電磁場(chǎng)：第6章 平面電磁波

第六章平面電磁波電磁場(chǎng)基本方程組電磁波動(dòng)方程電磁波的傳播特性導(dǎo)電媒質(zhì)中時(shí)變電磁場(chǎng)以波的形式向前傳播，波動(dòng)的規(guī)律由波動(dòng)方程、邊界條件及初始條件來(lái)確定。平面波均勻平面波理想介質(zhì)中對(duì)平面邊界的垂直入射對(duì)平面邊界的斜入射趨膚效應(yīng)、極化、色散等。按電磁波的等相位面形狀的不同，可以將其分為平面電磁波、柱面電磁波和球面電磁波。一個(gè)點(diǎn)源激勵(lì)球面波，一個(gè)圓柱源激勵(lì)柱面波，一個(gè)無(wú)限大平面源激勵(lì)平面波，因此理想的平面電磁波是不存在的。但當(dāng)我們研究的區(qū)域遠(yuǎn)離波源時(shí)，呈球面的波陣面上的一小部分就可以近似為平面，在此平面內(nèi)的波可以當(dāng)作平面波來(lái)分析。等相位面為平面的電磁波稱為平面電磁波，如果在等相位面電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向均不變，則稱為均勻平面波。對(duì)于均勻平面波，各場(chǎng)分量?jī)H與傳播方向的坐標(biāo)有關(guān)。或者說(shuō)均勻平面波的電磁場(chǎng)分量與傳播方向相垂直的坐標(biāo)無(wú)關(guān)。6.1無(wú)耗媒質(zhì)中的均勻平面波6.2無(wú)限大導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面電磁波6.3導(dǎo)體中的均勻平面波、趨膚效應(yīng)6.4

電磁波的極化6.5

電磁波的色散和群速6.6

均勻平面電磁波對(duì)平面邊界的垂直入射6.7

均勻平面電磁波對(duì)平面邊界的斜入射6.1無(wú)耗媒質(zhì)中的均勻平面波縱向：波傳播的方向；橫向平面：與傳播方向垂直的平面。波傳播方向等相位面設(shè)沿z方向傳播的均勻平面波，電場(chǎng)和都不是x和y的函數(shù)，而只是z的函數(shù)。即設(shè)均勻平面波沿z軸方向傳播，其電場(chǎng)沿x軸取向，有，代入無(wú)源、無(wú)耗媒質(zhì)中的時(shí)諧電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程，得到一個(gè)標(biāo)量方程：下面來(lái)討論波動(dòng)方程在均勻平面波情況下的解。齊次二階常微分方程其通解為：時(shí)域中表示為：待定系數(shù)，由邊界條件決定沿+z方向傳播沿-z方向傳播若電介質(zhì)區(qū)是無(wú)限延伸的，則只有一個(gè)沿+z方向傳播的均勻平面波。此時(shí)，電場(chǎng)矢量和時(shí)域表達(dá)式為常數(shù)（6-1-7）1.電磁波的相位代表場(chǎng)的波動(dòng)狀態(tài)。由三部分構(gòu)成：Ωt：表示隨時(shí)間變化部分；-kz：表示隨空間距離變化部分；Φ0：表示在z=0,t=0時(shí)的狀態(tài)，稱為初相位。2.行波與相位可見(jiàn)：在空間任意觀察點(diǎn)處,其場(chǎng)強(qiáng)是以角頻率ω隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化。在空間z=z0處的電場(chǎng)隨時(shí)間的變化曲線在某一固定的時(shí)刻電場(chǎng)隨距離的變化曲線可見(jiàn)：在任一固定的時(shí)刻,場(chǎng)強(qiáng)隨距離按正弦規(guī)律變化。等相位面：滿足關(guān)系式常數(shù)的平面。相速：平面波的等相位面移動(dòng)的速度。表示行波行進(jìn)的速度。設(shè)平面波的相位為，在t0時(shí)刻，φ與z的關(guān)系曲線如圖示。

行波：在任一固定的時(shí)刻,場(chǎng)強(qiáng)隨距離按正弦規(guī)律變化，且隨著時(shí)間的推移，函數(shù)的各點(diǎn)沿+z方向向前移動(dòng)。在傳播方向上,行波的相位隨距離的增大而連續(xù)滯后。---行波的基本特點(diǎn)真空中，媒質(zhì)中，媒質(zhì)的折射率色散取決于媒質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。如果相速與頻率無(wú)關(guān)，媒質(zhì)稱為非色散媒質(zhì)；否則稱之為色散媒質(zhì)（Dispersive)。均勻、線性、各向同性的無(wú)耗媒質(zhì)一定是非色散媒質(zhì)。相位常數(shù)：表示電磁波單位距離上的相位變化。記作

波數(shù)：k又表示2π距離上波數(shù)的個(gè)數(shù)，故k也稱波數(shù)。波長(zhǎng)：任意給定時(shí)刻，相位相差2π的兩平面間的距離。記作

