帶有時(shí)滯的Holling Ⅲ-Leslie型捕食-食餌系統(tǒng)的Hopf分支

1、帶有時(shí)滯的Holling A-Leslie型捕食-食餌系統(tǒng)的Hopf分支摘 要：研究了帶有時(shí)滯的捕食者數(shù)量反應(yīng)的Holling A-Lesile)捕食-食餌系統(tǒng)，運(yùn)用定性分析的方法得到害=0 時(shí)正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定的條件以時(shí)滯為分支參數(shù),通過對(duì)系統(tǒng)特征方程的討論得到正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及正平衡點(diǎn)附 近產(chǎn)生Hopf分支的條件,通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論的正確性%關(guān)鍵詞：捕食-食餌系統(tǒng)；時(shí)滯；Holling A)功能反應(yīng)；Hopf分支在研究華盛頓州果樹上捕食4與果樹4之間關(guān)系 的過程中,WOLLKIND等發(fā)現(xiàn)食餌發(fā)生變化時(shí)捕食 者也發(fā)生變化&在研究過程中，他們采用了 MAY】1%給 出的生態(tài)系統(tǒng)dxdtx,x

2、(1)-k2mx yax2 + bx +1半=sy (1 -戶),.dt hx(2)(1)P(x(1)P(x) =2mx yax + bx +1(3)dxx武 rx(l - -y (s -二),hx其中，x(t)和y(t)分別為t 0時(shí)食餌和捕食者的種群 密度，！為食餌種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率,為環(huán)境的承載能 力,蘭為L(zhǎng)eslie型捕食者的數(shù)量反應(yīng),p(x)為捕食者 hx的功能反應(yīng)函數(shù)&LI等%研究了 Holling A型捕食-食餌系統(tǒng)&在此基礎(chǔ)上，王艷霜等$ %研究了功能反應(yīng)函數(shù)為 mx2 (t)P(x) = 2/ Holling A 型系統(tǒng) & HUANG 等b + x (t)研究了具有廣義Hol

3、ling A型功能反應(yīng)mU (t)2ax (t) + bx(t) +1的Leslie型捕食者-食餌系統(tǒng)，得到了該系統(tǒng)存在次 臨界Hopf分支的條件和b 2a時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性& DAI 其中，x(0) 0, y(0) 0, r 0, k 0, m 0, a 0,1s 0, h 0, b -la2 o近年來，食餌與捕食者之間的動(dòng)力學(xué)行為越來越 受到人們的關(guān)注$8如,一些學(xué)者捋%研究了帶有時(shí)滯的 Holling IHolling K、Holling A 和 Holling A 型功能反 應(yīng)的種群系統(tǒng)，并取得了一些有價(jià)值的成果&在此基礎(chǔ) 上,我們考慮了帶有單時(shí)滯的Holling A-Leslie型捕 食

4、-食餌的兩種群系統(tǒng)臣=rx(1 - )-dtkVdy_ * y(tA 丁=ys(1 _),dthx(t -1)其中， x(0) 0, y(0) 0, r 0, k 0, m 0, a 0,1s 0, h 0, b -la2 o由于以上參數(shù)都是正數(shù),從生態(tài)學(xué)的意義考慮，(們只討論系統(tǒng)在第一象限的情況&_x m令 T = rt, x =, y = y, t = rt,為了 描述上的方便，仍記為tx-y和t ,于是系統(tǒng)(3)可表示為 系統(tǒng)dxx 2 y了- x(1 - x)2-dtx + ex + dVdyd b y(t -dtx(t t)e 一 b d 一土 d 一 s b 一 ask_其中 e

5、一 ak 一 ak2, d 一 r,b - hm。下面研究系統(tǒng)(4)正平衡點(diǎn)的存在性、穩(wěn)定性和Hopf分支存在的條件，并進(jìn)行數(shù)值模擬&1正平衡點(diǎn)的性態(tài)引理1網(wǎng):系統(tǒng)(4)的解是非負(fù)有界的，即對(duì)于系 統(tǒng)(4)的任一解(x(t),y(t),存在T 0，使得t T時(shí)， 有 0 x(t) 1 和 0 y(t) 1 - e時(shí)，系統(tǒng)有唯一的正平衡 點(diǎn) E (x(), yQ。證明：設(shè)E(x,y)為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，則有 1”=。， x + ex + dVdy0 - b x0 o(5)將式(5)中的第2個(gè)式子代入第1(5)將式(5)中的第2個(gè)式子代入第1個(gè)式子，有 d x21 - x0-*。，即乂0 + d +e

