2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第5章 第3節(jié)　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

1、 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考試要求1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題1向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是0，當(dāng)eq f(,2)時(shí)，a與b相互垂直，記作ab；當(dāng)0時(shí)，a與b共線且同向；當(dāng)時(shí)，

2、a與b共線且反向2平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos ，規(guī)定：0a0.3投影向量設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是，e是與b方向相同的單位向量，eq o(AB,sup6()a，eq o(CD,sup6()b，過eq o(AB,sup6()的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq o(CD,sup6()所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq o(A1B1,sup6()，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq o(A1B1,sup6()叫做向量a在向量b上的投影向量，記為|a|cos e

3、.提醒：設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角為，則a在b上的投影向量為|a|cos eq f(b,|b|)eq f(abb,|b|2).4向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.5平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角(1)數(shù)量積：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|eq r(aa)eq r(xoal(2,1)yoal(2,1).(3)夾角：cos eq f(ab,|a|b|)eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2

4、,2).(4)兩非零向量ab的充要條件：ab0 x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)eq r(xoal(2,2)yoal(2,2).6向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)要證ABCD，可轉(zhuǎn)化為證明eq o(AB2,sup6()eq o(CD,sup6()2或|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|.(2)要證兩線段AB，CD平行，只要證存在唯一實(shí)數(shù)0，使等式eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()成立即可(3)要證兩線段AB，CD垂直，只需證eq o(AB,sup6(

5、)eq o(CD,sup6()0.(4)求夾角問題，利用夾角公式cos eq f(ab,|a|b|).常用結(jié)論1平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2(3)abeq f(1,4)(ab)2(ab)2(該式又稱作極化恒等式)2有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角ab0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角ab0且a，b不共線 一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).()(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(3)

6、由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習(xí)題衍生1已知|a|2，|b|6，ab6eq r(3)，則a與b的夾角等于()A.eq f(,6)B.eq f(5,6)C.eq f(,3)D.eq f(2,3)Bcos eq f(ab,|a|b|)eq f(6r(3),26)eq f(r(3),2)，又因?yàn)?，所以eq f(5,6).2若ab6，|a|8，與a方向相同的單位向量為e，則向量b在向量a上的投影向量為_. eq f(3,4)e向量b在向量a上的投影向量為eq f(ab,|a|)eeq f(3,4)e.3設(shè)e1和e2是互相垂直的單位向量，

7、且a3e12e2，b3e14e2，則ab等于_. 1因?yàn)閨e1|e2|1，e1e20，所以ab(3e12e2)(3e14e2)9|e1|28|e2|26e1e2912812601.4已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|1，則|a3b|_.eq r(10)因?yàn)閍b0，|a|1，|b|1，所以|a3b|eq r(a3b2)eq r(a26ab9b2)eq r(12912)eq r(10). 考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算典例1已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()的值為_，eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6

8、()的最大值為_.四字解題讀想算思正方形ABCD且E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)；求eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()，eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()的最大值數(shù)量積的求解方法投影法數(shù)量積的幾何意義數(shù)形結(jié)合基向量法數(shù)量積的運(yùn)算三角形法則坐標(biāo)法建系，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立函數(shù)幾何問題代數(shù)化，函數(shù)思想11法一(投影法)：設(shè)向量eq o(DE,sup6()，eq o(DA,sup6()的夾角為，則eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(DA,sup6()|eq o(DE,sup6()|eq o(DA,sup6()|

9、cos ，由圖可知，|eq o(DE,sup6()|cos |eq o(DA,sup6()|，所以原式等于|eq o(DA,sup6()|21，要使eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()最大，只要使向量eq o(DE,sup6()在向量eq o(DC,sup6()上的投影達(dá)到最大即可，因?yàn)閑q o(DE,sup6()在向量eq o(DC,sup6()上的投影達(dá)到最大為|eq o(DC,sup6()|1，所以(eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()max|eq o(DC,sup6()|21.法二(基向量法)：因?yàn)閑q o(DE,sup6()eq o(DA,su

10、p6()eq o(AE,sup6()且eq o(DA,sup6()eq o(AE,sup6()，所以eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(DA,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(DA,sup6()|eq o(DA,sup6()|21，eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()(eq o(DA,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AE,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AE,sup6()|eq o(AE,sup6()|，所以要使eq o(DE,su

11、p6()eq o(DC,sup6()最大，只要|eq o(AE,sup6()|最大即可，明顯隨著E點(diǎn)在AB邊上移動(dòng)，|eq o(AE,sup6()|max1，故(eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()max1.法三(坐標(biāo)法)：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq o(DC,sup6()與eq o(DA,sup6()所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可知E(x,1)，0 x1，所以eq o(DE,sup6()(x,1)，eq o(CB,sup6()(0,1)，可得eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()x0111.因?yàn)閑q o(DC,sup6()(1,0)，