3.波長(zhǎng)與相位常數(shù)4.波阻抗與功率流密度由麥克斯韋第二方程得將平面波的電場(chǎng)代入上式，得到相應(yīng)的磁場(chǎng)為：本征阻抗或波阻抗自由空間，：為平面波的傳播方向。無(wú)耗媒質(zhì)中，任意點(diǎn)的平均功率流密度為5.沿任意方向傳播的平面波表達(dá)式

電磁波的傳播方向沿+z軸，波的等相位面是垂直于z軸的平面或z=常數(shù)的平面。假設(shè)P(x,y,z)為該等相位面上任一點(diǎn)，其位置矢量為：傳播方向等相位面

實(shí)際，電磁波的傳播方向不一定沿某坐標(biāo)軸，而可能是任意方向。假設(shè)均勻平面波沿任意單位矢量的方向傳播，則空間任一點(diǎn)P處的電場(chǎng)矢量可表示為等相位面隱含了平面電磁波電場(chǎng)垂直與傳播方向。在無(wú)源區(qū)域內(nèi)，由于即電場(chǎng)和傳播方向垂直相應(yīng)磁場(chǎng)矢量為：

無(wú)耗媒質(zhì)中，均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度均與波的傳播方向垂直，即在傳播方向上既沒(méi)有電場(chǎng)分量又沒(méi)有磁場(chǎng)分量--------橫電磁波（TEM波）均勻平面電磁波的傳播

理想介質(zhì)中均勻平面電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)空間分布

小結(jié)無(wú)耗媒質(zhì)中傳播的均勻平面波的特征：（1）電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)都與傳播方向垂直，即沿傳播方向的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量等于零，因此稱為T(mén)EM波；、和三者者互相垂直，且成右手螺旋。（2）電場(chǎng)與磁場(chǎng)的振幅之比為常數(shù)(η)，故只要求得電場(chǎng)就可求得磁場(chǎng)，即電場(chǎng)和磁場(chǎng)不僅有相同的波形，且在空間同一點(diǎn)具有同樣的相位。（3）在無(wú)耗媒質(zhì)中電磁波傳播的速度僅取決于媒質(zhì)參數(shù)本身，而與其它因素?zé)o關(guān)，因此可以說(shuō)，無(wú)耗媒質(zhì)就是無(wú)色散媒質(zhì)。（4）均勻平面波在無(wú)耗媒質(zhì)中以恒定的速度無(wú)衰減地傳播，在自由空間中其行進(jìn)的速度等于光速。無(wú)耗媒質(zhì)中傳播的均勻電磁波及電場(chǎng)、磁場(chǎng)與的關(guān)系

[例6-1]設(shè)自由空間中均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度為求：(1)傳播速度；

(2)波長(zhǎng)；(3)波的頻率；

(4)磁場(chǎng)強(qiáng)度的順時(shí)表達(dá)式；(5)平均坡印廷矢量。解:(1)自由空間中，波以光速傳播，所以

(2)

波長(zhǎng)為

(3)

波的頻率為

(4)

電場(chǎng)的復(fù)矢量表達(dá)式為

所以磁場(chǎng)強(qiáng)度的順時(shí)表達(dá)式為(5)

平均坡印廷矢量為

課堂練習(xí)：已知無(wú)界理想媒質(zhì)(ε=9ε0,μ=μ0，σ=0)中正弦均勻平面電磁波的頻率f=108Hz，電場(chǎng)強(qiáng)度，試求：

(1)均勻平面電磁波的相速度vp、波長(zhǎng)λ、相移常數(shù)k和波阻抗η；(2)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值表達(dá)式；(3)與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過(guò)的平均功率。解：(1)(2)（3）復(fù)坡印廷矢量：坡印延矢量的時(shí)間平均值：與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過(guò)的平均功率：無(wú)源、無(wú)界的導(dǎo)電媒質(zhì)中麥克斯韋第一方程的復(fù)數(shù)形式為

6.2無(wú)限大導(dǎo)電媒質(zhì)的均勻平面電磁波6.2.1復(fù)介電常數(shù)復(fù)介電常數(shù)虛部代表傳導(dǎo)電流的貢獻(xiàn)，將引起能量的損耗。實(shí)部代表位移電流的貢獻(xiàn)，它不引起功率損耗。根據(jù)傳導(dǎo)電流與位移電流的比值的大小將媒質(zhì)分為三類：在時(shí)變電磁場(chǎng)中，對(duì)材料性質(zhì)的劃分，不僅要考慮材料本身的電導(dǎo)率，還要考慮材料的介電常數(shù)以及工作頻率。傳導(dǎo)電流占優(yōu)勢(shì)，稱導(dǎo)體；位移電流占優(yōu)勢(shì)，稱絕緣體；介于兩者之間，稱半導(dǎo)體。損耗正切，反映引起能量損耗的傳導(dǎo)電流的相對(duì)大小，并用來(lái)說(shuō)明材料的損耗特性。

