1999年高考數(shù)學(xué)試題及答案

1999年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷第1至2頁(yè)。第II卷3至8頁(yè)。共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。第I卷（選擇題共60分）注意事項(xiàng)1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上。2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上。3．考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回。參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式其中、分別表示上、下底面周長(zhǎng)，表示斜高或母線長(zhǎng)臺(tái)體的體積公式其中、分別表示上、下底面積，表示高一、選擇題：本大題共14小題；第（1）—（10）題每小題4分，第（11）—（14）題每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）如圖，I是全集，M、P、S是I3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（A）（M∩P）∩S（B）（M∩P）∪S（C）（M∩P）∩（D）（M∩P）∪（2）已知映射：，其中，集合集合B中的元素都是A中元素在，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是映射下的象，且對(duì)任意的在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是（A）4（B）5（B）（C）6（D）7（3）若函數(shù)的反函數(shù)是，則等于（A）（C）（D）（4）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且則函數(shù)在上（A）是增函數(shù)（B）是減函數(shù)（C）可以取得最大值M（D）可以取得最小值（5）若（A）是周期為的奇函數(shù)，則可以是（B）（C）（D）（6）在極坐標(biāo)系中，曲線關(guān)于（A）直線（C）點(diǎn)軸對(duì)稱（B）直線軸對(duì)稱中心對(duì)稱（D）極點(diǎn)中心對(duì)稱（7）若干毫升水倒入底面半徑為的圓柱形器皿中，量得水面的高度為，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是（A）（B）（C）（D）（8）若（A）1則的值為（B）（B）（C）0（D）2（D）（9）直線（A）截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為（C）（10）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF距離為2，則該多面體的體積為，EF與面AC的（A）（B）5（C）6（D）（11）若則（A）（B）（C）（D）（12）如果圓臺(tái)的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺(tái)分為上、下兩個(gè)圓臺(tái)，它們的側(cè)面積的比為1：2，那么R=（A）10（B）15（C）20（D）25（13）已知兩點(diǎn)給出下列曲線方程：①②③④在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是（A）①③（B）②④（C）①②③（D）②③④（14）某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購(gòu)方式共有（A）5種（B）6種（C）7種（D）8種1999年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第II卷（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：1．第II卷共6頁(yè)，用鋼筆或圓珠筆直接寫(xiě)答在試題卷中。2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。題號(hào)19二三總分2021222324分?jǐn)?shù)得分評(píng)卷人二．填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。（15）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，若過(guò)且垂直于軸的弦長(zhǎng)等于點(diǎn)到的距離，則橢圓的率心率是_____。（16）在一塊并排10龔的田地中，選擇2龔分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一龔，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6龔，則不同的選龔方法共有_____種（用數(shù)學(xué)作答）。（17）若正數(shù)、滿足則的取值范圍是_____。（18）、是兩個(gè)不同的平面，、是平面及之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①⊥②⊥③⊥④⊥以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：__________________________________。三、解答題：本大題共6小題；共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。得分評(píng)卷人（19）（本小題滿分10分）解不等式得分得分評(píng)卷人評(píng)卷人（20）（本小題滿分12分）設(shè)復(fù)數(shù)求函數(shù)的最大值以及對(duì)應(yīng)的值。（21）（本小題滿分12分）如圖，已知正四棱柱所成的角為，點(diǎn)在棱上，截面∥，且面與底面（I）求截面的面積；（II）求異面直線（III）求三棱錐與AC之間的距離；的體積。得分評(píng)卷人（22）（本小題滿分12分）右圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖。冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出。（I）輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò)。問(wèn)冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋錕？（一對(duì)軋輥減薄率）（II）已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋錕，所有軋輥周長(zhǎng)均為1600若第對(duì)軋錕有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，庇點(diǎn)的間距為為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算、、并填入下表（軋鋼過(guò)程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）。軋錕序號(hào)12341600疵點(diǎn)間距（單位：）得分評(píng)卷人（23）（本小題滿分14分）已知函數(shù)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線，當(dāng)時(shí)，該圖象是斜率為的線段（其中正常數(shù)），設(shè)數(shù)列由定義。（I）求（II）求、和的表達(dá)式；的表達(dá)式，并寫(xiě)出其定義域；（III）證明：的圖象與的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)。得分評(píng)卷人（24）（本小題滿分14分）如圖，給出定點(diǎn)和直線是直線上的動(dòng)點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)。