【全程復(fù)習(xí)方略】2022屆高考數(shù)學(xué)(文科人教A版)大一輪課時(shí)作業(yè)：10.3-幾何概型-

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C.4【解析】選B.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1的圓減去2個(gè)△BOC的面積,即為π-2,則陰影區(qū)域的面積為2π-4,所以所求概率為P=2π-44=4.任意畫(huà)一個(gè)正方形,再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到其次個(gè)正方形,依此類推,這樣一共畫(huà)了4個(gè)正方形,如圖所示,若向圖形中隨機(jī)投一點(diǎn),則所投點(diǎn)落在第四個(gè)正方形中的概率是()【解析】選C.依題意可知,第四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是第一個(gè)正方形邊長(zhǎng)的倍,所以第四個(gè)正方形的面積是第一個(gè)正方形面積的倍,由幾何概型可知,所投點(diǎn)落在第四個(gè)正方形中的概率為.5.隨著科技的進(jìn)步,微爆技術(shù)正逐步被應(yīng)用到我們?nèi)粘Ｉ钪械母鱾€(gè)方面.某醫(yī)院為探究微爆技術(shù)在治療腎結(jié)石方面的應(yīng)用,設(shè)計(jì)了一個(gè)試驗(yàn):在一個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的正方體的中心放置微量手術(shù)專用炸藥,而爆炸的威力范圍是一個(gè)半徑為R的球,則爆炸之后形成的碎片全部落在正方體內(nèi)部的概率為()【解析】選A.由題意可知,要使碎片全部落在正方體的內(nèi)部,則該爆炸的威力范圍的半徑r不大于正方體的內(nèi)切球的半徑R=.所以該大事的概率P=二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2021·濟(jì)南模擬)如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P,分別以O(shè),B為圓心,半徑為畫(huà)圓弧,點(diǎn)P在兩圓之外的概率為.【解析】依題設(shè)知所求概率答案:1-7.(2021·漳州模擬)設(shè)a∈[0,10],則函數(shù)g(x)=a-2x在區(qū)間(0,+∞)的概率為.【解析】若函數(shù)g(x)=a-2x在區(qū)間(0,+又a∈[0,10],所以0≤a<2,所以函數(shù)g(x)=a-2x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù)的概率為210答案:18.已知m∈[1,7],則函數(shù)f(x)=-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù)的概率為【解析】f′(x)=x2-2(4m-1)x+15m2依題意,知f′(x)在R上恒大于或等于0,所以Δ=4(m2-6m+8)≤0,得2≤m≤4.又m∈[1,7],所以所求的概率為.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2021·廈門模擬)已知集合A={x|-3<x<1},B=x|x+2(1)在區(qū)間(-4,4)上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x,求“x∈A∩B”的概率.(2)設(shè)(a,b)為有序?qū)崝?shù)對(duì),其中a是從集合A中任取的一個(gè)整數(shù),b是從集合B中任取的一個(gè)整數(shù),求“b-a∈A∪B”的概率.【解析】(1)由已知B={x|-2<x<3},A∩B={x|-2<x<1},設(shè)大事“x∈A∩B”的概率為P1,這是一個(gè)幾何概型,則P1=38(2)由于a,b∈Z,且a∈A,b∈B,所以,基本大事共12個(gè):(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2).設(shè)大事E為“b-a∈A∪B”,則大事E中包含9個(gè)基本大事,大事E的概率P(E)=912=310.如圖所示,圓O的方程為:x2+y2=4.(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),B為圓周上任意一點(diǎn),求AB的長(zhǎng)度小于π(2)若P(x,y)為圓O內(nèi)任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到原點(diǎn)距離大于2的概率.【解析】(1)圓O的周長(zhǎng)為4π,所以弧AB的長(zhǎng)度小于π的概率為2π4π(2)記大事A為P到原點(diǎn)的距離大于2,則Ω(A)={(x,y)|x2+y2>2},Ω={(x,y)|x2+y2≤4},所以P(A)=4π-2π4π=【加固訓(xùn)練】已知向量a=(-2,1),b=(x,y).(1)若x,y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、其次次毀滅的點(diǎn)數(shù),求滿足a·b=-1的概率.(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值,求滿足a·b<0的概率.【解析】(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次,所包含的基本大事總數(shù)為6×6=36個(gè);由a·b=-1有-2x+y=-1,所以滿足a·b=-1的基本大事為(1,1),(2,3),(3,5),共3個(gè),故滿足a·b=-1的概率為336=1(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值,則全部基本大事的結(jié)果為Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};滿足a·b<0的基本大事的結(jié)果為A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};畫(huà)出圖形如圖,正方形的面積為S正方形=25,陰影部分的面積為S陰影=25-12×2×4=21,故滿足a·b<0的概率為21(20分鐘40分)1.(5分)向邊長(zhǎng)為2米的正方形木框ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲一粒綠豆,記綠豆落在P點(diǎn),則P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離大于1米,同時(shí)∠DPC∈的概率為()【解析】選A.由題意,易知:(1)點(diǎn)P在以A點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓外;(2)若點(diǎn)P在以DC為直徑的圓上,則∠DPC=,若點(diǎn)P在以DC為直徑的圓內(nèi),則∠DPC>,故只有點(diǎn)P在以DC為直徑的圓外時(shí)滿足∠DPC為銳角.因此,點(diǎn)P落入圖中的陰影部分,故所求概率為.【方法技巧】解決幾何概型的關(guān)鍵解答幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍.當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn),點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí),用線段長(zhǎng)度比計(jì)算;當(dāng)考察對(duì)象為線時(shí),一般用角度比計(jì)算,即當(dāng)半徑確定時(shí),由于弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比,所以角度之比實(shí)際上是所對(duì)的弧長(zhǎng)(曲線長(zhǎng))之比.2.(5分)(2021·莆田模擬)在區(qū)間[0,π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則大事“sinx+cosx≤1”發(fā)生的概率為()【解析】選C.由題意知,此概率符合幾何概型,全部基本大事包含的區(qū)域長(zhǎng)度為π,設(shè)A表示取出的x滿足sinx+cosx≤1這樣的大事,對(duì)條件變形為,即大事A包含的區(qū)域長(zhǎng)度為.所以P(A)=.3.(5分)在區(qū)間[0,10]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)a,使得不等式2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率為.【解析】要使2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立,只需ax≤2x2+8,即a≤2x+在(0,+∞)上恒成立.又2x+≥2=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立,故只需a≤8,因此0≤a≤8.由幾何概型的概率計(jì)算公式可知所求概率為.答案:4.(12分)已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],設(shè)M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素(x,y).(1)求以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2+y2=1內(nèi)的概率.(2)求以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到直線x+y=0的距離不大于的概率.【解析】(1)集合M內(nèi)的點(diǎn)形成的區(qū)域面積S=8.因圓x2+y2=1的面積S1=π,故所求概率為.(2)由題意,即-1≤x+y≤1,形成的區(qū)域如圖中陰影部分,陰影部分面積S2=4,所求概率為5.(13分)(力氣挑戰(zhàn)題)已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干,其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè).若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球,取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是12(1)求n的值.(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球,記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a,其次次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.(ⅰ)記“a+b=2”(ⅱ)在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x,y,求大事“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.【解析】(1)依題意nn+2=1(2)(ⅰ)記標(biāo)號(hào)為0的小球?yàn)閟,標(biāo)號(hào)為1的小球?yàn)閠,標(biāo)號(hào)為2的小球?yàn)閗,h,則取出2個(gè)小球的可能狀況有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s),(k,t),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),共12種,其中滿足“a+b=2”的有4種:(s,k),(s,h)(