【新教材】二項分布與超幾何分布 人教B版高中數(shù)學

二項分布與超幾何分布1.課標闡釋思維脈絡(luò)1.理解n次獨立重復試驗的模型,掌握二項分布,并能利用它們解決一些簡單的實際問題.2.理解超幾何分布的意義,能夠利用超幾何分布的概率公式解決實際問題.3.通過本節(jié)的學習,體會模型化思想在解決問題中的作用,感受概率在生活中的作用,提高數(shù)學應用能力.2.激趣誘思知識點撥解放軍部隊打仗前總要召開“諸葛亮”會,戰(zhàn)役指揮共同研究作戰(zhàn)方案,力爭百戰(zhàn)百勝.不少企業(yè)成立智囊團,幫助企業(yè)發(fā)展.日本松下公司鼓勵員工提出合理化建議,誰提得多而有成效的建議,就給予誰獎勵.這大大調(diào)動了職工的積極性,充分發(fā)揮員工的聰明才智,助力公司飛躍發(fā)展.“三個臭皮匠頂個諸葛亮”是中國民間廣為流傳的一句諺語,從上面的事實來看,這句諺語是很有道理的,下面我們從概率的角度來探討一下這個問題.假如劉備手下有諸葛亮和9名謀士組成的智囊團,假定對某事進行決策時,每名謀士決策正確的概率為0.7,諸葛亮決策正確的概率為0.85.現(xiàn)在為某事能否可行而征求每位謀士的意見,并按多數(shù)人的意見做出決策.試比較諸葛亮和智囊團決策正確的概率.3.激趣誘思知識點撥一、n次獨立重復試驗與二項分布1.n次獨立重復試驗在相同條件下重復n次伯努利試驗時,人們總是約定這n次試驗是相互獨立的,此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復試驗.2.二項分布一般地,如果一次伯努利試驗中,出現(xiàn)“成功”的概率為p,記q=1-p,且n次獨立重復試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,…,n.因此X的分布列如下表所示X01…k…nPp0qnp1qn-1…pkqn-k…pnq04.激趣誘思知識點撥此稱X服從參數(shù)n,p的二項分布,記作X~B(n,p).名師點析

(1)二項分布是n次獨立重復試驗在k取遍0,1,2,…,n各種情況下的一個分布列.(2)在X~B(n,p)中,X可以取0,1,2,…,n中的任意值,而在n次獨立重復試驗中,X卻是一個具體結(jié)果;注意掌握表示符號n,p的具體含義,并習慣用符號表示具體的分布列.5.激趣誘思知識點撥微思考1獨立重復試驗滿足什么條件?提示:(1)每次試驗是在相同的條件下進行的;(2)各次試驗的結(jié)果互不影響,即每次試驗是相互獨立的;(3)每次試驗都只有兩種結(jié)果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生.6.激趣誘思知識點撥微思考2二項分布與兩點分布有什么關(guān)系?提示:(1)兩點分布的試驗次數(shù)只有一次,試驗結(jié)果只有兩種:事件A發(fā)生(X=1)或不發(fā)生(X=0);二項分布是指在n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)X的分布列,試驗次數(shù)為n次,每次試驗的結(jié)果也只有兩種:事件A發(fā)生或不發(fā)生,試驗結(jié)果有n+1種:事件A恰好發(fā)生0次,1次,2次,…,n次.(2)二項分布是兩點分布的一般形式,兩點分布是一種特殊的二項分布,即n=1的二項分布.7.激趣誘思知識點撥二、超幾何分布1.定義:一般地,若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品,其中甲類有M件(M<N),從所有物品中隨機取出n件(n≤N),則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機變量,X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù),其中s是M與n中的較小者,t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N-M)時取0,否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-(N-M)),而且8.激趣誘思知識點撥2.超幾何分布列如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,則X能取所有不大于s的自然數(shù),此時X的分布列如下表:名師點析

求超幾何分布列的步驟(1)驗證隨機變量是否服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n;(2)確定X的所有可能取值;(3)利用超幾何分布公式計算P(X=k);(4)寫出分布列(用表格或式子表示).X01…k…sP

