圓錐曲線中的定點定值問題的四種模型

1、.2017屆高三第一輪復習專題訓練之圓錐曲線中的定點定值問題的四種模型定點問題是常見的出題形式,化解這類問題的關鍵就是引進變的參數表示直線方程、數量積、比例關系等,根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量。直線過定點問題通法,是設出直線方程,通過韋達定理和已知條件找出k和m的一次函數關系式,代入直線方程即可。技巧在于：設哪一條直線？如何轉化題目條件？圓錐曲線是一種很有趣的載體,自身存在很多性質,這些性質往往成為出題老師的參考。如果大家能夠熟識這些常見的結論,那么解題必然會事半功倍。下面總結圓錐曲線中幾種常見的幾種定點模型：模型一：手電筒模型例題、07XX已知橢圓C：若直線與橢圓C相交于

2、A,B兩點A,B不是左右頂點,且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線過定點,并求出該定點的坐標。解：設,由得,以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點且,整理得：,解得：,且滿足當時,直線過定點與已知矛盾；當時,直線過定點綜上可知,直線過定點,定點坐標為方法總結：本題為弦對定點張直角的一個例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB,則AB必過定點。參考百度文庫文章：圓錐曲線的弦對定點張直角的一組性質模型拓展：本題還可以拓展為手電筒模型：只要任意一個限定AP與BP條件如定值,定值,直線AB依然會過定點因為三條直線形似手電筒,固名曰手電筒模型。參考優(yōu)酷視頻資料尼爾森數學第一季第

3、13節(jié)此模型解題步驟：Step1：設AB直線,聯(lián)立曲線方程得根與系數關系,求出參數范圍；Step2：由AP與BP關系如,得一次函數；Step3：將代入,得。遷移訓練練習1：過拋物線M:上一點P1,2作傾斜角互補的直線PA與PB,交M于A、B兩點,求證：直線AB過定點。注：本題結論也適用于拋物線與雙曲線練習2：過拋物線M:的頂點任意作兩條互相垂直的弦OA、OB,求證：直線AB過定點。經典例題,多種解法練習3：過上的點作動弦AB、AC且,證明BC恒過定點。本題參考答案：練習:4：設A、B是軌跡：上異于原點的兩個不同點,直線和的傾斜角分別為和,當變化且時,證明直線恒過定點,并求出該定點的坐標。參考答

4、案答案設,由題意得,又直線OA,OB的傾斜角滿足,故,所以直線的斜率存在,否則,OA,OB直線的傾斜角之和為從而設AB方程為,顯然,將與聯(lián)立消去,得由韋達定理知由,得1=將式代入上式整理化簡可得：,所以,此時,直線的方程可表示為即所以直線恒過定點.練習5：20XX高考XX卷理已知動圓過定點A, 且在y軸上截得的弦MN的長為8. 求動圓圓心的軌跡C的方程; 已知點B, 設不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過定點. 答案解: A,設圓心C 點B, .直線PQ方程為:所以,直線PQ過定點練習6：已知點是平面上一動點,且滿足1求點的軌跡對應的方程；2已知

5、點在曲線上,過點作曲線的兩條弦和,且,判斷：直線是否過定點？試證明你的結論.解1設 5分第22題練習7：已知點A1,0,B1,1和拋物線.,O為坐標原點,過點A的動直線l交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點Q,如圖.第22題I證明:為定值;II若POM的面積為,求向量與的夾角；證明直線PQ恒過一個定點.解：I設點、M、A三點共線,設POM=,則由此可得tan=1. 又設點、B、Q三點共線,即即由*式,代入上式,得由此可知直線PQ過定點E1,4. 模型二：切點弦恒過定點例題：有如下結論：圓上一點處的切線方程為,類比也有結論：橢圓處的切線方程為,過橢圓C：的右準線l上任意一點M引橢圓C的