12、所以eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()x，因?yàn)? x1，所以(eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()max1.平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法跟進(jìn)訓(xùn)練1(1)(2021安徽合肥一模)在ABC中，AB2，AC3，eq o(BD,sup6()2eq o(DC,sup6()，eq o(AE,sup6()eq o(EB,sup6()，則eq o(AD,sup6()eq o(CE,sup6()()Aeq f(7,6) B.eq f(7,6) Ceq f(16,3) D.eq f(16,3)(2)在RtABC中，Ceq f(,2)，AB4，AC2，若eq o(AD,su

13、p6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，則eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6()等于()A18 B6eq r(3) C18 D6eq r(3) (3)(2021福州模擬)設(shè)向量e1eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)，e2eq blc(rc)(avs4alco1(0，1).若a2e17e2，b4e13e2，則ab_，向量a在向量b上的投影向量為_(1)C(2)C(3)13eq blc(rc)(avs4alco1(f(52,25)，f(39,25)(1)在ABC中，因?yàn)閑q o(BD,sup6()2eq o(DC,sup6()，所以eq o(AD,

14、sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()，又eq o(AE,sup6()eq o(EB,sup6()，所以eq o(CE,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以eq o(AD,sup6()eq o(CE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)o(AC

15、,sup6()f(1,3)o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()o(AC,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()2eq f(1,6)eq o(AB,sup6()26eq f(2,3)eq f(16,3)，故選C.(2)法一(基向量法)：由Ceq f(,2)，AB4，AC2，得CB2eq r(3)，eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()0，eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(CA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(CA,su

16、p6()eq o(CB,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()Ceq o(B,sup6()eq f(3,2)(eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(3,2)eq o(CB,sup6()218，故選C.法二(坐標(biāo)法)：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在的直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0)，A(2,0)，B(0,2eq r(3)由題意得CBAeq f(,6)，又eq o(AD,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，所以D(1,3eq r(3)，則eq o(CD,sup6()eq

17、 o(CB,sup6()(1,3eq r(3)(0,2eq r(3)18，故選C.法三(投影法)：因?yàn)镃eq f(,2)，AB4，AC2，所以CB2eq r(3)，所以eq o(AB,sup6()在eq o(CB,sup6()上的投影為2eq r(3)，又eq o(AD,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，所以eq o(AD,sup6()在eq o(CB,sup6()上的投影為eq f(3,2)2eq r(3)3eq r(3)，則eq o(CD,sup6()在eq o(CB,sup6()上的投影為3eq r(3)，所以eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6

18、()|eq o(CB,sup6()|eq o(CD,sup6()|coseq o(CD,sup6()，eq o(CB,sup6()2eq r(3)3eq r(3)18，故選C.(3)因?yàn)橄蛄縠1eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)，e2eq blc(rc)(avs4alco1(0，1)，所以a2e17e22eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)7eq blc(rc)(avs4alco1(0，1)eq blc(rc)(avs4alco1(2，7)，b4e13e24eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)3eq blc(rc)(avs4alco1(0，1)eq

19、blc(rc)(avs4alco1(4，3)，所以ab247313，由aeq blc(rc)(avs4alco1(2，7)，beq blc(rc)(avs4alco1(4，3)可得：eq blc|rc|(avs4alco1(a)eq r(449)eq r(53)，eq blc|rc|(avs4alco1(b)eq r(169)5，所以cosa，beq f(ab,blc|rc|(avs4alco1(a)blc|rc|(avs4alco1(b)eq f(13,r(53)5)，向量a在向量b上的投影向量為：eq blc|rc|(avs4alco1(a)cosa，beq f(b,blc|rc|(avs

20、4alco1(b)eq r(53)eq f(13,r(53)5)eq f(b,5)eq f(13,25)beq f(13,25)eq blc(rc)(avs4alco1(4e13e2)eq f(52,25)e1eq f(39,25)e2eq blc(rc)(avs4alco1(f(52,25)，f(39,25). 考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量的模典例21(2021全國甲卷)若向量a，b滿足|a|3，|ab|5，ab1，則|b|_.3eq r(2)由|ab|5得(ab)225，即a22abb225，結(jié)合|a|3，ab1，得3221|b|225，所以|b|3eq r(2).平面向量的夾角典例

