中考數(shù)學《二次函數(shù)中的新定義問題》專項訓練含答案解析

1、專題22.11 二次函數(shù)中的新定義問題專項訓練（30道）【人教版】考卷信息：本套訓練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對新定義函數(shù)的理解！1（2021雅安）定義：mina，b=a(ab)b(ab)，若函數(shù)yA0B2C3D4【解題思路】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，通過數(shù)形結(jié)合求解【解答過程】解：x+1x2+2x+3，解得x1或x2y=x+1(-1把x2代入yx+1得y3，函數(shù)最大值為y3故選：C2（2021章丘區(qū)模擬）定義：對于二次函數(shù)yax2+（b+1）x+b2（a0），若存在自變量x0，使得函數(shù)值等于x0成立，則稱x0為該函數(shù)的不動點，

2、對于任意實數(shù)b，該函數(shù)恒有兩個相異的不動點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A0a2B0a2C2a0D2a0【解題思路】設x為不動點，使yx，可得關(guān)系式ax2+bx+b20，由恒有兩個相異的不動點知0，即得a的取值范圍【解答過程】由題意可知方程xax2+（b+1）x+b2（a0），恒有兩個不相等的實數(shù)解，則b24a（b2）b24ab+8a0，對任意實數(shù)b恒成立，把b24ab+8a看作關(guān)于b的二次函數(shù)，則有1（4a）248a16a232a16a（a2）0，令16a（a2）0，解得a0或a2，當a2時，16a0，a20，即16a（a2）0，當a0時，16a0，a20，即16a（a2）0，0a2時，16a0

3、，a20，即16a（a2）0，即16a（a2）0的解集，解得0a2，故選：A3（2021岳陽）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”如圖，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），則互異二次函數(shù)y（xm）2m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是（）A4，1B5-172，1C4，0D5+17【解題思路】畫出圖象，從圖象可以看出，當函數(shù)從左上向右下運動時，當跟正方形有交點時，先經(jīng)過點A，再逐漸經(jīng)過點O，點B，點C，最后再經(jīng)過點B，且在運動的過程中，兩次經(jīng)過點A，兩次經(jīng)過點O，點B和點C，只需算出當函數(shù)經(jīng)過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值

4、及最小值【解答過程】解：如圖，由題意可得，互異二次函數(shù)y（xm）2m的頂點（m，m）在直線yx上運動，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），B（2，2），從圖象可以看出，當函數(shù)從左上向右下運動時，若拋物線與正方形有交點，先經(jīng)過點A，再逐漸經(jīng)過點O，點B，點C，最后再經(jīng)過點B，且在運動的過程中，兩次經(jīng)過點A，兩次經(jīng)過點O，點B和點C，只需算出當函數(shù)經(jīng)過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值當互異二次函數(shù)y（xm）2m經(jīng)過點A（0，2）時，m2，或m1；當互異二次函數(shù)y（xm）2m經(jīng)過點B（2，2）時，m=5-172或m互異二次函數(shù)y（xm）2m與正方形OABC有交點時m的最

5、大值和最小值分別是5+172，1故選：D4（2020寧鄉(xiāng)市一模）定義a，b，c為函數(shù)yax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為m1，m+1，2m的函數(shù)的一些結(jié)論，其中不正確的是（）A當m2時，函數(shù)圖象的頂點坐標為（-32，B當m1時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長大于3C當m0時，函數(shù)在x12時，y隨x的增大而增大D不論m取何值，函數(shù)圖象經(jīng)過兩個定點【解題思路】A、把m2代入m1，1+m，2m，求得a，b，c，求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；B、首先求得對稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；C、當x大于二分之一時，在對稱軸右側(cè)，又開口向下，所以y隨x增大而減小正確；B、根據(jù)特征數(shù)的特點，直接

6、得出x的值，進一步驗證即可解答【解答過程】解：因為函數(shù)yax2+bx+c的特征數(shù)為m1，m+1，2m；A、當m2時，yx2+3x4（x+32）2-254，頂點坐標是（-B、當m1時，令y0，有（m1）x2+（1+m）x2m0，解得，x11，x2=-2m|x2x1|=3m-1m-13，所以當mC、當m0時，y（m1）x2+（1+m）x2m 是一個開口向下的拋物線，其對稱軸是：x=-m+12(m-1)因為當m0時，-m+12(m-1)=-m-1+22(m-1)D、因為y（m1）x2+（1+m）x2m0 即（x2+x2）mx2+x0，當x2+x20時，x1或2，拋物線經(jīng)過定點（1，0）或（2，6），

7、此結(jié)論正確，故選：C5（2020市中區(qū)二模）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在常數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足yM，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)；在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界例如，函數(shù)y（x+1）2+2，y2，因此是有上界函數(shù)，其上確界是2，如果函數(shù)y2x+1（mxn，mn）的上確界是n，且這個函數(shù)的最小值不超過2m，則m的取值范圍是（）Am13Bm13C13【解題思路】根據(jù)函數(shù)的上確界和函數(shù)增減性得到2m+1n，函數(shù)的最小值為2n+1，根據(jù)mn，函數(shù)的最小值不超過2m，列不等式求解集即可【解答過程】解：在y2x+1中，y隨x的增大而減小，上確界為2m+1，即2m+1n，