求點(diǎn)的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關(guān)系。1999年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本題解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較重的錯(cuò)誤，就不再給分。三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)運(yùn)算。第（1）—（10）每小題4分，第（11）—（14）題每小題5分，滿分60分。CAACBBBACDBDDC二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分16分。（15）（18）（16）12（17）或三、解答題（19）本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)不等式、無(wú)理不等式解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的思想。滿分10分。解：原不等式等價(jià)于————4分由①得由②得由③得或，由此得當(dāng)或————8分時(shí)得所求的解是時(shí)得所求的解是；當(dāng)————10分（20）本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、三角公式和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。滿分12分。解：由得由得及故————4分∵∴————8分當(dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，上式取等號(hào)。時(shí)，函數(shù)取得最大值由得由于在內(nèi)正切函數(shù)是遞增函數(shù)，函數(shù)也取最大值————12分（21）本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角和距離的概念，邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力。滿分12分。（1）解：如圖，連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角?！?分∴故————4分（II）解：由題設(shè)是正四棱柱，得⊥底面AC，⊥AC，又⊥∴是異面直線與AC間的公垂線?！?分∵∴∥面EAC，且面∥EO與面EAC交線為EO，又O是DB的中點(diǎn)，∴E是的中點(diǎn)，=2EO=2∴異面直線與AC間的距離為————8分（III）解法一：如圖，連結(jié)∵=DB=∴是正方形連結(jié)∵交于P，交EO于Q，EO∥⊥，∴⊥EO又AC⊥EO，AC⊥ED∴AC⊥面，∴∴∴⊥AC，⊥面EAC是三棱錐的高。————10分由DQ=PQ，得∴所以三棱錐解法二：連結(jié)∵AO⊥面的體積是————12分————10分，則，∴AO是三棱錐的高，AO在正方形中，E、O分別是、DB的中點(diǎn)（如右圖），則∴所以三棱錐的體積是————12分（22）本小題主要考查等比數(shù)列、對(duì)數(shù)計(jì)算等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿分12分。（1）解：厚度為的帶鋼經(jīng)過(guò)減薄率均為的對(duì)軋緄后厚度為為使輸出帶鋼的厚度不超過(guò)，冷軋機(jī)的軋輥數(shù)（以對(duì)為單位）應(yīng)滿足即————3分由于對(duì)比上式兩端取對(duì)數(shù)，得由于所以因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對(duì)軋輥?！?分（II）解法一：第對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距離為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為寬度而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為因?qū)挾认嗟?，且無(wú)損耗，由體積相等得寬度即————9分由此得填表如下軋錕序號(hào)12343125250020001600疵點(diǎn)間距（單位：）————12分解法二：第3對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔?，有所以同理———?分填表如下軋錕序號(hào)12343125250020001600疵點(diǎn)間距（單位：）————12分（23）本小題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識(shí)，考查歸納、推理和綜合的能力。滿分14分。（I）解：依題意，又由，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故由得————2分又由記，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故由，即得————3分由函數(shù)圖象中第段線段的斜率為，故得又；∴由此知數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為因得即————6分（II）解：當(dāng)，從（I）可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由（I）可知————8分為求函數(shù)的定義域，須對(duì)進(jìn)行討論。當(dāng)當(dāng)時(shí)，；時(shí)，也趨向于無(wú)窮大。綜上，當(dāng)當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋粫r(shí)，的定義域?yàn)??！?0分（III）證法一：首先證明當(dāng)，時(shí)，恒有成立。用數(shù)學(xué)歸納法證明：(i)由(II)知當(dāng)時(shí),在上,所以成立(ii)假設(shè)時(shí)在上恒有成立.可得在上,所以也成立.由(i)與(ii)知,對(duì)所有自然數(shù)在上都有成立.即時(shí),恒有.________13分其次,當(dāng),仿上述證明,可知當(dāng)時(shí),恒有成立.故函數(shù)的圖象與的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)._______14分證法二:首先證明當(dāng),時(shí),恒有成立.對(duì)任意的存在,使,此時(shí)有∴又∴，∴，即有成立.————13分其次，當(dāng)，仿上述證明，可知當(dāng)時(shí)，恒有成立。故函數(shù)的圖象與的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)?！?4分（24）本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。滿分14分。解法一：依題意，記則直線OA和OB的方程分別為和設(shè)點(diǎn)式得，則有，由OC平分∠AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等。根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公①————4分依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有————6分由，得②將②式代入①式得整理得————9分若，則，則；若，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0），滿足上式。綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為————10分（）當(dāng)時(shí)，軌跡方程化為③此時(shí)③表示拋物線弧段；————11分（）當(dāng)時(shí)，軌跡方程化為④所以，當(dāng)當(dāng)時(shí)，方程④表示橢