21、22(1)(2019全國卷)已知非零向量a，b滿足|a|2|b|，且(ab)b，則a與b的夾角為()A.eq f(,6) B.eq f(,3) C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k(1)B(2)eq blc(rc)(avs4alco1(，f(9,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)，3)(1)法一：因?yàn)?ab)b，所以(ab)bab|b|20，又因?yàn)閨a|2|b|，所以2|b|2cosa，b|b|20，即cosa，beq f(1,2)，又知a，b0，所以a，beq f(,3)

22、，故選B.法二：如圖，令eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()ab，因?yàn)?ab)b，所以O(shè)BA90，又|a|2|b|，所以AOBeq f(,3)，即a，beq f(,3).故選B.(2)因?yàn)?a3b與c所以(2a3b)c0，即(2k所以4k660，所以k3.若2a3b與c反向共線，則eq f(2k3,2)6，解得keq f(9,2)，此時(shí)夾角不是鈍角，綜上所述，k的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(9,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)

23、，3).平面向量的垂直典例23(1)(2020全國卷)已知單位向量a，b的夾角為60，則在下列向量中，與b垂直的是()Aa2b B2ab Ca2b D2ab(2)已知向量eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()的夾角為120，且|eq o(AB,sup6()|3，|eq o(AC,sup6()|2.若eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，且eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，則實(shí)數(shù)的值為_(1)D(2)eq f(7,12)(1)法一：由題意，得ab|a|b|cos 60eq f(1,2).對(duì)于A，(a2b)

24、bab2b2eq f(1,2)2eq f(5,2)0，故A不符合題意；對(duì)于B，(2ab)b2abb21120，故B不符合題意；對(duì)于C，(a2b)bab2b2eq f(1,2)2eq f(3,2)0，故C不符合題意；對(duì)于D，(2ab)b2abb2110，所以(2ab)b.故選D.法二：不妨設(shè)aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，b(1,0)，則a2beq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，f(r(3),2)，2ab(2，eq r(3)，a2beq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(r(3),2)，2ab(0，eq r(3

25、)，易知，只有(2ab)b0，即(2ab)b，故選D.(2)因?yàn)閑q o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()0.又eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，所以(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()0，即(1)eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup

26、6()20，所以(1)|eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|cos 120940.所以(1)23eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)940.解得eq f(7,12).1.求平面向量模的方法(1)若a(x，y)，利用公式|a|eq r(x2y2).(2)利用|a|eq r(a2).2求平面向量的夾角的方法(1)定義法：cos eq f(ab,|a|b|)，的取值范圍為0，(2)坐標(biāo)法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2).(3)解三角形

27、法：把兩向量的夾角放到同一三角形中跟進(jìn)訓(xùn)練2(1)(2021鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))設(shè)a，b為單位向量，且|ab|1，則|a2b|()A3 B.eq r(3) C7 D.eq r(7)(2)設(shè)平面向量a(2,1)，b(，2)，若a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)(2，)B(，4)(4,1)C(1，)D(，1)(3)(2021全國乙卷)已知向量a(1,3)，b(3,4)，若(ab)b，則_.(1)D(2)B(3)eq f(3,5)(1)法一：因?yàn)閍，b是單位向量，所以|a|1，|b|1.由|ab|1得|ab|21，即|a|22ab

28、|b|21，可得abeq f(1,2)，所以|a2b|eq r(a24ab4b2)eq r(124)eq r(7)，故選D.法二：設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b(圖略)，因?yàn)閨a|1，|b|1，|ab|1，所以O(shè)AB是等邊三角形，所以abeq f(1,2)，所以|a2b|eq r(a24ab4b2)eq r(124)eq r(7)，故選D.(2)法一：因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以cosa，b(0,1)又a(2,1)，b(，2)，所以cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(22,r(5)r(24)(0,1)，整理得eq blcrc (av

29、s4alco1(220，,28160，)所以eq blcrc (avs4alco1(1，,4，)所以的取值范圍為(，4)(4,1)故選B.法二：因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以eq blcrc (avs4alco1(ab0，,a，b不共線.)又a(2,1)，b(，2)，所以eq blcrc (avs4alco1(220，,f(,2)f(2,1)，)所以eq blcrc (avs4alco1(1，,4，)所以的取值范圍為(，4)(4,1)故選B.(3)法一：ab(13，34)，(ab)b，(ab)b0，即(13，34)(3,4)0，3912160，解得eq f(3,5).法二：由(ab)b可知，(a