8、函數(shù)的最小值是2n+12m，解得m12mn，m2m+1解得m13，綜上，m故選：B6（2020秋思明區(qū)校級期末）對于一個函數(shù)：當自變量x取a時，其函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個函數(shù)的不動點，若二次函數(shù)yx2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點，則c的取值范圍是（）Ac3Bc-14C3c2D【解題思路】設a是二次函數(shù)yx2+2x+c的不動點，則a2+a+c0，根據(jù)二次函數(shù)yx2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點，可知關(guān)于a的方程a2+a+c0有兩個不相等的實數(shù)根，且兩個實數(shù)根都小于1，設這兩個實數(shù)根為a1、a2，則0，a11，a21，即有14c0，且（a11）

9、+（a21）0，（a11）（a21）0，即可解得2c14【解答過程】解：設a是二次函數(shù)yx2+2x+c的不動點，則aa2+2a+c，即a2+a+c0，二次函數(shù)yx2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點，關(guān)于a的方程a2+a+c0有兩個不相等的實數(shù)根，且兩個實數(shù)根都小于1，設這兩個實數(shù)根為a1、a2，則a1+a21，a1a2c，0，a11，a21，14c0，且（a11）+（a21）0，（a11）（a21）0，由得c14a1+a21，總成立，由得：a1a2（a1+a2）+10，即c（1）+10，c2，綜上所述，c的范圍是2c14故選：D7（2020秋亳州月考）定義：在平面直角坐標系

10、中，過一點P分別作坐標軸的垂線，這兩條垂線與坐標軸圍成一個矩形，若矩形的周長值與面積值相等，則點P叫作和諧點，所圍成的矩形叫作和諧矩形已知點P是拋物線yx2+k上的和諧點，所圍成的和諧矩形的面積為16，則k的值可以是（）A16B4C12D18【解題思路】根據(jù)和諧點的定義與二次函數(shù)的性質(zhì)列出m，n的方程，求解m，n即可【解答過程】解：點P（m，n）是拋物線yx2+k上的點，nm2+k，knm2，點P（m，n）是和諧點，對應的和諧矩形的面積為16，2|m|+2|n|mn|16，|m|4，|n|4，當n0時，knm241612；當n0時，knm241620；故選：C8（2021河南模擬）新定義：a，

11、b，c為二次函數(shù)yax2+bx+c（a0，a，b，c為實數(shù)）的“圖象數(shù)”，如：yx22x+3的“圖象數(shù)”為1，2，3，若“圖象數(shù)”是m，2m+4，2m+4的二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，則m的值為（）A2B14C2或2D2【解題思路】根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式為ymx2+（2m+4）x+2m+4，然后根據(jù)判別式的意義得到（2m+4）24m（2m+4）0，從而解m的方程即可【解答過程】解：二次函數(shù)的解析式為ymx2+（2m+4）x+2m+4，根據(jù)題意得（2m+4）24m（2m+4）0，解得m12，m22，故選：C9（2021春江岸區(qū)校級月考）定義：在平面直角坐標系中，若點A滿足橫、縱坐標

12、都為整數(shù)，則把點A叫做“整點”如：B（3，0）、C（1，3）都是“整點”拋物線yax22ax+a+2（a0）與x軸交于點M，N兩點，若該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個整點，則a的取值范圍是（）A1a0B2a1C1a-12D2a【解題思路】畫出圖象，找到該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個整點的邊界，利用與y交點位置可得m的取值范圍【解答過程】解：拋物線yax22ax+a+2（a0）化為頂點式為ya（x1）2+2，故函數(shù)的對稱軸：x1，M和N兩點關(guān)于x1對稱，根據(jù)題意，拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個

13、整點，這些整點是（0，0），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），如圖所示：當x0時，ya+20a+21當x1時，y4a+20即：0a+2解得2a1故選：B10（2021深圳模擬）我們定義一種新函數(shù)：形如y|ax2+bx+c|（a0，b24ac0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y|x22x3|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個結(jié)論：其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）圖象與坐標軸的交點為（1，0），（3，0）和（0，3）；圖象具有對稱性，對稱軸是直線x1；當1x1或x3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；當x1或x3時，函數(shù)的最小值是0；當x1時，函數(shù)的最大值是4，A4B3C2D1【解題思路】由（1，0），（3，0）和（0，3）坐標都滿足函數(shù)y|x22x3|知是正確的；從圖象可以看出圖象具有對稱性，對稱軸可用對稱軸公式求得是直線x1，也是正確的；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當1x1或x3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此也是正確的；函數(shù)圖象的最低點就是與x軸的兩個交點，根據(jù)y0，求出相應的x的值為x1或x3，因此也是正確的；從圖象上看，當x1或x3，函數(shù)值要大于當x1時的y|x22x3|4，因此時不正確的；逐個判斷之后，可得出答案【解答過程】解