在微波頻率下，作為電介質(zhì)，其損耗正切一般不應(yīng)大于10-3數(shù)量級(jí)。損耗正切角

導(dǎo)電媒質(zhì)中的麥克斯韋方程與無(wú)耗媒質(zhì)中的麥克斯韋方程形式上完全相同，所不同的是前者為復(fù)介電常數(shù)，后者為實(shí)介電常數(shù)。因此只要用取代無(wú)耗媒質(zhì)的就可得導(dǎo)電媒質(zhì)的傳播特性。6.2.2無(wú)限大導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面波1.復(fù)相位常數(shù)：衰減常數(shù)：場(chǎng)強(qiáng)在單位距離上的衰減。表示傳播過(guò)程中衰減的快慢。相位常數(shù)：傳播過(guò)程中相位的變化。傳播常數(shù)

α、β都隨頻率的變化而變化，當(dāng)信號(hào)在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時(shí)，不同頻率的波有不同的衰減和相移。對(duì)于模擬信號(hào)來(lái)說(shuō)，帶寬為Δω的信號(hào)在前進(jìn)過(guò)程中其波形一直變化，當(dāng)信號(hào)到達(dá)目的地時(shí)發(fā)生了畸變，這將會(huì)引起信號(hào)的失真；而對(duì)于數(shù)字信號(hào)來(lái)說(shuō)，由于頻率越高衰減越大，使到達(dá)接收點(diǎn)的數(shù)字信號(hào)脈沖展寬，因此要降低誤碼必然要降低信號(hào)的傳輸速率，這必然會(huì)影響數(shù)字通信的帶寬和容量。在導(dǎo)電媒質(zhì)中，電磁波的相速不再是個(gè)常數(shù)，它不僅取決于媒質(zhì)參數(shù)，還與信號(hào)的頻率有關(guān)。電磁波的相速隨著頻率的變化而變化的現(xiàn)象稱為色散。導(dǎo)電媒質(zhì)為色散媒質(zhì)。相速為：2.復(fù)波阻抗：3.導(dǎo)電媒質(zhì)中場(chǎng)表達(dá)式：在無(wú)限大導(dǎo)電媒質(zhì)中的波是一個(gè)衰減的行波,簡(jiǎn)稱衰減波。衰減是由傳導(dǎo)電流引起的。衰減的快慢取決與α。電場(chǎng)和磁場(chǎng)不同相，存在一個(gè)相位差θ0。仍然是TEM波（右手螺旋）導(dǎo)電媒質(zhì)中平面電磁波的電磁場(chǎng)

對(duì)于弱導(dǎo)電媒質(zhì)有，此時(shí)電磁波的衰減很小且與頻率無(wú)關(guān)，相速也與頻率無(wú)關(guān)。因此弱電介質(zhì)可看成非色散媒質(zhì)。4.若媒質(zhì)為弱導(dǎo)電媒質(zhì)，即

【例6-2】某工作頻率為1.8GHz的均勻平面波在媒質(zhì)中傳播。設(shè)該區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度為。求：(1)傳播常數(shù)；(2)衰減常數(shù)；(3)波阻抗；

(4)相速；(5)平均坡印廷矢量。解：(1)電磁波的角頻率為傳播常數(shù)為

(2)衰減常數(shù)為

(3)復(fù)波阻抗：(4)相速：(5)電場(chǎng)的復(fù)矢量表達(dá)式為：故平均坡印廷矢量為由于，所以6.3導(dǎo)體中的均勻平面波、趨膚效應(yīng)1.導(dǎo)體中的均勻平面波的電磁場(chǎng)和平均坡印廷矢量

當(dāng)電磁波在電導(dǎo)率很大的良導(dǎo)體中傳播時(shí)，衰減常數(shù)一般很大，因此，電磁波在良導(dǎo)體中衰減很快，特別是當(dāng)頻率很高時(shí)，衰減更快。2.趨膚效應(yīng)

電磁波進(jìn)入良導(dǎo)體很小距離后，能量幾乎全部被衰減。高頻電磁波只集中在良導(dǎo)體的表面薄層，而在良導(dǎo)體內(nèi)部幾乎無(wú)高頻電磁波存在，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)。電磁波衰減到無(wú)意義

趨膚深度：導(dǎo)體中電磁波的電場(chǎng)振幅降為導(dǎo)體表面處振幅的時(shí)傳播的距離，記為因?yàn)椋?/p>

所以

導(dǎo)體的導(dǎo)電率越高，工作頻率越高，則趨膚深度越小。實(shí)際波透入后，其振幅降至以下，可認(rèn)為波消失了。例如：銅的電導(dǎo)率σ=5.8×107

