六年級奧數(shù)約數(shù)與倍數(shù)(三)學(xué)生版

1、2 2 5-4-3. 數(shù)倍三教學(xué)目 本講核心目標(biāo)：讓孩子對數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個深入的認(rèn),例如）數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的內(nèi)在關(guān)； （ 2 ） 整 唯一 解定理 ：讓 學(xué)生自 己 步領(lǐng)悟 任一 數(shù) 字都以 表示 為 eq oac(,) eq oac(,) eq oac(,)的結(jié)構(gòu)而且表達(dá)形式唯”知識點(diǎn)一、 約數(shù)、公約數(shù)與最大公約數(shù)概念(1)約數(shù)在正整數(shù)范圍內(nèi)約數(shù)又叫整數(shù) 能整數(shù) 整, 叫 b 的數(shù)b 就做 約數(shù)；(2)公約數(shù):果一個整數(shù)同時是幾個整數(shù)的約稱這個整數(shù)為它們“約；(3)最大公約數(shù)：公約數(shù)中最大的個就是最大公約數(shù)； 被除在約數(shù)與倍數(shù)之外1 最大公約數(shù)的方法解因法

2、先分解質(zhì)因然把相同的因數(shù)連乘起來例如： , 252 2 ,以 (231,252) 21 218 除：找出所有共有的約,然后相乘例如： 所以 (12,18) ；3 轉(zhuǎn)除：一次都用除數(shù)和余數(shù)相能夠整除的那個余數(shù)就是所求的最大公約 數(shù)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù) 得 一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個,第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余,得 第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余,直到余數(shù)是 0 為那么最后一個除 數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(果最后的除數(shù)是 那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì))例如 求 600 和 1515 的大公約數(shù)： 1515 ； 600 285

3、 ； 285 15 所以 1515 和 的最大公約數(shù)是 152 大公約數(shù)的性質(zhì)幾個數(shù)都除以它們的最大公約,得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；幾個數(shù)的公約數(shù),是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù) n ,所的積的最大公約數(shù)等于這個數(shù)的最大公約數(shù)乘以 / 3 一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分其他分?jǐn)?shù)不變求出各分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù) 求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù) ；ba即為所求4 數(shù)、公約數(shù)最大公約數(shù)的關(guān)系（1約數(shù)是對一個數(shù)說的；（2公約數(shù)是最大公約數(shù)的約,大公約數(shù)是公約數(shù)的倍數(shù)二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)(1)倍數(shù)一個整數(shù)能夠被另一整數(shù)這個整數(shù)就是另整數(shù)的倍數(shù)公數(shù):在個或兩個以上的自然數(shù)中

4、如它們有相同的倍數(shù) ,那么這些倍數(shù)就叫做 它們的公倍數(shù)(3)最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的個稱為這些正整數(shù)的最小公倍數(shù)。1. 求最小公倍數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如： , 252 2 所以 ； 短除法求最小公倍數(shù)；218 例如： 3 所 36 ； b a ( a )2. 最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)則它們的最大公約數(shù)是其中較小的,最小公倍數(shù)是較大的數(shù) 3. 求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)求出各個分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù) 求各個分?jǐn)?shù)分的最 3 3,5 15大公約數(shù) b ； 即所求例如： 4 12

5、 (4,12) 4注意：兩個最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整,最小公倍數(shù)可以是整例如： 4 , 3 4 數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的關(guān)系（1倍數(shù)是對一個數(shù)說的；（2最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約,倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì) / 3 23 3 33 23 3 3 兩自數(shù)別以們的大約所的互。如果 m 為 A 的大公約數(shù) , A ma mb ,那么 、 質(zhì) 所以 A 、 的最小公 倍數(shù)為 mab ,所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有下一些基本關(guān)系： ma mb 即兩個數(shù)的最大公約與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的 積；最大公約數(shù)是 A 、 B 、 A 及小倍數(shù)的約數(shù) 兩數(shù)最公和小公的積于兩數(shù)乘

6、。即 ( b , ,性質(zhì)比較簡單學(xué)生比較容易掌握。 對任 個續(xù)自數(shù)如果個續(xù)的偶為)奇奇那么三數(shù)乘等這個的小倍例如： 5 210 就是 的最小公倍數(shù)b偶偶那么三數(shù)乘等這個最公數(shù)的 2 倍例如： 336 而 6,7,8 的小公倍數(shù)為 336 性質(zhì)3不是一個常見考,但是也比較有助于學(xué)生理解最小倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的 大小關(guān)系即幾個數(shù)最小公倍數(shù)一不會比他們的乘積。四、求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和1 任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)次數(shù)加 1 后 所得的乘積。如 嚴(yán) 格 分 解 質(zhì) 因 數(shù) 之 為 2 , 所 以 它 的 約 數(shù) 有 (3+1)(2+1) (1+1