…

…

9.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測n次獨立重復試驗概率的求法例1現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率;(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率.10.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測11.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

n次獨立重復試驗概率求法的三個步驟(1)判斷:依據(jù)n次獨立重復試驗的特征,判斷所給試驗是否為獨立重復試驗;(2)分拆:判斷所求事件是否需要拆分;(3)計算:就每個事件依據(jù)n次獨立重復試驗的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式計算.12.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1某氣象站天氣預報的準確率為70%,計算(結(jié)果保留到小數(shù)點后面第2位):(1)5次預報中恰有2次準確的概率;(2)5次預報中至少有2次準確的概率.13.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測二項分布例2某公司招聘員工,先由兩位專家面試,若兩位專家都同意通過,則視作通過初審予以錄用;若這兩位專家都未同意通過,則視作未通過初審不予錄用;當這兩位專家意見不一致時,再由第三位專家進行復審,若能通過復審則予以錄用,否則不予錄用.設(shè)應聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為,復審能通過的概率為,各專家評審的結(jié)果相互獨立.(1)求某應聘人員被錄用的概率;(2)若4人應聘,設(shè)X為被錄用的人數(shù),試求隨機變量X的分布列.分析解答本題可根據(jù)二項分布的概率計算方法解答,同時注意互斥事件概率公式的應用.14.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測15.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測16.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

1.本例屬于二項分布,當X服從二項分布時,應弄清X~B(n,p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p.2.解決二項分布問題的關(guān)鍵對于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必須在滿足“獨立重復試驗”時才能運用,否則不能應用該公式.17.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2在一次數(shù)學考試中,第14題和第15題為選做題.規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題.設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為

.(1)求其中甲、乙兩名考生選做同一道題的概率;(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的考生數(shù)為ξ,求ξ的分布列.18.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測19.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測超幾何分布例3在一次購物抽獎活動中,假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張,可獲價值50元的獎品,有二等獎獎券3張,每張可獲價值10元的獎品,其余6張沒有獎品.(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張,求中獎次數(shù)X的分布列;(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張,①求顧客乙中獎的概率;②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值為Y元,求Y的分布列.分析(1)從10張獎券中抽取1張,其結(jié)果有中獎和不中獎兩種,故X服從兩點分布.(2)從10張獎券中任意抽取2張,其中含有中獎的獎券的張數(shù)服從超幾何分布.20.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測21.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測22.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測因此隨機變量Y的分布列為

反思感悟

解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問題時可以直接利用公式求解,但不能機械地記憶.(2)超幾何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),從而求出X的分布列.23.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3老師要從10篇課文中隨機抽3篇讓學生背誦,規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格.某同學只能背誦其中的6篇,試求:(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列;(2)該同學能及格的概率.24.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測25.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測26.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測概率的綜合應用(1)求隨機變量ξ的分布列;(2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件,用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件,求P(AB).27.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測28.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測29.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

在本例條件下,試若求事件“甲、乙兩隊總得分之和大于4”的概率.解:用E表示“甲、乙兩隊總得分之和大于4”這一事件,包括“總得分之和等于5”與“總得分之和等于6”.用F表示“甲、乙兩隊總得分之和等于5”這一事件,包括“甲隊330.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測判斷隨機變量服從二項分布的方法典例

1下面三個隨機變量:①隨機變量X表示重復投擲一枚硬幣n次,正面向上的次數(shù);②有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件是次品,采用有放回抽取的方法,X表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù);③隨機變量X表示n次射擊命中目標的次數(shù).其中,服從二項分布的是

.

31.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:①②③

32.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測典例

2氣溫的變化已引起人們的關(guān)注,據(jù)某地氣象部門統(tǒng)計,該地區(qū)每年最低氣溫在-2℃以下的概率是

.設(shè)X為該地區(qū)從2020年到2025年最低氣溫在-2℃以下的年數(shù),求X的分布列.33.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測34.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測35.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛

判斷隨機變量是否服從二項分布的方法,關(guān)鍵是看它是否服從二項分布的三個特點:(1)獨立性:即試驗之間互不影響且一次試驗中,事件發(fā)生與否二者必居其一.(2)重復性:即試驗在相同條件下獨立重復地進行了n次.(3)穩(wěn)定性:每次試驗,事件發(fā)生與否的概率是不變的.滿足上述三個特點,該隨機變量就服從二項分布.36.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測1.有8件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取3件,若X表示取得次品的件數(shù),則P(X≤1)=(

)答案:B37.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.某處有水龍頭3個,調(diào)查表明每個水龍頭被打開的可能性是0.1,隨機變量X表示同時被打開的水龍頭的個數(shù),則P(X=2)=

(用數(shù)