【全程復習方略】2022屆高考數(shù)學(文科人教A版)大一輪專項強化訓練(五)圓錐曲線的綜合問題-

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。專項強化訓練(五)圓錐曲線的綜合問題1.已知直線l:y=x+1,圓O:x2+y2=,直線l被圓截得的弦長與橢圓C:=1(a>b>0)的短軸長相等,橢圓的離心率e=.(1)求橢圓C的方程.(2)過點的直線l0交橢圓于A,B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點T,使得無論l0如何轉動,以AB為直徑的圓恒過定點T?若存在,求出點T的坐標;若不存在,請說明理由.【解題提示】(1)利用弦長公式及離心率公式求出a,b的值,從而求得橢圓C的方程.(2)先依據(jù)直線l0的斜率不存在及斜率為0的狀況確定T的坐標,然后再證明以AB為直徑的圓恒過定點T即可.【解析】(1)由題意知,圓O的半徑r=,圓O(0,0)到直線y=x+1的距離d=,則直線l被圓截得的弦長為,依題意2=2b,b=1.又橢圓的離心率,所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)假設存在定點T(x0,y0),設A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≤x2).當直線l0的斜率不存在時,易知A(0,1),B(0,-1),則圓的方程為x2+y2=1.當直線l0的斜率為0時,直線l0的方程為y=-,代入橢圓方程可得即圓的方程為易知T(0,1).下面證明,當直線l0的斜率存在且不為0時,T(0,1)也符合.設直線l0的方程為y=kx-,聯(lián)立消去y得(2k2+1)x2-=0.則.此時,TA→=(x1,y1-1),TB→=(x即當直線l0的斜率存在且不為0時,以AB為直徑的圓恒過點T(0,1).綜上所述,存在定點T,其坐標為(0,1).【加固訓練】已知橢圓C:=1(a>b>0)的左,右焦點分別為F1,F2,A為上頂點,△AF1F2為正三角形,以AF2為直徑的圓與直線y=x+2相切.(1)求橢圓C的標準方程.(2)過點F2作斜率為k的直線l與橢圓交于M,N兩點,在x軸上是否存在點P(m,0),使得PQ→=PM【解析】(1)由已知△AF1F2由A(0,b),F2(c,0),得AF2的中點,點B到直線y=x+2的距離為解得a2=4,b2=3,所以橢圓C的標準方程為=1.(2)由(1)可知F2(1,0),設直線l的方程為y=k(x-1).聯(lián)立方程,得整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,設M(x1,y1),N(x2,y2),由根與系數(shù)的關系得x1+x2=,則y1+y2=k(x1+x2-2)=,又PM→=(x1-m,y1),PN→=(x所以PQ→=PM→+PN→=(x1+x2得5k4+16k2+12=0,由于5k4+16k2+12>0恒成立,故滿足條件的點P(m,0)不存在.2.過x軸上動點A(a,0)引拋物線y=x2+1的兩條切線AP,AQ.切線斜率分別為k1和k2,切點分別為P,Q.(1)求證:k1·k2為定值,并且直線PQ過定點.(2)記S為面積,當最小時,求AP→·A【解析】(1)方法一:設過A點的直線為:y=k(x-a),與拋物線聯(lián)立得得x2-kx+ka+1=0,Δ=k2-4ak-4=0,所以k1+k2=4a,k1·k2=-4為定值.拋物線方程y=x2+1,求導得y′=2x,設切點P,Q的坐標分別為(xP,yP),(xQ,yQ),k1=2xP,k2=2xQ,所以xP+xQ=2a,xP·xQ=-1.直線PQ的方程:y-yP=(x-xP),由yP=xP2+1,yQ=得到y(tǒng)=(xP+xQ)x-xPxQ+1,整理可得y=2xa+2,所以直線PQ過定點(0,2).方法二:設切點P,Q的坐標分別為(xP,yP),(xQ,yQ),求導得y′=2x,所以lAP:y=2xP(x-a),(xP,yP)在直線上,即yP=2xP(xP-a),由P(xP,yP)在拋物線方程上得yP=xP整理可得yP=2xPa+2,同理yQ=2xQa+2,所以lQP:y=2xa+2,所以直線PQ過定點(0,2).聯(lián)立PQ的直線方程lQP:y=2xa+2和拋物線方程y=x2+1,可得:x2-2xa-1=0.所以xPxQ=-1,xP+xQ=2a,所以k1·k2=2xP×2xQ=-4為定值.(2)設A到PQ的距離為d.當且僅當t=時取等號,即a=±.由于AP→·AQ→=(xP-a,yP)·(x=xPxQ-a(xP+xQ)+a2+yPyQ,yPyQ=(2xPa+2)(2xQa+2)=4a2xPxQ+4+4a(xP+xQ)=4a2+4,所以AP→·AQ→=3a3.(2021·阜陽模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)上點T(3,t)到焦點F的距離為4.(1)求t,p的值.(2)設A,B是拋物線上分別位于x軸兩側的兩個動點,且OA→·①求證:直線AB必過定點,并求出該定點P的坐標;②過點P作AB的垂線與拋物線交于C,D兩點,求四邊形ACBD面積的最小值.