S/m。當(dāng)工作頻率

3.表面電阻：導(dǎo)體表面的切向電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的比值。等于波阻抗導(dǎo)體表面阻抗隨工作頻率的升高急劇加大，因此，導(dǎo)體在高頻時(shí)的電阻遠(yuǎn)大于低頻時(shí)的電阻。----趨膚效應(yīng)造成趨膚效應(yīng)在工程中很有意義，如：電磁屏蔽、加熱淬火、高頻時(shí)用多股線或同軸線來(lái)代替單導(dǎo)線、高頻器件表面鍍導(dǎo)電率高的材料（金、銀等）。

例1海水的電磁參數(shù)是εr=81,μr=1,σ=4S/m，頻率為3kHz和30MHz的電磁波在緊切海平面下側(cè)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為1V/m，求：

(1)電場(chǎng)強(qiáng)度衰減為1μV/m處的深度，應(yīng)選擇哪個(gè)頻率進(jìn)行潛水艇的水下通信；

(2)頻率3kHz的電磁波從海平面下側(cè)向海水中傳播的平均功率流密度。解：(1)f=3kHz時(shí)：

故海水對(duì)于在3kHz頻率傳播的電磁波呈顯為良導(dǎo)體。衰減常數(shù)為電場(chǎng)強(qiáng)度衰減為1μV/m處的深度為同理可得：

f=30GHz時(shí)故海水對(duì)于在30GHz頻率傳播的電磁波呈顯為半導(dǎo)體。電場(chǎng)強(qiáng)度衰減為1μV/m處的深度為

由此可見(jiàn)，選高頻30MHz的電磁波衰減較大，應(yīng)采用低頻3kHz的電磁波。在具體的工程應(yīng)用中，具體低頻電磁波頻率的選擇還要全面考慮其它因素。同理可得：

f=30GHz時(shí)故海水對(duì)于在30GHz頻率傳播的電磁波呈顯為半導(dǎo)體。則衰減常數(shù)為(2)平均功率流密度為

例2微波爐利用磁控管輸出的2.45GHz的微波加熱食品。在該頻率上，牛排的等效復(fù)介電常數(shù)ε′=40ε0，tanδe=0.3，求：

(1)微波傳入牛排的趨膚深度δ，在牛排內(nèi)8mm處的微波場(chǎng)強(qiáng)是表面處的百分之幾；

(2)微波爐中盛牛排的盤(pán)子是用發(fā)泡聚苯乙烯制成的，其等效復(fù)介電常數(shù)和損耗角正切為ε′=1.03ε0，tanδe=0.3×10-4。說(shuō)明為何用微波加熱時(shí)牛排被燒熟而盤(pán)子并沒(méi)有被燒毀。

解：(1)根據(jù)牛排的損耗角正切知，牛排為不良導(dǎo)體，

(2)發(fā)泡聚苯乙烯是低耗介質(zhì)，所以其趨膚深度為

例3證明均勻平面電磁波在良導(dǎo)體中傳播時(shí)，每波長(zhǎng)內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)的衰減約為55dB。

證：良導(dǎo)體中衰減常數(shù)和相移常數(shù)相等。因?yàn)榱紝?dǎo)體滿足條件，所以。設(shè)均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為那么z=λ處的電場(chǎng)強(qiáng)度與z=0處的電場(chǎng)強(qiáng)度振幅比為

例4已知海水的電磁參量σ=51Ω·m，μr=1,εr=81，作為良導(dǎo)體欲使90％以上的電磁能量(僅靠海水表面下部)進(jìn)入1m以下的深度，電磁波的頻率應(yīng)如何選擇。解：對(duì)于所給海水，當(dāng)其視為良導(dǎo)體時(shí)，其中傳播的均勻平面電磁波為式中良導(dǎo)體海水的波阻抗為

因此沿+z方向進(jìn)入海水的平均電磁功率流密度為

故海水表面下部z=l處的平均電磁功率流密度與海水表面下部z=0處的平均電磁功率流密度之比為依題意

考慮到良導(dǎo)體中衰減常數(shù)與相移常數(shù)有如下關(guān)系：

6.4電磁波的極化極化：傳播方向上任一固定點(diǎn)處的電場(chǎng)矢量端點(diǎn)隨時(shí)間變化所描繪的軌跡?；螂姶挪妶?chǎng)在空間的取向。分類：分為線極化、圓極化和橢圓極化三種。導(dǎo)線感應(yīng)信號(hào)為零導(dǎo)線感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最強(qiáng)電磁波的電場(chǎng)在空間的取向是很重要的一個(gè)問(wèn)題。6.4.1線極化波

設(shè)有一電磁波沿+z方向傳播，其電場(chǎng)有兩個(gè)正交的分量Ex和Ey，相位相等，它們的表達(dá)式為

為方便，在z=0的平面上觀察，則合成電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的模為它與x軸正向夾角θ為