30、b)b0，即abb20，從而eq f(ab,b2)eq f(1，33，4,3242)eq f(15,25)eq f(3,5). 考點(diǎn)三數(shù)量積的最值(范圍)問題典例3(2017全國卷)已知ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()的最小值是()A2 Beq f(3,2) Ceq f(4,3) D1B圖法一：(極化恒等式)結(jié)合題意畫出圖形，如圖所示，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為E，連接AD，PE，PD，則有eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PD,sup6()，則eq

31、 o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PA,sup6()eq o(PD,sup6()2(eq o(PE,sup6()eq o(EA,sup6()(eq o(PE,sup6()eq o(EA,sup6()2(eq o(PE,sup6()2eq o(EA,sup6()2)而eq o(EA,sup6()2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)2eq f(3,4)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，eq o(PE,sup6()2有最小值0，故此時(shí)eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()取得最小

32、值，最小值為2eq o(EA,sup6()22eq f(3,4)eq f(3,2).圖法二：(坐標(biāo)法)如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以邊BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，eq r(3)，B(1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則eq o(PA,sup6()(x，eq r(3)y)，eq o(PB,sup6()(1x，y)，eq o(PC,sup6()(1x，y)，所以eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()(x，eq r(3)y)(2x，2y)2x22eq blc(rc)(avs4alco1(yf(r(3)

33、,2)2eq f(3,2)，當(dāng)x0，yeq f(r(3),2)時(shí)，eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()取得最小值，最小值為eq f(3,2).故選B.設(shè)a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有abeq f(1,4)(ab)2(ab)2；極化恒等式的幾何意義是在ABC中，若AD是BC邊上的中線，則eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()AD2BD2.具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問題利用極化恒等式考慮尤為簡(jiǎn)單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與半底邊長(zhǎng)的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長(zhǎng)度(數(shù)

34、量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合跟進(jìn)訓(xùn)練3在半徑為1的扇形AOB中，若AOB60，C為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)P，則eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()的最小值是_.eq f(1,16)法一：(極化恒等式)如圖，取OB的中點(diǎn)D，連接PD，則eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()PD2OD2PD2eq f(1,4)，即求PD的最小值圖由圖可知，當(dāng)PDAB時(shí)，PDmineq f(r(3),4)，則eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()的最小值是eq f(1,16).法二：(坐標(biāo)法)圖以O(shè)B所在的直線為x軸，過點(diǎn)A且垂直于

35、OB的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則Aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(3),2)，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，可得直線AB的方程為2xeq f(2r(3),3)y1，設(shè)Peq blc(rc)(avs4alco1(x，f(r(3),2)12x)，則eq o(OP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，f(r(3),2)12x)，eq o(BP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，f(r(3),2)

36、12x)，所以eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()4x23xeq f(1,2)4eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,8)2eq f(1,16)，當(dāng)xeq f(3,8)時(shí)，eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()取得最小值eq f(1,16). 考點(diǎn)四平面向量的應(yīng)用典例4(1)如圖所示，把一個(gè)物體放在傾斜角為30的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力G，沿著斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的彈力F2.已知|F1|80 N，則G的大小為_，F(xiàn)2的大小為_(2)如圖，在ABC中，M為BC的中點(diǎn)，若AB1，AC3，eq o(AB,s

37、up6()與eq o(AC,sup6()的夾角為60，則|eq o(MA,sup6()|_.(1)160 N80eq r(3) N(2)eq f(r(13),2)(1)根據(jù)題意，F(xiàn)1F2G，如圖所示：CAO90，AOC30，AC80，OC160，OA80eq r(3)，G的大小為160 N，F(xiàn)2的大小為80eq r(3) N.(2)M為BC的中點(diǎn)，eq o(AM,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，|eq o(MA,sup6()|2eq f(1,4)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2eq f(1,4)(|eq o(

38、AB,sup6()|2|eq o(AC,sup6()|22eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,4)(19213cos 60)eq f(13,4)，|eq o(MA,sup6()|eq f(r(13),2).用向量方法解決平面幾何(物理)問題的步驟跟進(jìn)訓(xùn)練4在日常生活中，我們會(huì)看到如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包假設(shè)行李包所受重力為G，作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2，且|F1|F2|，F(xiàn)1與F2的夾角為.給出以下結(jié)論：越大越費(fèi)力，越小越省力；的范圍為0，；當(dāng)eq f(,2)時(shí)，|F1|G|；當(dāng)eq f(2,3)時(shí)，|F1|G|.其中正確結(jié)論的序號(hào)是

