié)合a＞0即可利用基本不等式進(jìn)行求解．【解答】解：由a2﹣b+4＝0，得b＝a2+4，則a+b＝a2+a+4，即＝，又a＞0，所以＝3﹣＝3﹣＝3﹣≥3﹣＝3﹣＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝2，b＝8時(shí)等號(hào)成立，所以有最小值，無(wú)最大值，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．4．若a，b∈R，ab＞0，則的最大值為（）A． B． C．2 D．4【分析】利用基本不等式求解即可．【解答】解：因?yàn)閍4+4b4＝（a2）2+（2b2）2≥4a2b2，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2時(shí)取等號(hào)，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立方程組，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最大值為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的理解與應(yīng)用，主要考查了基本不等式求解最值的應(yīng)用，在使用基本不等式求解最值時(shí)要滿足三個(gè)條件：一正、二定、三相等，屬于中檔題．5．已知0，則的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)＝2（）（x+）﹣1，利用基本不等式求解即可．【解答】解：因?yàn)?，所以＝+＝﹣1＝2（）（x+）﹣1＝2（2+）﹣1≥2（2+2）﹣1＝7，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值是7．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用基本不等式求解最值，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．6．設(shè)m＞n＞0，那么的最小值是8．【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：m＞n＞0，則＝＝＝8，當(dāng)且僅當(dāng)m﹣n＝n且，即m＝1，n＝時(shí)取等號(hào)．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題．7．若正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝1，則函數(shù)f（x）＝abx2+（3b+1）x﹣36ab的零點(diǎn)的最大值為（）A． B． C．2 D．3【分析】令f（x）＝0整理得，利用基本不等式“I”的代換可得，求解不等式即可判斷．【解答】解：f（x）＝0，則則，，∴，而≥5+2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)取等，∴，∴x≤﹣12或0＜x≤3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．8．已知a，b∈（0，+∞），且a2+3ab+4b2＝7，則a+2b的最大值為（）A．2 B．3 C．2 D．3【分析】先變形，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵7＝（a+2b）2﹣ab＝（a+2b）2﹣a?2b≥（a+2b）2﹣（）2＝，則（a+2b）2≤8，即|a+2b|≤2，又a，b∈（0，+∞），所以0＜a+2b≤2當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝時(shí)取等號(hào)，∴a+2b的最大值為2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．9．已知x，y∈R且滿足2x2﹣y2+xy＝2，則x2+2y2的最小值是．【分析】由已知可得2x﹣y）（x+y）＝2，然后換元令2x﹣y＝m，x+y＝n，用含m，n的式子表示x，y，代入到所求式子后結(jié)合基本不等式可求．【解答】解：2x2﹣y2+xy＝2?（2x﹣y）（x+y）＝2，令2x﹣y＝m，x+y＝n，則x＝，y＝，且mn＝2，所以x2+2y2＝（）2+2×（）2＝﹣＝，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x2+2y2的最小值．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，換元法的應(yīng)用可以簡(jiǎn)化基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10．若正數(shù)a，b滿足a+b+2＝ab，則+的最小值是2．【分析】由已知得，a＝＞0，從而可得b＞1，然后把a(bǔ)＝代入所求式子，結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b+2＝ab，所以a＝＞0，所以b＞1，則+＝＝b﹣1+，當(dāng)且僅當(dāng)b﹣1＝，即b＝1+時(shí)取等號(hào)，故則+的最小值2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足2a+b＝4，則的最小值是（）A． B．4 C． D．【分析】根據(jù)已知得到2a+4+b＝8，進(jìn)而利用“1”的代換即可求解結(jié)論．【解答】解：∵正實(shí)數(shù)a，b滿足2a+b＝4，∴2a+4+b＝8，∴＝+＝（+）×（2a+4+b）×＝（6++）≥（6+2）＝，當(dāng)且僅當(dāng)2a+4＝b時(shí)等號(hào)成立．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是對(duì)“1”的代換，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基礎(chǔ)題．12．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】先變形得到（2a﹣1）+（b﹣1）＝1，再利用“1”的代換和基本不等式求最值即可．【解答】解：∵，∴2a﹣1＞0，b﹣1＞0，∴（2a﹣1）+（b﹣1）＝1，∴＝++2＝（+）[（2a﹣1）+（b﹣1）]+2＝++4≥2+4＝6，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為6，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．13．已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，，則的最小值是．【分析】可根據(jù)得出，然后即可得出，然后根據(jù)基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：∵，∴，且a＞0，b＞0，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分離常數(shù)法的運(yùn)用，基本不等式求最值的方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．14．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，且a＞2b，則的最小值為（）A．1 B． C．4 D．【分析】先得到ab＝1，再合理變形得到＝a﹣2b+，最后利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵，∴＝1﹣＝，∴ab＝1，∵a＞2b，∴a﹣2b＞0，∴＝＝a﹣2b+≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a﹣2b＝，即a＝+1，b＝時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用基本不等式求最值問題，合理變形是關(guān)鍵，屬于中檔題．15．已知正數(shù)x，y滿足，則x+y的最小值與最大值的和為（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用基本不等式變形得，，然后把進(jìn)行變形代換，解二次不等式可求．【解答】解：因?yàn)閤y≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，又＝x+y+，所以x+y+≤5，即（x+y）2﹣5（x+y）+4≤0，解得，1≤x+y≤4．所以x+