6、 & )x0 +b (x + ex + d)(d 一 e)b工0 - db = 0。令 f (x) = bx + (d + b b )x2+ (d- b) x bd , 則有 f (x) = 3bx2 + 2(d + cb -b )x+ (d- b = d +eb b 2 b b3(d 位)23 b (x +)-3bd + eb b bo-(穿+(p)31當(dāng)(1 - e)b d 0時(shí)，有f(x) 0,因而f (x)在(0,1)內(nèi)有唯 一的正根x,且1 1x0 = (-時(shí)+ ( - J2 尹d由式(5)可知y 0 = b x 0p = d-e-)2, q = A(.3 b27(d 一 e)(d+

7、 eg。)3b由以上推導(dǎo)過程可知3b由以上推導(dǎo)過程可知,E(xo,yo)為系統(tǒng)(4)的唯一正平衡點(diǎn)&定理2：當(dāng)d 1 -e時(shí)，正平衡點(diǎn)E(x0,y0)是穩(wěn)定 的，并且是全局漸近穩(wěn)定的&證明：當(dāng)t = 0時(shí)，系統(tǒng)(4)在E(x,y)處的Jacobian 矩陣為1 _ 2x _ (ex0 + 2d)x0 y(x0 + ex0 + d )2x0 + cxq + dd2-2x： +(e)x& dx0 + ex + dd2x0 x0 + ex。+ d-2x0 + (1 - e- d)-2x0 + (1 - e- d)x2 edxd+1 d)otr(J (E)=令 M (x) = -2x3 + (1- &

8、 d)x2 e(dx d(1 d), 對(duì)M(x)求x的導(dǎo)數(shù)，可得M(x) = 一6x2+ 2(1- & d)x edo因?yàn)閐1-e,所以對(duì)于任意的正數(shù)！，有M(x) 0時(shí)，有M(x) 0,所以， 有tr(J(E) 0 時(shí)，有N(x) 0, 所以N(x)為單調(diào)遞增函數(shù)&又因?yàn)镹(0)-db 0, 所以當(dāng)x 0時(shí)，有N(x) 0。因?yàn)閤 0 時(shí)，有 x2 + ex + d 0,所以 Det(J(E) 0。Tr(J(E) 0,由此可知 E(x0,y0)是穩(wěn)定的&令 B(x y) - / + ex + d P(x y)-x2y是穩(wěn)定的&令 B(x, y) 一 xy2P(x, y) 一 日石車丁x(1

9、- x), Q(x, y)- y& bZ,則有+ - xdxdy(xy 2)T-2 x3+ (1- & d) x2 dd-x + (1 d- )(：)o xy因?yàn)閤 0, y 0,所以有M(x) 0, B(x, y) 0,y 0時(shí)，系統(tǒng)(4)不存在極限環(huán)，因而E(x,y)是全局漸近穩(wěn)定的。2正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及Hopf分支的存在性 當(dāng)(1 - c)p 8 3(d c)2 (臺(tái) 1pp 成立時(shí), 因?yàn)閠豐0不改變系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，所以系統(tǒng)(4)存在唯 一的正平衡點(diǎn)令照)=x(t)-X0,地)=y(t)仍將照)和%)記為x(t)和y(t)，于是有系統(tǒng)dx了二(x(t) + x0)(1 - x(t)- x