39、_對(duì)于，由G(F1F2)為定值，所以|G|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 2|F1|2(1cos )，解得|F1|2eq f(|G|2,21cos ).由題意知(0，)時(shí)，ycos 單調(diào)遞減，所以|F1|2單調(diào)遞增，即越大越費(fèi)力，越小越省力，正確；對(duì)于，由題意知，的取值范圍是(0，)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)eq f(,2)時(shí)，|F1|2eq f(|G|2,2)，所以|F1|eq f(r(2),2)|G|，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)eq f(2,3)時(shí)，|F1|2|G|2，所以|F1|G|，故正確故正確的結(jié)論為.4.突出考查平面向量數(shù)量積核心概念的內(nèi)涵與外延數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是推導(dǎo)公式和定理的

40、主要依據(jù)，也是解題的一把鑰匙，高考試題所考查的核心概念均源于教材，且高考注重對(duì)核心概念及教材知識(shí)的考查，如2020年新高考卷第7題考查數(shù)量積的概念的應(yīng)用，2021年新高考卷第8題考查事件相互獨(dú)立性的概念理解所以在一輪復(fù)習(xí)時(shí)，教師一定要重視對(duì)教材核心概念的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀教材，注意細(xì)節(jié)，真正認(rèn)清概念的內(nèi)涵與外延典例5(2020新高考卷)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()的取值范圍是()A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)A法一(坐標(biāo)法)：如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,

41、0)，B(2,0)，C(3，eq r(3)，F(xiàn)(1，eq r(3)設(shè)P(x，y)，則eq o(AP,sup6()(x，y)，eq o(AB,sup6()(2,0)，且1x3.所以eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()(x，y)(2,0)2x(2,6)故選A.法二(投影法)：eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(AP,sup6()|eq o(AB,sup6()|cosPAB2|eq o(AP,sup6()|cosPAB，又|eq o(AP,sup6()|cosPAB表示eq o(AP,sup6()在eq o(AB,sup6()方向上的投影，結(jié)合幾何

42、圖形(圖略)，當(dāng)點(diǎn)P與F重合時(shí)投影最小，當(dāng)P與點(diǎn)C重合時(shí)，投影最大，又eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()2eq r(3)2cos 306，eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()22cos 1202，故當(dāng)點(diǎn)P在正六邊形ABCDEF內(nèi)時(shí)，2eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()6.平面向量中的范圍、最值問題的兩種解題思路一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程的有解

43、等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決跟進(jìn)訓(xùn)練5在ABC中，AB6，O為ABC的外心，則eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()等于()A.eq r(6) B6 C12 D18D如圖，過點(diǎn)O作ODAB于D，可知ADeq f(1,2)AB3，則eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(DO,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(DO,sup6()eq o(AB,sup6()36018.1.平面向量與三角形的“四心”向量具有數(shù)形二重性，借助幾何直觀研

44、究向量，優(yōu)化解題過程，進(jìn)而提高解題效率設(shè)O為ABC所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則(1)O為ABC的外心|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|eq o(OC,sup6()|eq f(a,2sin A).(2)O為ABC的重心eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0.(3)O為ABC的垂心eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6().(4)O為ABC的內(nèi)心aeq o(OA,sup

45、6()beq o(OB,sup6()ceq o(OC,sup6()0.平面向量與三角形的“重心”問題 eq avs4al(典例6)已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 eq o(OP,sup6() eq f(1,3)(1) eq o(OA,sup6()(1) eq o(OB,sup6()(12) eq o(OC,sup6()，R，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過()AABC的內(nèi)心BABC的垂心CABC的重心 DAB邊的中點(diǎn)C取AB的中點(diǎn)D，則2 eq o(OD,sup6() eq o(OA,sup6() eq o(OB,sup6()， eq o(OP,sup6() eq f(1,3

46、)(1) eq o(OA,sup6()(1) eq o(OB,sup6()(12) eq o(OC,sup6()， eq o(OP,sup6() eq f(1,3)2(1) eq o(OD,sup6()(12) eq o(OC,sup6() eq f(2（1）,3) eq o(OD,sup6() eq f(12,3) eq o(OC,sup6()，而 eq f(2（1）,3) eq f(12,3)1，P，C，D三點(diǎn)共線，點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過ABC的重心平面向量與三角形的“內(nèi)心”問題 eq avs4al(典例7)在ABC中，AB5，AC6，cos A eq f(1,5)，O是ABC的內(nèi)心，若 eq

47、 o(OP,sup6()x eq o(OB,sup6()y eq o(OC,sup6()，其中x，y0，1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為()A eq f(10r(6),3)B eq f(14r(6),3)C4 eq r(3)D6 eq r(2)B根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為BOC的面積的2倍在ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2b2c22bc cos A，得a7.設(shè)ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則 eq f(1,2)bc sin A eq f(1,2)(abc)r，解得r eq f(2r(6),3