合成電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的方向與x軸所成的夾角θ不隨時(shí)間而變化，所以，的矢端軌跡為一條直線，故稱為線極化。線極化波

兩正交分量同相兩正交分量反相6.4.2圓極化

其合成電場(chǎng)的大小為：

設(shè)有一電磁波沿+z方向傳播，其電場(chǎng)有兩個(gè)正交的分量Ex和Ey，幅度相等且相位相差90o，它們的表達(dá)式為它與x軸正向夾角θ的正切為

在z=0的平面來(lái)觀察電場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度與x軸所成的夾角為。

合成電場(chǎng)的方大小不隨時(shí)間變化，而其方向與x軸的夾角θ隨時(shí)間而變化，所以其矢端軌跡為一個(gè)圓，故稱為圓極化。滯后90o,右旋圓極化波超前90o,左旋圓極化波一個(gè)圓極化波可分解為兩個(gè)正交、等幅且相位差90o的線極化波。

6.4.3橢圓極化波

設(shè)沿+z軸傳播電磁波電場(chǎng)的兩個(gè)正交的分量Ex和Ey關(guān)系為一般情況時(shí)，它們的表達(dá)式為其合成電場(chǎng)的大小為：它與x軸正向夾角θ的正切為：

合成電場(chǎng)的矢端軌跡為一個(gè)橢圓，故稱為橢圓極化。橢圓極化

分右旋橢圓極化波和左旋橢圓極化波。當(dāng)橢圓的長(zhǎng)軸與短軸相等時(shí)即為圓極化波；當(dāng)短軸縮短到零時(shí)即為線極化波。

圓極化波和線極化波都是橢圓極化波的特例。電磁波的極化特性在工程中應(yīng)用

1.

水平極化：電場(chǎng)矢量平行于大地平面；

垂直極化：電場(chǎng)矢量垂直于大地平面。一個(gè)平行于地面放置的線天線所產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)是平行于地面水平極化波。例如：電視信號(hào)的發(fā)射通常采用水平極化方式，故電視接收天線應(yīng)調(diào)整到與地面平行，使其極化狀態(tài)與所接收波的極化狀態(tài)匹配，以獲得最佳接收效果。------電視公用天線的架設(shè)；一個(gè)垂直于地面放置的線天線所產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)是垂直于地面垂直極化波。例如：調(diào)幅電臺(tái)發(fā)射的遠(yuǎn)區(qū)電磁波的電場(chǎng)是垂直極化波，故聽(tīng)眾要獲得最佳收聽(tīng)效果，就應(yīng)將天線調(diào)整到與地面垂直。

2.

一個(gè)線極化可分解為兩個(gè)振幅相等、旋向相反的圓極化波，所以不同取向的線極化波都可由圓極化天線收到，因此在雷達(dá)、導(dǎo)航、制導(dǎo)、通信和電子對(duì)抗領(lǐng)域廣泛采用圓極化波。

【例6-3】若某

區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度為，試確定波的極化。解：電場(chǎng)的兩個(gè)分量在時(shí)域中的表達(dá)式為在z=0的平面上因此，為橢圓極化波。確定旋轉(zhuǎn)方向：選擇ωt=0、π/2計(jì)算電場(chǎng)值。Ex

在+x軸；

因此旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針，波為左旋橢圓極化波。Ey在-y軸；

例1證明任一線極化波總可以分解為兩個(gè)振幅相等旋向相反的圓極化波的疊加。解：假設(shè)線極化波沿+z方向傳播(不失一般性)，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量平行于x軸，則左旋圓極化波右旋圓極化波例2判斷下列平面電磁波的極化形式：

Ex和Ey振幅相等，且Ex相位滯后Ey相位π/2，電磁波沿+z方向傳播，故為右旋圓極化波。解：(1)電場(chǎng)的兩個(gè)在時(shí)域中表達(dá)式為

Ex和Ey反相，故為二、四象限的線極化波。(2)電場(chǎng)的兩個(gè)在時(shí)域中表達(dá)式為

Ex和Ey振幅不等，且Ex相位超前Ey相位π/2，電磁波沿+z方向傳播，故為右旋橢圓極化波。(3)電場(chǎng)的兩個(gè)在時(shí)域中表達(dá)式為

例3電磁波在真空中傳播，其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為試求：(1)工作頻率f;(2)

磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式；(3)坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值；(4)此電磁波是何種極化，旋向如何。

解：(1)真空中傳播的均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為所以有

其瞬時(shí)值為

(2)磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為

磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值為

(3)坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值為

(4)

此均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量在x方向和y方向的分量振幅相等，且x方向的分量比y方向的分量相位滯后π/2，故為右旋圓極化波。6.5電磁波的色散和群速