【解析】(1)由已知得3+p2=4?所以拋物線方程為y2=4x,代入可解得t=±23.(2)①設直線AB的方程為x=my+d,Ay124聯(lián)立y2=4x,x=my+d得y2-4my-4d=0,則y1+y2=4m,y1由OA→·OB→=5得:(y1y2)216+y1y2=5?y1即-4d=-20?d=5,所以直線AB過定點P(5,0).②由①得|AB|=1+m2|y2=1+同理得|CD|=1+-1m2=1+S=12|AB|·|CD|=12=862令m2+1m2=μ(μ≥2),則S=85μ故Smin=96.當且僅當m=±1時取到最小值96.4.已知橢圓C:=1(a>b>0)經(jīng)過點,離心率為.(1)求橢圓C的方程.(2)直線y=k(x-1)(k≠0)與橢圓C交于A,B兩點,點M是橢圓C的右頂點,直線AM與直線BM分別與y軸交于點P,Q,試問以線段PQ為直徑的圓是否過x軸上的定點?若是,求出定點坐標;若不是,說明理由.【解析】(1)由題意得解得a=2,b=1.所以橢圓C的方程是+y2=1.(2)以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點,由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則有又由于點M是橢圓C的右頂點,所以點M(2,0),由題意可知直線AM的方程為y=(x-2),故點.直線BM的方程為y=(x-2),故點Q若以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點N(x0,0),則等價于PN→·又由于(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]即x軸上的定點為(,0)或(-,0).故以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點(±,0).5.(2022·馬鞍山模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,過其右焦點F2作與x軸垂直的直線l(1)求橢圓E的方程.(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓E相交于G,H兩點,設P為橢圓E上一點,且滿足OG→+OH→=tOP→(t≠0,O為坐標原點),當|【解析】(1)由于直線l過右焦點F2且與x軸垂直,所以|AB|=2b2a又橢圓E的離心率為22,且AB→故橢圓E的方程為:x232+(2)由題意知直線GH的斜率不為零.設直線GH的方程為:x=my+2.聯(lián)立x232+消去x得:(m2+2)y2+4my-28=0.設P(x,y),G(x1,y1),H(x2,y2),則y1+y2=-4mm2+2,y1yx1+x2=m(y1+y2)+4=8m由于OG→+OH所以P(8t(m2+2)由于P點在橢圓上,所以將P點坐標代入橢圓方程得t2=1m由于|OG→-OH所以|GH|2=(1+m2)(y1-y2)2=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]14m4+11m2-25<0,所以0≤m2所以t2=1m2+2∈(13所以t∈[-22,-33)∪(33,所以實數(shù)t的取值范圍為[-22,-33)∪(33,6.(2021·廈門模擬)已知F1,F2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,P是橢圓E上的點,以F1P為直徑的圓經(jīng)過F2,·=116a2.直線l經(jīng)過F1,與橢圓E交于A,B兩點,F2(1)求橢圓E的離心率.(2)設△F1PF2的周長為2+3,求△ABF2的面積S的最大值.【解析】(1)由于F1,F2分別是橢圓E的左、右焦點,P是橢圓E上的點,以F1P為直徑的圓經(jīng)過F2,所以PF2⊥x軸.所以|PF2|=b2又·=116a2,所以|PF2|2=116a2,即b2a所以a2=4b2,即a2=4(a2-c2),化簡得3a2=4c2,所以ca=3所以橢圓E的離心率等于32(2)由于△F1PF2的周長為2+3,所以2a+2c=2+3.所以b2=14所以橢圓E的方程為x2+4y2=1.當直線l的斜率不存在時,△ABF2的面積S=12×2b2a×當直線l的斜率存在時,設為k,由F2與A,B兩點構成△ABF2得到k≠0.由已知得直線l的方程為y=k(x+32)即2kx-2y+3k=0,所以F2(32,0)到直線l的距離d=3得(1+4k2)x2+43k2x+3k2-1=0,所以|AB|=1+k=2(1+當且僅當k2=12又12>34,所以△ABF2的面積S的最大值等于【加固訓練】如圖,已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,其上頂點為A.已知△F1AF2是邊長為2的正三角形.(1)求橢圓C的方程.(2)過點Q(-4,0)任作一動直線l交橢圓C于M,N兩點,記MQ→=λ·QN→.若在線段MN上取一點R,使得MR→【解析】(1)由于△F1AF