7、)=432=24 個(括 1 1400 本)約數(shù)個數(shù)的計算公式是本講的一個重點(diǎn)和難,課時應(yīng)重點(diǎn)講,公式的推導(dǎo)過程是建 立在開篇講過的數(shù)字 “ 唯分解定理 ” 式基礎(chǔ)之上 合乘法原理推導(dǎo)出來的 ,是很復(fù)雜 建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點(diǎn)在于公式的逆推 ,有相當(dāng)一部分?？嫉钠y題型考察的 就是對這個公式的逆用 ,即先告訴一個數(shù)有多少個約數(shù) ,然后再結(jié)合其他幾個條件將原數(shù) “還 原構(gòu)造出來,或者是構(gòu)造出可能的最值。2 任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù),它的每個質(zhì)因數(shù)依次從 1 加至 這個質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和 , 然再將這些得到的和相乘 ,積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的

8、 和。如： ,以 所約數(shù)的和為(1 23 2 7) 74880此公式?jīng)]有第一個公式常用 推過程相對復(fù)雜 ,需許多步提取公因式 ,建議幫助學(xué)生 找規(guī)律性的記憶即可。例題精模塊一、運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題如果 為 A 、 的大公約,據(jù)模型知道： / （1且 mb（2那么 、b 質(zhì)（3所以 、 B 的大公約數(shù)為 最公倍數(shù)為 mab（4最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的成績?yōu)?A 與 的績【 1】 數(shù) 36,甲、兩最大約是 4,小倍是 288,那乙是少【固 已知 、B 兩數(shù)的小倍是 最公數(shù) 30,若 =90,則 B?！?2】 知個然的為 240,最公數(shù) 60,求這個【 3】 個然的是 50,它的大約是 5,

9、試這個數(shù)差【固 兩個自數(shù)和 它們最公數(shù) 25,試求這個【 4】 知數(shù)最公數(shù) 21,小倍是 求這個的是少 / 【固 已知兩自數(shù)最公數(shù) 4,最小倍為 120,這個【 5】 、兩自數(shù)最公數(shù)是 并甲除乙所的是 11 數(shù) 8【 6】 知整 、 之為 120,它們最公數(shù)其大約數(shù) 105 倍,那 、 b 較的是少【 7】 知個然的為 它的小倍數(shù)最公數(shù)差 114,求這個 自數(shù)【 8】 兩自數(shù)它們和于 它們最公數(shù)最小倍之等 這個然的是 【 9】 知然 A、 滿足下 2 個質(zhì)）、B 不互（2）、B 的最大約 數(shù)最公數(shù)和 35。那 +B 的最小是少 / 【 】 兩個數(shù) 、 的最公數(shù) C最公數(shù) D并且知 C 不等 1

10、,也不 于 A 或 C=187,那 A+ 等于少【 】 若 b 是個不等大 的然且 + b + = 1155 ,則們最 公數(shù)最值 最公數(shù)最值 ,最小倍 的大為 模塊二、約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【 】 的數(shù)（ ）。【固 2008006共有 )個質(zhì)數(shù) （） （B (C)6 (【固 的數(shù)有個【固 已知 300=22355,則 300 一有個同約。 / 【 】 筐中 個果將它全都出,分成數(shù)使每的數(shù)同。問有 多種法【 】 數(shù) 的約數(shù)多個這些數(shù)和多少?【 】 2008 , b 均自數(shù) a 有種同取【固 2010 除以整 ,余數(shù) 15,那么 N 的所可值個是 。【 】 自然 N 有 個約。N 的最值 ?！竟?自

11、然數(shù) 有 20 個正數(shù) N 最值 ?！竟?恰有2 個數(shù)最自然是 ）。 （） （B） （C） （）432 / 【 】 設(shè) A 有 個不的數(shù) 共 個不同約,C 共 8 個不的數(shù)這個 數(shù)的何個不除則這個之的小是少【 】 在 1 到 100 中好 6 個約的有少？【固 恰有 個約數(shù)兩數(shù)_個【固 在三位中恰有 個數(shù)數(shù)多個【 】 能被 2145 整除恰 2145 個數(shù)數(shù)個【固 能被 210 整且有 210 個約的有個【固 1001 的倍中共有個恰 1001 個數(shù) / 【固 如果一自數(shù) 倍恰 2004 個數(shù)這個然自最有少約數(shù)【 】 已知數(shù) A 不是 4 的整倍它的數(shù)個為 求 A 的數(shù)個.【 】 已知 、n 兩個數(shù)是含因 和 5,們最公數(shù) 已知 有 12 約, n 有 個數(shù) m 與 的和【 】 已知 A 數(shù)有 7 個數(shù) 數(shù)有 12 個數(shù)且 A、B 的最公數(shù) 則 【 】 一個然恰有 個約,那么最有個數(shù)個是 / 【 】