10、0) dt2(x(t) + x0)(y(t) + y)(x(t) + x) + c( x(t) + x) + ddy,v8 p y(t -t)+ y。=(y(t)+ y)(8 -p dtx(t -1)+系統(tǒng)(6)在(0,0)點(diǎn)的線性化系統(tǒng)為dx=m1x(t) + 勿2 y(t),dt dy=m3 x(t 一 t)+y(t- t),_ dt*_工，(c x0+ 2d) x0 y。其中，mi =1 -2x0- , m=-(x + cx：0 + d)oX + cxoX + cx0 + d定理 3：當(dāng)(1 -c)P 5 (3(d- c)2-+ m4 0成立時(shí)，存在正數(shù)%,對(duì)于系 統(tǒng)(6),有以下結(jié)論：

11、當(dāng)0 T t時(shí)，系統(tǒng)(6)的解(0, 0)是不穩(wěn)定的%當(dāng) dRe(1t) 2 0 時(shí),系統(tǒng)(6)在 t = t 處dt0產(chǎn)生Hopf分支證明：系統(tǒng)(7)對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為12 - (m + m41 + 伽曲4 - m?m3)= 0O(9)當(dāng) mi + m4 0 成立時(shí),方程(9) 有兩個(gè)根,且都有負(fù)實(shí)部，此時(shí)系統(tǒng)(6)的平衡點(diǎn)(0,0) 是局部漸近穩(wěn)定的當(dāng)t豐0時(shí)，將1 = iw代入式子(8)中，可得 一w2 一 mwsint = - (mm反 mm)ct , TOC o 1-5 h z 0-mw 0 - (m】m4 mm3)其中 k = 0,1, 2L。設(shè)1 (t) =ati ) +Wt (

12、)為方程(8)的根，且有 a(t)=。,仞() = 。下面驗(yàn)證橫截條件，在方程 (8)兩邊求t的導(dǎo)數(shù)，可得d11m, - (mm- m2m3)exp(t )dt 21 - m1+ t m1 -m4)exp(t )于是，有 =21 - m1+ t ml - (mm m2m3-) m4)exp(t ) _-(勿勿4一 勿2勿3 )exp(t )21 - m1勿4九-(勿勿4 -勿2勿3 ) exp(-1 )t-1 (勿4八(mm4 勿2勿3) 1-m21-m21exp(1r )，-m2=0,sign(Re()+- (m1m4- mm3) exp-( t )-勿4Re()tt =1m1 - (mm4

13、 m.m,)01 - m】-m3 exp 1t)則有系統(tǒng)(7)的特征方程1 - m】-m3 exp t) 1 -經(jīng)過化簡(jiǎn)，可得12 -1 (m】+ m4 exp(-t )+ (m1m4-m2m3)exp(-1) = 0O(8)當(dāng)t = 0時(shí)，特征方程(8)變?yōu)閟ign(dRedt(t)t=t = sign(Re(!P)T 1121 - mRe()tt =-1m 或-(mm m2 m3)021 - misignRe( -1(11 - m1)+m4sign(m)=W2W 0 + m2) m2 ； + (mm -mm3)2sign()y)=m4 W0 + (mm - m2m3)延n(2功+呻：_成；

14、)=W2 m 4 0 + (mm -勿2勿3 )2 延n(/ +(m1m4 一 m2m3)2) 0。(O2m 0 + (m1m4 -m2m3)2由以上推導(dǎo)過程可知，當(dāng)t %時(shí)，特征方程(8)的根均有正實(shí)部，因此能在W= W07 = 0處產(chǎn)生Hopf分支。3數(shù)值模擬為了驗(yàn)證結(jié)論的正確性，考慮系統(tǒng)21F，x + cx + d=y8 -b )ox(t -1)對(duì)于# = 0 的情形，取 C = 1, d = 0.002, S = 1.5, b = 1.6，初始值為(0.5, 0.1),利用數(shù)學(xué)軟件Matlab進(jìn) 行數(shù)值模擬，可得如圖1所示的結(jié)果$從圖1可以看 出，系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)E是局部漸近穩(wěn)定的$(a)變量隨時(shí)間#的變化情況(C)變量與變量$的關(guān)系(b)變量$隨時(shí)間/的變化情況 圖1 t = 0時(shí)的模擬結(jié)果對(duì)于t豐0的情形，取c = 1, d = 1, S = 1, b = 1, 初始值為(0.5，0.1 )$當(dāng)t = 0.8 t0時(shí),模擬結(jié)果見