6、兩條切線,切點為 A、B.1求證：直線AB恒過一定點；2當點M在的縱坐標為1時,求ABM的面積。解1設M點M在MA上同理可得由知AB的方程為易知右焦點F滿足式,故AB恒過橢圓C的右焦點F2把AB的方程又M到AB的距離ABM的面積方法點評：切點弦的性質雖然可以當結論用,但是在正式的考試過程中直接不能直接引用,可以用本題的書寫步驟替換之,大家注意過程。方法總結：什么是切點弦？解題步驟有哪些？參考：PPT圓錐曲線的切線及切點弦方程,百度文庫參考：尼爾森數學第一季_3下,優(yōu)酷視頻拓展：相交弦的蝴蝶特征蝴蝶定理,資料練習1：20XXXX省數學理卷已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設為直線上

7、的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點. 求拋物線的方程; 當點為直線上的定點時,求直線的方程; 當點在直線上移動時,求的最小值.答案 依題意,設拋物線的方程為,由結合,解得.所以拋物線的方程為. 拋物線的方程為,即,求導得設,則切線的斜率分別為,所以切線：,即,即同理可得切線的方程為因為切線均過點,所以,所以為方程的兩組解.所以直線的方程為. 由拋物線定義可知,所以聯(lián)立方程,消去整理得由一元二次方程根與系數的關系可得,所以又點在直線上,所以,所以所以當時, 取得最小值,且最小值為.練習2：20XXXX數學理如圖,拋物線,點在拋物線上,過作的切線,切點為,切線的斜率為.求的值;當在上運動時,

8、求線段中點的軌跡方.答案相交弦性質實質是切點弦過定點性質的拓展,結論同樣適用。參考尼爾森數學第一季_3下,優(yōu)酷視頻。但是具體解題而言,相交弦過定點涉及坐標較多,計算量相對較大,解題過程一定要注意思路,同時注意總結這類題的通法。例題：如圖,已知直線L：的右焦點F,且交橢圓C于A、B兩點,點A、B在直線上的射影依次為點D、E。連接AE、BD,試探索當m變化時,直線AE、BD是否相交于一定點N？若交于定點N,請求出N點的坐標,并給予證明；否則說明理由。法一：解： 先探索,當m=0時,直線Lox軸,則ABED為矩形,由對稱性知,AE與BD相交于FK中點N ,且。猜想：當m變化時,AE與BD相交于定點證

9、明：設,當m變化時首先AE過定點NKAN=KENA、N、E三點共線 同理可得B、N、D三點共線AE與BD相交于定點法2：本題也可以直接得出AE和BD方程,令y=0,得與x軸交點M、N,然后兩個坐標相減=0.計算量也不大。方法總結：方法1采用歸納猜想證明,簡化解題過程,是證明定點問題一類的通法。這一類題在答題過程中要注意步驟。例題、已知橢圓C：,若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點,直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點,試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結論。方法1：點A1、A2的坐標都知道,可以設直線PA1、PA2的方程,直線PA1和橢圓交點是A1和M,通過韋達定理,

10、可以求出點M的坐標,同理可以求出點N的坐標。動點P在直線上,相當于知道了點P的橫坐標了,由直線PA1、PA2的方程可以求出P點的縱坐標,得到兩條直線的斜率的關系,通過所求的M、N點的坐標,求出直線MN的方程,將交點的坐標代入,如果解出的t2,就可以了,否則就不存在。解：設,直線的斜率為,則直線的方程為,由消y整理得是方程的兩個根,則,即點M的坐標為,同理,設直線A2N的斜率為k2,則得點N的坐標為,直線MN的方程為：,令y=0,得,將點M、N的坐標代入,化簡后得：又,橢圓的焦點為,即故當時,MN過橢圓的焦點。方法總結：本題由點A1的橫坐標2是方程的一個根,結合韋達定理,得到點M的橫縱坐標：,；

