【全程復習方略】2022屆高考數學(文科人教A版)大一輪課時作業(yè)：2.3-函數的奇偶性與周期性-

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(六)函數的奇偶性與周期性(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2021·蚌埠模擬)已知函數f(x)是R上的單調增函數且為奇函數,則f(1)的值()A.恒為正數 B.恒為負數C.恒為0 D.可正可負【解析】選A.由于函數f(x)是定義域為R的奇函數,所以f(0)=0,又f(x)是R上的單調遞增函數,所以f(1)>f(0)=0.2.下列函數中,既是偶函數又在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減的是()A.y= B.y=e-xC.y=-x2+1 D.y=lg|x|【解析】選C.A中,y=為奇函數,故排解A;B中,y=e-x為非奇非偶函數,故排解B;C中,y=-x2+1的圖象關于y軸對稱,故為偶函數,且在(0,+∞)上單調遞減;D中,y=lg|x|為偶函數,在x∈(0,+∞)時單調遞增,排解D.3.(2021·泉州模擬)設f(x)是周期為4的奇函數,當0≤x≤2時,f(x)=x(2-x),則f(2021)等于()A.1 B.-1 C.3 D.-3【解析】選B.f(2021)=f(4×503+3)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=-1×(2-1)=-1.【方法技巧】周期性問題常與奇偶性相結合,解題時留意以下兩點:(1)周期的確定:特殊是給出遞推關系要明確周期如何確定.(2)周期性與奇偶性在解題時,一般狀況下周期性起到自變量值轉換作用,奇偶性起到調整轉化正負號的作用.【加固訓練】(2021·皖北八校模擬)定義在R上的函數f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)時,f(x)=2x+,則f(2013)=()A.-1 B.0 C.1 D.±1【解析】選A.由于f(-x)=-f(x),所以函數f(x)為奇函數.由于f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函數的周期為4.所以f(2013)=f(4×503+1)=f(1).由于f(-1)=2-1+=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2013)=f(1)=-1,故選A.4.x為實數,[x]表示不超過x的最大整數,則函數f(x)=x-[x]在R上為()A.奇函數 B.偶函數C.增函數 D.周期函數【解析】選D.當n為整數時,必有[n+x]=n+[x]成立.設k∈Z,且k≠0,則f(x+k)=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=f(x),所以f(x)必為周期函數,故選D.【一題多解】本題還可以接受如下方法:方法一:(特值法)取x1=1.2,x2=2,則f(x1)=1.2-[1.2]=0.2,f(-x1)=-1.2-[-1.2]=0.8,所以f(-x1)≠±f(x1),所以f(-x)≠±f(x),故A,B錯;又f(x1)=0.2,f(x2)=0,明顯f(x)不是增函數,故C錯,故選D.方法二:(圖象法)依據已知可以作出函數f(x)的圖象,如圖所示,則可知f(x)是有界,且周期為k(k∈Z,k≠0)的非單調函數,其最小正周期為1,故選D.5.(2022·新課標全國卷Ⅰ)設函數f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,則下列結論中正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數 B.|f(x)|g(x)是奇函數C.f(x)|g(x)|是奇函數 D.|f(x)g(x)|是奇函數【解析】選C.設H(x)=f(x)·|g(x)|,則H(-x)=f(-x)·|g(-x)|,由于f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,所以H(-x)=-f(x)·|g(x)|=-H(x),故H(x)是奇函數.6.已知函數y=f(x)是奇函數,當x>0時,f(x)=lgx,則f(f())的值等于()A. B.- C.lg2 D.-lg2【解析】選D.由于當x>0時,f(x)=lgx,所以f()=lg=-2,則f(f())=f(-2),由于函數y=f(x)是奇函數,所以f(f())=-f(2)=-lg2.7.(2021·黃岡模擬)能夠把圓O:x2+y2=16的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數稱為圓O的“和諧函數”,下列函數不是圓O的“和諧函數”的是()A.f(x)=4x3+x B.f(x)=lnC.f(x)=tan D.f(x)=ex+e-x【解析】選D.由“和諧函數”的定義知,若函數為“和諧函數”,則該函數為過原點的奇函數.A中,f(0)=0,且f(x)為奇函數,所以f(x)=4x3+x為“和諧函數”;B中,f(0)=ln=ln1=0,且f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x),所以f(x)為奇函數,所以f(x)=ln為“和諧函數”;C中,f(0)=tan0=0,且f(-x)=tan(-)=-tan=-f(x),所以f(x)為奇函數,故f(x)=tan為“和諧函數”;D中,f(0)=e0+e-0=2,所以f(x)=ex+e-x的圖象不過原點,所以f(x)=ex+e-x不是“和諧函數”.二、填空題(每小題5分,共15分)8.f(x)為奇函數,當x<0時,f(x)=log2(1-x),則f(3)=.【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2.答案:-29.若函數f(x)=x2-|x+a|為偶函數,則實數a=.