單頻率的正弦波是不能攜帶任何信息的。任何實(shí)際的信號(hào)總是由許許多多的頻率成分組成，即占有一定的頻帶寬度。無(wú)耗媒質(zhì)是非色散媒質(zhì)。在非色散媒質(zhì)中，相速只取決于媒質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，而與頻率無(wú)關(guān)，因此相速代表電磁波傳播的速度。導(dǎo)電媒質(zhì)是色散媒質(zhì)，不同的頻率有不同的相速。電磁波的傳播速度？群速良導(dǎo)體中的相速為

設(shè)有兩個(gè)振幅均為Am，頻率為和的電磁波，沿+z方向傳播，在色散媒質(zhì)中，它們對(duì)應(yīng)的相位常數(shù)是和，其表達(dá)式為合成波：合成波振幅是受調(diào)制的。這個(gè)按余弦變化的調(diào)制波稱為包絡(luò)波。

群速(GroupVelocity)vg的定義是包絡(luò)波上某一恒定相位點(diǎn)推進(jìn)的速度。令調(diào)制波的相位為常數(shù)：圖6-13群速與相速

群速與相速的關(guān)系，則相速與頻率無(wú)關(guān)，vg<vp，這類色散稱為無(wú)色散；(2)，則頻率越高相速越小，vg<vp，這類色散稱為正常色散；

(3)，則頻率越高相速越大，vg>vp，這類色散稱為非正常色散。6.6均勻平面電磁波向平面分界面的垂直入射

平行電磁波在均勻、線性、各向同性的無(wú)限大的媒質(zhì)中傳播時(shí)，只存在沿一個(gè)方向傳輸?shù)男胁ā?shí)際中，電磁波在傳輸過(guò)程中遇到不同媒質(zhì)的分界面、遇到各種障礙物等。不同媒質(zhì)分界面為平面時(shí)電磁波的運(yùn)動(dòng)規(guī)律？電磁波即要在邊界面兩側(cè)的媒質(zhì)中滿足麥克斯韋方程，又要滿足分界面上的邊界條件。圖6-14平面波垂直入射于平面邊界媒質(zhì)1媒質(zhì)2入射波透射波反射波

z=0為兩種媒質(zhì)的分界面。電磁波傳播如圖示。在媒質(zhì)1中，電磁場(chǎng)為入射波和反射波的疊加，媒質(zhì)2中，只有沿+z方向傳輸?shù)男胁ā?/p>

設(shè)入射波電場(chǎng)為x軸取向的線極化波，在媒質(zhì)1中的傳播常數(shù)為，波阻抗為，則其電場(chǎng)和磁場(chǎng)表達(dá)式為反射波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)為媒質(zhì)1中合成電場(chǎng)和磁場(chǎng)為若媒質(zhì)2中的傳播常數(shù)為，波阻抗為，則其電場(chǎng)和磁場(chǎng)表達(dá)式為應(yīng)用z=0的邊界條件最后確定各媒質(zhì)中的場(chǎng)。6.6.1理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體的分界面

由于理想導(dǎo)體中不存在電磁場(chǎng)，即媒質(zhì)1中的電磁場(chǎng)為：媒質(zhì)1為理想介質(zhì)媒質(zhì)2理想導(dǎo)體其中：應(yīng)用邊界條件，在z=0的邊界上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)，得反射系數(shù)(R)：分界面處反射波電場(chǎng)與入射波電場(chǎng)的比值。透射系數(shù)(T)：分界面處透射波電場(chǎng)與入射波電場(chǎng)的比值。全反射當(dāng)電磁波垂直入射到理想導(dǎo)體表面時(shí)，電磁波全部被反射。媒質(zhì)1中的合成場(chǎng)為：電磁波經(jīng)理想導(dǎo)體全反射空間電磁場(chǎng)的特征：（1）由入射波和反射波合成的電場(chǎng)和磁場(chǎng)在空間仍然垂直；（2）電場(chǎng)和磁場(chǎng)在時(shí)間上有90o的相位差，即電場(chǎng)最大時(shí)磁場(chǎng)為零，磁場(chǎng)最大是電場(chǎng)為零，其平均坡印廷矢量等于零。故駐波只是電磁能量的振蕩，而沒(méi)有能量的傳輸。（3）合成場(chǎng)的振幅隨距離z按正弦規(guī)律變化，形成駐波。電場(chǎng)波節(jié)點(diǎn)：處電場(chǎng)的幅值為零；電場(chǎng)波腹點(diǎn)：處電場(chǎng)的幅值為最大；

磁場(chǎng)的波節(jié)點(diǎn)和波腹點(diǎn)位置正好和電場(chǎng)相反。駐波：波節(jié)點(diǎn)和波腹點(diǎn)的位置固定不動(dòng)的波。理想導(dǎo)體電磁場(chǎng)駐波振幅分布6.6.2兩種理想電介質(zhì)分界面

