數(shù)學16微積分基本定理(教案)

1、牛頓-萊布尼茲公式 求簡單的定積分v(t) 牛頓-萊布尼茲公式 求簡單的定積分v(t) oT1,T v(t)dtT ,T 上的增量 ST S(T2) 來表達，(t)dt S(T ) S(T2)f (x) F (x) f (x)(x) ( ) F() f (x)- =Cx a ( )aF(a) F(x) (x)+F(a)= - =x b，有 f (x)dx F(b) F(a)(x) |ba21 2 1)=xaaba表示 ，即內經過的路程 可用速度函數(shù)表示為1f t dtF(b) F(a)T1一、教學目標知識與技能目標通過實例，直觀了解微積分根本定理的含義，會用過程與方法通過實例體 會用微積分根本

2、定理求定積分的方法情感態(tài)度與價值觀通過微積分根本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統(tǒng)一的辯證關系，培養(yǎng)學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。二、教學重難點重點 通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，使學生直觀了解微積分根本 定理的含義，并能正確運用根本定理計算簡單的定積分。難點 了解微積分根本定理的含義三、教學過程1、復習 ：定積分的概念及用定義計算2、引入新課我們講過用定積分定義計算定積分 ,但其計算過程比擬復雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法，也是比擬一般的方法。設一物體沿直線作變速運動， 在時刻 t 時物體所在位置為 S(t), 速度為 v(t)

3、，T2那么物體在時間間隔 。另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù) St在即T2T1而S(t) v(t) 。對于一般函數(shù) f (x) ，設 F (x) f (x)，是否也有假設上式成立，我們就找到了用 的原函數(shù) 即滿足 的數(shù)值差F(b) F(a)來計算 f () 在a,b上的定積分的方法。注：1：定理 如果函數(shù) F(x)是a,b 上的連續(xù)函數(shù) f (x) 的任意一個原函數(shù)，那么證明：因為 = f t dt與 都是F(x) (x) a x b其中 C為某一 常數(shù)。令 得 F(a) - (a)=C，且 (a)= =0 即有 C= ，故 =x(x) F(x) F() f (tdt令此處并不要求學生理解

4、證明的過程為了方便起見，還常用 F例 1計算以下定積分：2 3x x2(ln x)2x2x x2(2x )dx 2xdx dx2 3x x2(ln x)2x2x x2(2x )dx 2xdx dx1 221 121x dx x |1 1 03=2 20( cosx) sin x，sinxdxsin xdxsin xdx ( cosx)|2 ( cos2 ) ( cos0) 0a2v32 1000v(t)=0 v(t)=8.88-1.8t=01 1x11) 11 1x2 xx 3 3x x2 3 33 3 3 3( cos( cos00v(t)=v0 at=8.88-1.8tt= 4.93秒dx

5、 (2x )dx1dx ln x|2 ln2 ln1 ln2，2。3 2=1x)|0 x)|2. =32 公里/小當8.881.8，1是 的一個原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓萊布尼茲公式有0( cos )( cos2 ) ( cos )=1( cos0)2，1 12，1 1解：1因為所以 。12因為 (x ) 2x,(3 3 3所以1 1 1x2 |3 |3 (9 1) (1 1)1練習：計算 x dx0解：由于310例 2計算以下定積分：xdx, sin xd, sin xdx。由計算結果你能發(fā)現(xiàn)什么結論？試利用曲邊梯形的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結論。解：因為所以0220可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取

6、負值，還可能是 0: ( l 當對應的曲邊梯形位于 x 軸上方時圖 1.6 一 3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1 . 6 一 3 ( 2 2當對應的 曲邊梯形位于 x 軸下方時圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)； ( 3 當位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為 0圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積例 3汽車以每小時 32 公里速度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等減速度 =1.8米/秒 剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了

7、多少距離？解:首先要求出從剎車開始到停車經過了多少時間。當 t =0 時，汽車速度時= 米/秒 8.88 米/秒,剎車后汽車減速行駛 ,其速度為3600汽車停住時 ,速度 ,故從 解得于是在這段時間內 ,汽車所走過的距離是4.930-萊求定 積分v(t)dt0(8.881.8t)dt 1.84.930-萊求定 積分v(t)dt0(8.881.8t)dt 1.8 t2)=(8.88124.9321.900米,即在剎車后 ,汽s車需走過 21.90 米才能停住 . 四、課堂小結本節(jié)課借助于變速運動物體的速度與路程的關系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓布尼茲公式 .成立，進而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分根本定理，得到了一種的簡便方法，運用這種方法的關鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導數(shù)的知識比擬熟練，希望，不明白的同學，回頭來多復習！五、教學后記從教以來，一直困惑于一個問題：課堂上如何突出重點并突破難點。當然，理論方面自己早已爛熟于心，關鍵是缺乏實踐方面的體驗及感悟。在今天的課堂上，當自己在生物化學班重點及難點均未解決，相反將更多時間糾纏在細節(jié)方面，而物理班級恰好相反