數(shù)學(xué)16微積分基本定理(教案)

1、牛頓-萊布尼茲公式 求簡(jiǎn)單的定積分v(t) 牛頓-萊布尼茲公式 求簡(jiǎn)單的定積分v(t) oT1,T v(t)dtT ,T 上的增量 ST S(T2) 來表達(dá)，(t)dt S(T ) S(T2)f (x) F (x) f (x)(x) ( ) F() f (x)- =Cx a ( )aF(a) F(x) (x)+F(a)= - =x b，有 f (x)dx F(b) F(a)(x) |ba21 2 1)=xaaba表示 ，即內(nèi)經(jīng)過的路程 可用速度函數(shù)表示為1f t dtF(b) F(a)T1一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)通過實(shí)例，直觀了解微積分根本定理的含義，會(huì)用過程與方法通過實(shí)例體 會(huì)用微積分根本

2、定理求定積分的方法情感態(tài)度與價(jià)值觀通過微積分根本定理的學(xué)習(xí)，體會(huì)事物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn) 通過探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分根本 定理的含義，并能正確運(yùn)用根本定理計(jì)算簡(jiǎn)單的定積分。難點(diǎn) 了解微積分根本定理的含義三、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí) ：定積分的概念及用定義計(jì)算2、引入新課我們講過用定積分定義計(jì)算定積分 ,但其計(jì)算過程比擬復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法，也是比擬一般的方法。設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)， 在時(shí)刻 t 時(shí)物體所在位置為 S(t), 速度為 v(t)

3、，T2那么物體在時(shí)間間隔 。另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù) St在即T2T1而S(t) v(t) 。對(duì)于一般函數(shù) f (x) ，設(shè) F (x) f (x)，是否也有假設(shè)上式成立，我們就找到了用 的原函數(shù) 即滿足 的數(shù)值差F(b) F(a)來計(jì)算 f () 在a,b上的定積分的方法。注：1：定理 如果函數(shù) F(x)是a,b 上的連續(xù)函數(shù) f (x) 的任意一個(gè)原函數(shù)，那么證明：因?yàn)?= f t dt與 都是F(x) (x) a x b其中 C為某一 常數(shù)。令 得 F(a) - (a)=C，且 (a)= =0 即有 C= ，故 =x(x) F(x) F() f (tdt令此處并不要求學(xué)生理解

4、證明的過程為了方便起見，還常用 F例 1計(jì)算以下定積分：2 3x x2(ln x)2x2x x2(2x )dx 2xdx dx2 3x x2(ln x)2x2x x2(2x )dx 2xdx dx1 221 121x dx x |1 1 03=2 20( cosx) sin x，sinxdxsin xdxsin xdx ( cosx)|2 ( cos2 ) ( cos0) 0a2v32 1000v(t)=0 v(t)=8.88-1.8t=01 1x11) 11 1x2 xx 3 3x x2 3 33 3 3 3( cos( cos00v(t)=v0 at=8.88-1.8tt= 4.93秒dx

5、 (2x )dx1dx ln x|2 ln2 ln1 ln2，2。3 2=1x)|0 x)|2. =32 公里/小當(dāng)8.881.8，1是 的一個(gè)原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓萊布尼茲公式有0( cos )( cos2 ) ( cos )=1( cos0)2，1 12，1 1解：1因?yàn)樗?。12因?yàn)?(x ) 2x,(3 3 3所以1 1 1x2 |3 |3 (9 1) (1 1)1練習(xí)：計(jì)算 x dx0解：由于310例 2計(jì)算以下定積分：xdx, sin xd, sin xdx。由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。解：因?yàn)樗?220可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取

6、負(fù)值，還可能是 0: ( l 當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(shí)圖 1.6 一 3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1 . 6 一 3 ( 2 2當(dāng)對(duì)應(yīng)的 曲邊梯形位于 x 軸下方時(shí)圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)； ( 3 當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為 0圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積例 3汽車以每小時(shí) 32 公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度 =1.8米/秒 剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了

7、多少距離？解:首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時(shí)間。當(dāng) t =0 時(shí)，汽車速度時(shí)= 米/秒 8.88 米/秒,剎車后汽車減速行駛 ,其速度為3600汽車停住時(shí) ,速度 ,故從 解得于是在這段時(shí)間內(nèi) ,汽車所走過的距離是4.930-萊求定 積分v(t)dt0(8.881.8t)dt 1.84.930-萊求定 積分v(t)dt0(8.881.8t)dt 1.8 t2)=(8.88124.9321.900米,即在剎車后 ,汽s車需走過 21.90 米才能停住 . 四、課堂小結(jié)本節(jié)課借助于變速運(yùn)動(dòng)物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓布尼茲公式 .成立，進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分根本定理，得到了一種的簡(jiǎn)便方法，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識(shí)比擬熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來多復(fù)習(xí)！五、教學(xué)后記從教以來，一直困惑于一個(gè)問題：課堂上如何突出重點(diǎn)并突破難點(diǎn)。當(dāng)然，理論方面自己早已爛熟于心，關(guān)鍵是缺乏實(shí)踐方面的體驗(yàn)及感悟。在今天的課堂上，當(dāng)自己在生物化學(xué)班重點(diǎn)及難點(diǎn)均未解決，相反將更多時(shí)間糾纏在細(xì)節(jié)方面，而物理班級(jí)恰好相反