兩種媒質(zhì)均為理想介質(zhì)，即。在媒質(zhì)1中的傳播常數(shù)為，波阻抗為，則其電場(chǎng)和磁場(chǎng)表達(dá)式為若媒質(zhì)2中的傳播常數(shù)為，波阻抗為，則其電場(chǎng)和磁場(chǎng)表達(dá)式為在z=0的邊界上電場(chǎng)和磁場(chǎng)的切向分量連續(xù)，得故分界面處的反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為：則有：媒質(zhì)1中的總場(chǎng)為結(jié)論：（1）媒質(zhì)1中存在入射波和反射波兩部分。由于始終有，入射波的振幅總是大于反射波。如果將入射波分成兩部分：一部分入射波電場(chǎng)的振幅等于反射波電場(chǎng)的振幅，則兩者疊加形成駐波；而入射波另一部分仍為行波。所以，媒質(zhì)1中的波是駐波與行波之和，稱為行駐波。在行駐波情況下，電磁場(chǎng)在空間振幅分布有極大值和極小值，極大值點(diǎn)稱為波腹點(diǎn)；極小值點(diǎn)稱為波節(jié)點(diǎn)。波腹點(diǎn)的值不等于原入射波成分的兩倍，波節(jié)點(diǎn)不為零。電場(chǎng)的波節(jié)點(diǎn)和波腹點(diǎn)位置仍與磁場(chǎng)相反。（2）若，R為正，說(shuō)明在分界面上反射波電場(chǎng)與入射波電場(chǎng)同相，則在界面上必定出現(xiàn)電場(chǎng)波腹點(diǎn)；反之，，R為負(fù)，說(shuō)明在分界面上反射波電場(chǎng)與入射波電場(chǎng)反相，則在界面上必定出現(xiàn)電場(chǎng)波節(jié)點(diǎn)。（3）在媒質(zhì)2中，只有透射波一種成分，故媒質(zhì)2中傳播的仍為行波。

【例6-4】平面電磁波在的媒質(zhì)1中沿+z方向傳播，在z=0處垂直入射到的媒質(zhì)2中。若來(lái)波在分界面處的最大值為0.1V/m，極化為+x方向，角頻率為300Mrad/s，求：（1）反射系數(shù)；（2）透射系數(shù)；（3）寫(xiě)出媒質(zhì)1和媒質(zhì)2中電場(chǎng)的表達(dá)式。解：媒質(zhì)1和媒質(zhì)2中的傳播常數(shù)分別為波阻抗分別為（1）反射系數(shù)為（2）透射系數(shù)；（3）寫(xiě)出媒質(zhì)1和媒質(zhì)2中電場(chǎng)的表達(dá)式。行波行駐波

例1一右旋圓極化波由空氣向一理想介質(zhì)平面(z=0)垂直入射，坐標(biāo)與圖6-13相同，媒質(zhì)的電磁參數(shù)為ε2=9ε0，ε1=ε0，μ1=μ2=μ0。試求反射波、透射波的電場(chǎng)強(qiáng)度及相對(duì)平均功率密度；它們各是何種極化波。解：設(shè)入射波電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為則反射波和透射波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為

例1圖式中反射系數(shù)和透射系數(shù)為

例2頻率為f=300MHz的線極化均勻平面電磁波，其電場(chǎng)強(qiáng)度振幅值為2V/m，從空氣垂直入射到εr=4、μr=1的理想介質(zhì)平面上，求：(1)反射系數(shù)、透射系數(shù)、駐波比；(2)入射波、反射波和透射波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)；(3)入射功率、反射功率和透射功率。

(1)波阻抗為反射系數(shù)、透射系數(shù)和駐波比為

解：設(shè)入射波為x方向的線極化波，沿z方向傳播，如圖例1。

(2)入射波、反射波和透射波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)(3)入射波、反射波、透射波的平均功率密度為

例3為了保護(hù)天線，在天線的外面用一理想介質(zhì)材料制作一天線罩。天線輻射的電磁波頻率為4GHz，近似地看作均勻平面電磁波，此電磁波垂直入射到天線罩理想介質(zhì)板上。天線罩的電磁參數(shù)為εr=2.25,μr=1，求天線罩理想介質(zhì)板厚度為多少時(shí)介質(zhì)板上無(wú)反射。解：因?yàn)?/p>

所以，理想介質(zhì)板中的電磁波波長(zhǎng)

天線罩兩側(cè)為空氣，故天線罩的最小厚度應(yīng)為6.7均勻平面電磁波對(duì)平面邊界的斜入射

斜入射：電磁波以任意角度入射到分界面。

入射平面：入射波射線與分界面（z=0）的法線所組成的平面。----為描述入射波極化而定義。若電場(chǎng)矢量平行于入射平面，稱為平行極化；若電場(chǎng)矢量垂直于入射平面，稱為垂直極化。6.7.1在介質(zhì)—理想導(dǎo)體分界面的斜入射設(shè)媒質(zhì)1為線性、各向同性、均勻的理想電介質(zhì)，媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體。現(xiàn)有一平面波沿方向傳播。與分界面的單位法線的夾角為，稱為入射角。由于電磁波不能進(jìn)入理想導(dǎo)體，因此不管是平行極化還是垂直極化，當(dāng)它入射到理想導(dǎo)體表面時(shí)都將被全反射，即。設(shè)反射波的傳播方向?yàn)?，它與單位法線的夾角為，稱為反射角。