【解析】由于函數f(x)=x2-|x+a|為偶函數,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0.答案:010.(2021·長沙模擬)設定義在[-2,2]上的偶函數f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞減,若f(1-m)<f(m),則實數m的取值范圍是.【解析】由于f(x)是偶函數,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m),等價于f(|1-m|)<f(|m|).又當x∈[0,2]時,f(x)是減函數.所以解得-1≤m<.答案:[-1,)(20分鐘40分)1.(5分)(2022·山東高考)對于函數f(x),若存在常數a≠0,使得x取定義域內的每一個值,都有f(x)=f(2a-x),則稱f(x)為準偶函數.下列函數中是準偶函數的是()A.f(x)= B.f(x)=x2C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)【解題提示】本題為新定義問題,精確理解準偶函數的概念再運算.【解析】選D.由f(x)=f(2a-x)可知,f(x)關于x=a對稱,準偶函數即偶函數左右平移得到的.【加固訓練】定義兩種運算:a?b=,a⊕b=,則f(x)=是()A.奇函數 B.偶函數 C.既奇又偶函數 D.非奇非偶函數【解析】選A.由于2?x=,x⊕2=,所以f(x)=該函數的定義域是[-2,0)∪(0,2],且滿足f(-x)=-f(x).故函數f(x)是奇函數.2.(5分)(2021·杭州模擬)若偶函數y=f(x)(x∈R)滿足f(x+2)=f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=x,則y=f(x)的圖象與y=log4|x|的圖象的交點個數是()A.3 B.4 C.6 D.8【解析】選C.由于f(x)是滿足f(x+2)=f(x)的偶函數,且當x∈[0,1]時,f(x)=x,故f(x)是周期為2的周期函數,其圖象如圖所示,依據函數y=log4|x|也是偶函數,其圖象也關于y軸對稱,簡潔知道它們的交點共有6個.故選C.3.(5分)(2022·安徽高考)若函數f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數,且在[0,2]上的解析式為f(x)=x(1-x),0≤x≤1,sinπx,1<x≤2,則f294+f41【解析】f294+f=f4+13=f134+f=f4-3=f-34=-f34-f=-341-=-316+12=答案:5【加固訓練】已知函數f(x)滿足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),則f(2015)=.【解析】令x=1,y=0時,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1),解得f(0)=,令x=1,y=1時,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0),解得f(2)=-,令x=2,y=1時,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,依次求得f(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=,f(8)=-,f(9)=-,…可知f(x)是以6為周期的函數,所以f(2015)=f(335×6+5)=f(5)=.答案:【一題多解】本題還可以接受如下方法:由于f(1)=,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),所以構造符合題意的函數f(x)=所以f(2015)=答案:4.(12分)函數f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)推斷f(x)的奇偶性并證明你的結論.(3)假如f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數,求x的取值范圍.【解析】(1)由于對于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)為偶函數.證明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數.(3)依題設有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函數,所以f(x-1)<2,等價于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函數.所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范圍是{x|-15<x<17且x≠1}.5.(13分)(力氣挑戰(zhàn)題)已知函數f(x)在R上滿足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)試推斷函數y=f(x)的奇偶性.(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2014,2014]上根的個數,并證明你的結論.【解析】(1)若y=f(x)為偶函數,則f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x),所以f(7)=f(3)=0,這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0沖突;因此f(x)不是偶函數.若y=f(x)為奇函數,則f(0)=-f(0),所以f(0)=0,這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0沖突;因此f(x)不是奇函數.