11、其實由消y整理得,得到,即,很快。不過如果看到：將中的換下來,前的系數2用2換下來,就得點N的坐標,如果在解題時,能看到這一點,計算量將減少,這樣真容易出錯,但這樣減少計算量。本題的關鍵是看到點P的雙重身份：點P即在直線上也在直線A2N上,進而得到,由直線MN的方程得直線與x軸的交點,即橫截距,將點M、N的坐標代入,化簡易得,由解出,到此不要忘了考察是否滿足。方法2：在平面直角坐標系中,如圖,已知橢圓eq f+eq f=1的左右頂點為A,B,右焦點為F,設過點T的直線TA,TB與橢圓分別交于點M,N,其中m0,y10,y20.設動點P滿足PF2PB2=4,求點P的軌跡設x1=2,x2=eq f

12、,求點T的坐標設t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點練習2：已知橢圓中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經過、三點過橢圓的右焦點F任做一與坐標軸不平行的直線與橢圓交于、兩點,與所在的直線交于點Q.1求橢圓的方程：2是否存在這樣直線,使得點Q恒在直線上移動？若存在,求出直線方程,若不存在,請說明理由.解析：1設橢圓方程為將、代入橢圓E的方程,得解得. 橢圓的方程也可設標準方程,知類似計分2可知：將直線代入橢圓的方程并整理得設直線與橢圓的交點,由根系數的關系,得直線的方程為：由直線的方程為：,即由直線與直線的方程消去,得直線與直線的交點在直線上 故這樣的直線存在模型四：動圓過定點問題動圓過定點問

13、題本質上是垂直向量的問題,也可以理解為弦對定點張直角的新應用。例題1.已知橢圓是拋物線的一條切線。I求橢圓的方程；過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點,試問：在坐標平面上是否存在一個定點T,使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在,求出點T的坐標；若不存在,請說明理由。解：I由因直線相切,故所求橢圓方程為II當L與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程：當L與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程：,由即兩圓相切于點0,1因此,所求的點T如果存在,只能是0,1.事實上,點T0,1就是所求的點,證明如下。當直線L垂直于x軸時,以AB為直徑的圓過點T0,1若直線L不垂直于x軸,可設直線L：由記點、TATB,即以

14、AB為直徑的圓恒過點T0,1,故在坐標平面上存在一個定點T0,1滿足條件.方法總結：圓過定點問題,可以先取特殊值或者極值,找出這個定點,再證明用直徑所對圓周角為直角。例題2：如圖,已知橢圓的離心率是,分別是橢圓的左、右兩個頂點,點是橢圓的右焦點。點是軸上位于右側的一點,且滿足。1求橢圓的方程以及點的坐標；2過點作軸的垂線,再作直線與橢圓有且僅有一個公共點,直線交直線于點。求證：以線段為直徑的圓恒過定點,并求出定點的坐標。解：1,設,由有,又,于是,又,又,橢圓,且。2方法1：,設,由,由于*,而由韋達定理：,設以線段為直徑的圓上任意一點,由有由對稱性知定點在軸上,令,取時滿足上式,故過定點。法

15、2：本題又解：取極值,PQ與AD平行,易得與X軸相交于F1,0。接下來用相似證明PFFQ。問題得證。練習：10XX二模文已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合,橢圓與拋物線在第一象限的交點為,.圓的圓心是拋物線上的動點,圓與軸交于兩點,且.1求橢圓的方程；2證明:無論點運動到何處,圓恒經過橢圓上一定點.1解法1：拋物線的焦點坐標為,點的坐標為.橢圓的左焦點的坐標為,拋物線的準線方程為.設點的坐標為,由拋物線的定義可知,解得.由,且,得.點的坐標為. 在橢圓:中,.橢圓的方程為.解法2：拋物線的焦點坐標為,點的坐標為. 拋物線的準線方程為.設點的坐標為,由拋物線的定義可知,解得.由,且得.點的坐標為.在橢圓:中,.由解得.橢圓