1.平行極化波

在介質(zhì)-導(dǎo)體分界面平行極化波斜入射

媒質(zhì)1媒質(zhì)2

入射波和反射波的電場(chǎng)可表示為：其中，媒質(zhì)1中的總電場(chǎng)和磁場(chǎng)為：

根據(jù)理想導(dǎo)體表面切向電場(chǎng)為零的邊界條件：

上式對(duì)所有x成立，必有

入射角等于反射角---斯涅爾定律；入射波和反射波的電場(chǎng)振幅相等，即。由此可得出理想介質(zhì)中任意點(diǎn)的電場(chǎng)、磁場(chǎng)分量為平行極化波斜入射到理想表面時(shí)，有（1）在理想導(dǎo)體表面，平行極化波將會(huì)全反射，且反射系數(shù)；（2）在垂直分界面的方向（z軸方向）上，合成波的場(chǎng)量是駐波；（3）在平行于分界面的方向（x軸方向）上，合成波的場(chǎng)量是行波，它的相速為式中是入射波沿方向的相速。（4）合成波的等振幅面垂直于z軸，而波的等相位面垂直于x軸，故它是非均勻平面波。（5）當(dāng)時(shí)，，因此若在處插入一導(dǎo)體板，將不會(huì)改變其場(chǎng)分量。這個(gè)理想導(dǎo)體板與z=0處的理想導(dǎo)體構(gòu)成了所謂的平行板波導(dǎo)；（6）由于沿電磁波傳播方向（x軸方向）不存在磁場(chǎng)分量(),因此稱這種波為橫磁波簡(jiǎn)稱TM波。2.垂直極化波

在介質(zhì)-導(dǎo)體分界面垂直極化波斜入射

媒質(zhì)1媒質(zhì)2

入射波電場(chǎng)垂直于入射面，即入射波電場(chǎng)和反射波電場(chǎng)只有分量，而磁場(chǎng)有和分量。用平行極化波的分析方法類似，的得到媒質(zhì)1中總的電場(chǎng)和磁場(chǎng)：根據(jù)理想導(dǎo)體表面切向電場(chǎng)為零的邊界條件：

上式對(duì)所有x成立，必有

入射角等于反射角---斯涅爾定律；入射波和反射波的電場(chǎng)等幅反相，即。由此可得出理想介質(zhì)中任意點(diǎn)的電場(chǎng)、磁場(chǎng)分量為平行極化波斜入射到理想表面時(shí)，有（1）在理想導(dǎo)體表面，垂直極化波也會(huì)全反射，且反射系數(shù)；（2）在垂直分界面的方向（z軸方向）上，合成波的場(chǎng)量是駐波；（3）在平行于分界面的方向（x軸方向）上，合成波的場(chǎng)量是行波，它的相速為式中是入射波沿方向的相速。（4）合成波的等振幅面垂直于z軸，而波的等相位面垂直于x軸，故它是非均勻平面波。（5）當(dāng)時(shí)，，因此若在處插入一導(dǎo)體板，將不會(huì)改變其場(chǎng)分量。這個(gè)理想導(dǎo)體板與z=0處的理想導(dǎo)體構(gòu)成了所謂的平行板波導(dǎo)；（6）由于沿電磁波傳播方向（x軸方向）不存在電場(chǎng)分量(),因此稱這種波為橫電波簡(jiǎn)稱TE波。6.7.2在介質(zhì)—介質(zhì)分界面的斜入射

設(shè)兩種媒質(zhì)均為理想媒質(zhì)。不論是平行極化波還是垂直極化波，當(dāng)電磁波沿方向從媒質(zhì)1入射到兩種媒質(zhì)的分界面時(shí)，一部分被反射，反射波沿方向傳播；另一部分透射到媒質(zhì)2中，透射波沿方向傳播，透射線與反射面法線的夾角稱為透射角。1.平行極化波

在介質(zhì)-介質(zhì)分界面平行極化波斜入射

媒質(zhì)1媒質(zhì)2

設(shè)媒質(zhì)1和媒質(zhì)2的傳播常數(shù)和波阻抗分別為：媒質(zhì)1中的總電場(chǎng)和磁場(chǎng)為：

媒質(zhì)2中的總電場(chǎng)和磁場(chǎng)為：

在z=0的分界面上，電場(chǎng)切向分量連續(xù)：

上式對(duì)所有x成立，必有

斯涅爾定律折射定律入射角等于反射角（6-7-24）

一般介質(zhì)的磁導(dǎo)率接近與自由空間的磁導(dǎo)率，即